第6章 §1 1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

　　 1．直角三角形绕着它的一边旋转一周得到的几何体可能是(　　) A．圆台 B．圆台或两个同底圆锥的组合体 C．圆锥或两个同底圆锥的组合体 D．圆柱 解析：选C.按直角边旋转可得如图1所示的圆锥；如果绕斜边旋转可得如图2所示的两个同底圆锥的组合体．故选C. 2．一个圆柱的侧面展开图为正方形，则它的高和底面直径的比为(　　) A．2π∶1 B．1∶2π C．π∶1 D．1∶π 解析：选C.设高为h，底面直径为d，由题意可得h＝πd，可得h∶d＝π∶1. 3．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为(　　) A．32 B． C． D． 解析：选B.设圆柱的底面半径为r， 当圆柱的高h＝8时，2πr＝4，所以圆柱的轴截面的面积S＝2rh＝； 当圆柱的高h＝4时，2πr＝8， 所以圆柱的轴截面的面积S＝2rh＝. 故圆柱的轴截面的面积为.故选B. 4．(2025·钦州月考)若底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截面圆的面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 解析： 选A.如图所示，设截面圆的半径为r，底面圆半径为R，易知△SA1O1∽△SAO，故＝＝＝，可得r＝R＝1，所以截面圆的面积为S＝π×12＝π.故选A. 5．(多选)下列说法错误的是(　　) A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面 B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥 C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱 D．圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交 解析：选BCD.对于A，由圆锥的性质知，圆锥的底面是圆面，侧面是曲面，A正确；对于B，一张扇形的纸片只能卷出圆锥的侧面，不包含底面，B错误；对于C，若两个相等的圆面不平行，则该几何体不是圆柱，C错误；对于D，圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥所得，则任意两条母线的延长线必然相交于一点，D错误．故选BCD. 6．(多选)两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是(　　) A．1 B．3 C．4 D．7 解析：选AD.因为截面面积分别为9π和16π，所以两截面圆的半径分别为3和4.如图1所示，若两个平行平面在球心同侧，则这两个平行平面间的距离CD＝OC－OD＝－＝4－3＝1.如图2所示，若两个平行平面在球心两侧，则这两个平行平面间的距离CD＝OC＋OD＝＋＝4＋3＝7.故选AD. 7．将一个边长分别是2 cm和5 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边所在直线旋转一周所得到的几何体为________________． 解析： 如图，过平行四边形的顶点作垂线，可以得到一个直角三角形和一个矩形，绕5 cm边所在直线旋转一周，得到一个圆锥和挖去一个圆锥的圆柱． 答案：一个圆锥和挖去一个圆锥的圆柱 8．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，则将该圆锥的侧面展开后，所得扇形的圆心角为________． 解析：因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线l等于底面圆的直径2r. 将该圆锥的侧面展开后，所得扇形的半径为l＝2r，弧长为2πr，所以扇形的圆心角为＝π. 答案：π 9．在半径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为____________m．(参考数据：≈1.732，精确到0.1 m) 解析： 如图所示，在圆锥SO中，AB为圆O的一条直径，由题意可知SA＝SB，AO＝30 m，∠ASB＝120°，所以∠SAO＝30°，由tan ∠SAO＝，得SO＝AO·tan 30°＝30×＝10≈17.3(m). 答案：17.3 10．(13分)一个圆台的母线长为13 cm，两底面面积分别为16π cm2和81π cm2.求： (1)圆台的高；(6分) (2)截得此圆台的圆锥的母线长．(7分) 解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，如图所示，由已知可得上底面半径O1A＝4 cm，下底面半径OB＝9 cm， 又腰长AB＝13 cm, 所以圆台的高为AM＝ ＝12(cm). (2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S， 设截得此圆台的圆锥母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝， 解得l＝cm， 所以截得此圆台的圆锥的母线长为cm. 11. 碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具．如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3 解析：选B.设圆柱形碌碡的底面圆半径与其高分别为r，h.易知圆柱形碌碡的高与圆盘的半径大约相等，又木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，所以3×2πr＝2πh，所以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为r∶h＝1∶3. 12．已知一个圆锥的母线长为2，底面圆的周长为2π，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为__________． 解析：因为底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为，圆锥的母线长为2，设过圆锥顶点的截面等腰三角形的顶角为α，则0°<α≤120°，所以截面面积S＝×2×2×sin α，所以当α＝90°时，截面面积取最大值，最大值为2. 答案：2 13．(13分)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. (1)若OA＝1，求圆M的面积；(6分) (2)若圆M的面积为3π，求OA.(7分) 解：(1)若OA＝1，则OM＝， 故圆M的半径 r＝＝ ＝， 所以圆M的面积S＝πr2＝π. (2)因为圆M的面积为3π，所以圆M的半径r＝，则OA2＝＋3， 解得OA2＝4，所以OA＝2. 14.(15分)如图，半径R＝3的球O中有一内接圆柱，设圆柱的高为h，底面半径为r. (1)当h＝4时，求圆柱的底面半径；(7分) (2)当圆柱的轴截面ABCD的面积最大时，求h与r的值．(8分) 解：(1)如图，取AB的中点O′，连接OO′. 当h＝4时，OO′＝＝＝2，所以9－r2＝4，r2＝5，所以圆柱的底面半径r＝. (2)因为OO′＝＝，所以AD＝h＝2，所以圆柱的轴截面ABCD的面积为S＝2r·2＝4≤4×＝18，当且仅当r2＝9－r2，即r2＝，r＝时取等号，此时h＝2×＝3. 15．单板滑雪U型场地技巧是指在倾斜的半圆形赛道中滑行及进行跳跃、回转等空中技巧的运动．单板滑雪的U型场地可近似看为圆柱体的一部分(如图)，若一名运动员从顶端A点滑行到另一顶端B点，则滑行的最短距离约为(注：sin 53°≈，sin 37°≈)(　　) A． m B． m C． m D． m 解析：选A.设圆柱的底面半径为r m，U型场地的截面图如图1所示，设圆心为O，过点O作OC⊥AD于点C，则在Rt△ACO中，(r－4)2＋＝r2，解得r＝10，所以sin ∠AOC＝＝，所以∠AOC≈53°，所以∠AOD≈106°，所以的长约为×2π×10＝π(m).U型场地的展开图如图2所示，连接AB，则从顶端A点滑行到另一顶端B点的最短距离约为 m．故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $