第6章 §1 1.1 构成空间几何体的基本元素 1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

　 1．下列关于棱柱的说法错误的是(　　) A.三棱柱的底面为三角形 B.一个棱柱至少有五个面 C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 解析：选C.显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；由棱柱的定义知，D正确． 2．下面的四个长方体中，是由上边的平面图形围成的是(　　) 解析：选D.由长方体的展开图可得符合的长方体为D. 3．如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′-ABC，则剩余的部分是(　　) A.三棱锥 B．四棱锥 C.三棱柱 D．组合体 解析：选B.在三棱台A′B′C′-ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′-ABC，剩余的部分是以A′为顶点，四边形BCC′B′为底面的四棱锥A′-BCC′B′.故选B. 4．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台上、下底面的距离为(　　) A.12 B．9 C.6 D．3 解析：选D.设原棱锥顶点到底面的距离为h，由题意得()2＝，则h＝6(负值已舍去)，所以棱台上、下底面的距离为6－3＝3. 5．(2025·九江月考)如图为一几何体的展开图，其中四边形ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则拼成一个棱长为6的正方体，需要这样的几何体的个数为(　　) A.2 B．3 C．4 D．5 解析：选B. 把该几何体沿题图中虚线折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为如图正方体中的四棱锥P­ABCD，且底面四边形ABCD是边长为6的正方形，由图可知正方体ABCD­A1B1C1P即为棱长为6的正方体，且它可看作是由三个形状相同的四棱锥P­ABCD，P­A1B1BA，P­BCC1B1组合而成的． 6.(多选)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中正确的是(　　) A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的 B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的 C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的 D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的 解析：选AB.如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，如图所示： 故选AB. 7．在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，若AB⊥AD且AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则BD1的长为__________． 解析：依题意得，BD＝AB2＋AD2＋AA＝32＋42＋52＝50，所以BD1＝5. 答案：5 8．已知正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，侧棱长为9，则棱台的斜高为________． 解析：由题意知，正四棱台的侧面是等腰梯形，其上底长为5，下底长为7，腰长为9，则由勾股定理得棱台的斜高h＝＝4. 答案：4 9. 如图所示，在三棱锥A­BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△BDC的周长是18，则△EFG的周长为________． 解析：由题意得EFG­BDC为三棱台，所以EF∥BD，FG∥DC，EG∥BC，所以△EFG∽△BDC，所以＝.又因为＝＝，所以＝，所以△EFG的周长为18×＝6. 答案：6 10．(13分)试从如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中取若干个顶点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号将其表示出来． (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(4分) (2)四个面都是等边三角形的棱锥；(4分) (3)三棱柱．(5分) 解：(1)如图1所示，三棱锥A1­AB1D1.(答案不唯一) (2)如图2所示，三棱锥B1­ACD1.(答案不唯一) (3)如图3所示，三棱柱ABD­A1B1D1.(答案不唯一) 11.(多选)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1被一个平面截成两个几何体，其中EF∥B1C1∥BC，则(　　) A.几何体ABCD­A1EFD1是一个六面体 B.几何体ABCD­A1EFD1是一个四棱台 C.几何体AA1EB­DD1FC是一个四棱柱 D.几何体BB1E­CC1F是一个三棱柱 解析：选ACD.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，EF∥B1C1∥BC，EB1∥FC1，故四边形EB1C1F为平行四边形，所以EF＝B1C1.因为几何体ABCD­A1EFD1有六个面，所以几何体ABCD­A1EFD1是一个六面体，故A正确；因为AA1∥DD1，所以侧棱的延长线不能交于一点，故几何体ABCD­A1EFD1不是四棱台，故B错误；因为几何体AA1EB­DD1FC的侧棱平行且相等，四边形AA1EB与四边形DD1FC是平行且全等的四边形，所以几何体AA1EB­DD1FC为四棱柱，同理几何体BB1E­CC1F是一个三棱柱，故C，D正确． 12．已知正三棱锥P­ABC的侧棱长为2，∠APB＝∠APC＝∠BPC＝30°.E，F分别是BP，CP上的点，则△AEF周长的最小值为________． 解析： △AEF的周长即为AE，EF，FA三条线段长的和，作出该三棱锥的侧面展开图，如图所示．当A，E，F，A′四点共线时，△AEF的周长取得最小值，由题意得∠APB＝∠BPC＝∠CPA′＝30°，所以∠APA′＝90°，AA′＝＝2.所以△AEF周长的最小值为2. 答案：2 13. (13分)如图所示是一个正三棱台，下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与O′分别是下底面与上底面的中心．求： (1)棱台的斜高；(6分) (2)棱台的高．(7分) 解：(1) 因为几何体是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形．如图所示，在梯形ACC′A′中，分别过A′，C′作AC的垂线A′E与C′F，则由AC＝2，AA′＝A′C′＝C′C＝1，可知AE＝FC＝，从而A′E＝C′F＝，即棱台的斜高为. (2)由题意得，BO＝2B′O′＝. 假设正三棱台A′B′C′-ABC是由正三棱锥V-ABC截去正三棱锥V-A′B′C′得到的，则由已知可得VO是正三棱锥V-ABC的高，VO′是正三棱锥V-A′B′C′的高，O′O是所求棱台的高．因此△VBO是一个直角三角形，如图所示，则B′O′是△VBO的中位线． 因为棱台的侧棱长为1，所以BB′＝1，VB＝2，从而VO＝＝＝，因此O′O＝VO＝. 因此棱台的高为. 14.(15分)(2025·吉安月考)如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？(7分) (2)若正方形边长为2a，则折起后每个面的三角形面积为多少？(8分) 解：(1) 根据题意，将正方形ABCD沿题图中虚线将3个三角形折起，使得A，B，C三点重合，可得如图所示的一个三棱锥． (2)由(1)知，其中△DEP为直角三角形，面积为S△DEP＝PD·PE＝×2a×a＝a2； △DFP为直角三角形，面积为 S△DFP＝PD·PF＝×2a×a＝a2； △PEF为直角三角形，面积为 S△PEF＝PE·PF＝×a×a＝a2； △DEF为等腰三角形，且DE＝DF＝a，EF＝a， 可得EF边上的高h＝a， 所以面积为S△DEF＝EF·h＝×a×a＝a2. 15．(多选) 如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成．如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V、面数F与棱数E，满足V＋F－E＝2，据此判断，关于这个多面体的说法正确的是(　　) A.共有20个正六边形 B．共有10个正五边形 C.共有90条棱 D．共有32个面 解析：选ACD.由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形，＋(m＋n)－＝2，解得m＝12，所以B错误；因为顶点数V＝＝60，解得n＝20，所以A正确；面数F＝m＋n＝32，所以D正确；棱数E＝＝90，所以C正确．故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $