第4章 章末综合检测(三)三角恒等变换（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

章末综合检测(三) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知tan α＝3，则cos α＝ (　　) A．± B． C． D．± 解析：选A.由tan α＝＝3，sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝±.故选A. 2．已知sin (45°＋α)＝，则sin 2α＝ (　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选B.因为sin (45°＋α)＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝.两边同时平方得1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.故选B. 3．已知a＝，b＝(sin 20°＋cos 20°)，c＝，则 (　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 解析：选A.因为a＝＝sin 55°，b＝(sin 20°＋cos 20°)＝sin 65°，c＝＝＝tan 65°，又sin 55°<sin 65°<＝tan 65°，所以a<b<c.故选A. 4．已知β∈，满足tan (α＋β)＝，sin β＝，则tan α＝ (　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为β∈，sin β＝，所以cos β＝，所以tan β＝＝.又因为tan (α＋β)＝，所以tan α＝tan [(α＋β)－β]＝＝＝.故选B. 5．若|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是 (　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选C.因为<θ<3π，|cos θ|＝， 所以cos θ<0，cos θ＝－. 因为<<，所以sin <0. 因为sin2＝＝， 所以sin ＝－.故选C. 6．若函数f(x)＝2sin2(－)＋sin(ωx＋)－2(ω>0)在[0，π]上恰有两个零点，则ω的取值范围为 (　　) A．[，) B．(，] C．[，) D．(，] 解析：选C.f(x)＝1－cos [2(－)]＋sin (ωx＋)－2＝sin ωx＋cos ωx－1＝sin (ωx＋)－1， 令f(x)＝0，得sin (ωx＋)＝1，由0≤x≤π，ω>0，得≤ωx＋≤ωπ＋. 因为sin (ωx＋)＝1恰有两解，所以≤ωπ＋<⇒ω∈[，).故选C. 7．若α∈且＝，则的最小值为 (　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选B.由＝，得－＝，得－sin 2α＝tan β，则＝.因为＝＝＝ ，因为α∈，所以tan α>0，故5tan α＋≥2＝4，当且仅当5tan α＝，即tan α＝时，等号成立，故≤＝，所以≥－，所以的最小值是－，故选B. 8．已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x，y轴的正半轴上(含原点O)滑动，则|＋|的最大值是 (　　) A．1 B．2 C．3 D． 解析：选C.当A与O重合时，B(1，0)，C(1，1)，此时＋＝(2，1)，|＋|＝；当A与O不重合时，如图，设∠OAD＝θ，因为AD＝1，所以OA＝cos θ，OD＝sin θ，B(cos θ＋sin θ，cos θ)，C(sin θ，sin θ＋cos θ)，＝(cos θ＋sin θ，cos θ)，＝(sin θ，sin θ＋cos θ)，＋＝(2sin θ＋cos θ，sin θ＋2cos θ)， |＋|＝＝， 所以当2θ＝，即θ＝时，|＋|取得最大值3. 综上可知，|＋|的最大值为3.故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．计算下列各式的值，其结果为2的有 (　　) A．tan 15°＋tan 60° B．×(－) C．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°) D．4sin 18°sin 54° 解析：选ABC.对于A，tan 15°＋tan 60°＝tan (45°－30°)＋＝＋＝2－＋＝2，故A正确； 对于B，×(－) ＝·＝ ＝＝2，故B正确； 对于C，(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan (18°＋27°)·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2，故C正确； 对于D，4sin 18°sin 54°＝4sin (90°－72°)sin (90°－36°)＝4cos 72°cos 36°＝＝＝＝＝＝1，故D错误．故选ABC. 10．已知f(x)＝cos －2sin ·cos (x∈R)，下列说法正确的是 (　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)的最大值为1 C．函数f(x)在上单调递增 D．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为g(x)＝sin 2x 解析：选BD.f(x)＝cos －2sin ·cos ＝cos －sin ＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin . 所以f(x)的最小正周期为＝π，f(x)的最大值为1，故A错误，B正确； 当x∈时，2x－∈，y＝sin x在上并不是单调递增的，故C错误；将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为g(x)＝sin ＝sin 2x，故D正确．故选BD. 11．在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点M(a，b)，|OM|＝m(m≠0)，定义f(θ)＝，g(θ)＝，则 (　　) A．f()＋g()＝1 B．f(θ)＋[f(θ)]2≥0 C．若＝2，则sin 2θ＝ D．f(θ)g(θ)是周期函数 解析：选ACD.由题意得M(a，b)在角θ的终边上，且|OM|＝m，所以cos θ＝，sin θ＝，则f(θ)＝＝sin θ＋cos θ＝sin (θ＋)，g(θ)＝＝sin θ－cos θ＝sin (θ－)，对于A，f()＋g()＝sin ＋cos ＋sin －cos ＝1，故A正确；对于B，f(θ)＋[f(θ)]2＝sin θ＋cos θ＋(sin θ＋cos θ)2，令t＝sin θ＋cos θ＝sin (θ＋)∈[－，]，所以f(θ)＋[f(θ)]2＝t＋t2＝(t＋)2－≥－，故B错误；对于C，＝＝＝2，解得tan θ＝3，又由sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝，故C正确； 对于D，f(θ)g(θ)＝(sinθ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝sin2θ－cos2θ＝－cos2θ，y＝－cos 2θ为周期函数，故D正确．故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若α，β为锐角，tan α＝4，cos (α＋β)＝－，则β＝________． 解析：由题意得，＜α＋β＜π，所以sin (α＋β)＝＝，tan(α＋β)＝－，所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝，因为β为锐角，所以β＝. 答案： 13．若函数f(x)＝－a sin ·cos 的最大值为2，则a＝________． 解析：由题知f(x)＝－a sin ·cos (π－)＝＋a sin cos ＝＋＝sin (x＋φ)， 因为f(x)的最大值为2，所以a≠0，所以f(x)max＝＝2，所以a＝±. 答案：± 14．如图，函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f(x)的图象于点D，O(坐标原点)为△ABD的重心，其中A，则tan ∠ABD＝__________． 解析：设f(x)的最小正周期为T.因为O为△ABD的重心，且A，可得OA＝AC＝π，解得AC＝，所以C，所以T＝，所以T＝3π，所以＝3π，解得ω＝，所以f(x)＝2sin ， 由f＝0，即2sin ＝0，可得×＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，又由0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin ，于是OB＝f＝2sin ＝，所以B. 所以tan ∠ABD＝tan ＝ ＝＝. 答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知≤α≤，π≤β≤，sin 2α＝，cos (α＋β)＝－，求： (1)cos 2α的值；(6分) (2)角β－α的值．(7分) 解：(1)由≤α≤得≤2α≤π， 因为sin 2α＝，则cos 2α＝－＝－＝－. (2)由≤α≤，π≤β≤知≤α＋β≤2π，因为cos(α＋β)＝－， 则sin (α＋β)＝－ ＝－＝－， 由sin(β－α)＝sin [(α＋β)－2α]＝sin (α＋β)·cos 2α－cos (α＋β)sin 2α＝－×－×＝， 又因为≤β－α≤，故β－α＝. 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinx cos x(x∈R). (1)求f的值；(7分) (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．(8分)　 解：(1)f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2×(sin 2x＋cos 2x)＝－2sin ， 故f＝－2sin ＝－2sin ＝－. (2)由(1)知f(x)＝－2sin ，则f(x)的最小正周期是＝π. 由正弦函数的性质易知，函数y＝－2sin x在，k∈Z上单调递增， 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间是 (k∈Z). 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝cos 2x＋b sin x，x，b∈R. (1)当b＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；(7分)　 (2)当x∈时，不等式f(x)≤2恒成立，求实数b的取值范围．(8分) 解：(1)当b＝2时，f(x)＝cos 2x＋2sin x＝－2sin 2x＋2sin x＋1， 则f(x)≥1即－2sin 2x＋2sin x＋1≥1， 所以－2sin 2x＋2sin x≥0，即0≤sin x≤1， 又因为－1≤sin x≤1，故0≤sin x≤1， 故不等式f(x)≥1的解集为 . (2)当x∈时，不等式f(x)≤2恒成立，即cos 2x＋b sin x≤2恒成立， 由于当x∈时，sin x∈， 故b≤＝＋2sin x在x∈时恒成立， 因为sin x∈，＋2sin x≥2，当且仅当sin x＝，即x＝时取等号，则b≤2，故实数b的取值范围为. 18．(本小题满分17分)如图，将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法，让矩形一边在扇形的一半径OA上(如图1)或让矩形一边与弦AB平行(如图2)，请问哪种裁法得到的矩形的面积最大？请求出这个最大值． 解：对于题图1，MN＝20sin θ cm，ON＝20cos θ cm，所以S1＝ON·MN＝400sin θcos θ＝200sin 2θ(cm2).所以当sin 2θ＝1，即θ＝45°时，(S1)max＝200 cm2. 对于题图2，MQ＝40sin (60°－α) cm， MN＝20cos (60°－α)－ ＝sin α cm， 所以S2＝ cm2. 因为0°<α<60°，所以－60°<2α－60°<60°， 所以当cos (2α－60°)＝1，即2α－60°＝0°，即α＝30°时，(S2)max＝ cm2. 因为>200，所以用题图2这种裁法得到的矩形的面积最大，为 cm2. 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，0<ω≤6，|φ|≤π)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)已知α∈，f(α)＝，求f(2α)的值；(6分) (3)若关于x的方程f(x)＝a在上有两个不同的实数根x1，x2，且x1<x2，求2x1＋x2的取值范围．(7分) 解：(1)由题图可知，A＝1， 因为f(0)＝sin φ＝－，又|φ|≤π， 所以φ＝－，所以f(x)＝sin ， 又ω×－＝＋2kπ，k∈Z， 所以ω＝2＋6k，k∈Z，由0<ω≤6得ω＝2， 所以f(x)＝sin . (2)因为f(α)＝sin ＝， 所以cos ＝1－2×＝－， 又α∈，所以4α－∈， 所以sin ＝－＝－，所以f(2α)＝sin＝sin [(4α－)＋]＝sin cos ＋cos sin ＝－×＋×＝－. (3)令t＝2x－， 则当x∈时，t∈. 易知函数y＝sin t在上单调递减， 在上单调递增，又sin ＝， sin ＝－1，sin ＝－，因为方程f(x)＝a在上有两个不同的实数根x1，x2，所以y＝sin t，t∈的图象与直线y＝a有两个不同的交点，如图． 由图知－1<a≤－， 由正弦函数的对称性可知＝，所以t1＋t2＝2x1－＋2x2－＝3π，所以x1＋x2＝，又≤t1＝2x1－<，所以≤x1<，所以2x1＋x2＝x1＋x1＋x2＝x1＋∈. 学科网（北京）股份有限公司 $