第2章 阶段小测(四)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

阶段小测(四) (时间：120分钟　满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2＋bc＝b2＋c2，则tan 2A的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选C．由题设，易知cos A＝＝，又0<A<π，则A＝，所以tan 2A＝tan ＝. 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，A＝60°，若1－2sin2B＝，则b＝(　　) A．1 B． C．2 D．2 解析：选A．因为B为△ABC的内角，则sinB>0，由1－2sin2B＝，解得sinB＝，由正弦定理可得＝，所以b＝＝＝1. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝1，则C＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．由正弦定理得＋＝1，所以a2＋ac＋b2＋bc＝ab＋ac＋bc＋c2，所以a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理的推论可得cos C＝＝，因为0<C<π，所以C＝. 4．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，7) B．(1，5) C．(，5) D．(，5) 解析：选D．因为b＝3，c＝4，△ABC是锐角三角形，根据余弦定理可得所以7＜a2＜25，所以＜a＜5. 5．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为30(－1) m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为(　　) (参考数据：sin 15°＝) A．20 m B．20 m C．30 m D．30 m 解析：选C．在Rt△ABM中，AM＝， 在△ACM中，∠CAM＝15°＋15°＝30°， ∠AMC＝180°－15°－60°＝105°， 所以∠ACM＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理＝， 得CM＝＝＝60，在Rt△CDM中，CD＝CM×sin 60°＝60×＝30. 所以估算黄鹤楼的高度CD为30 m． 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C，a＝4，BC边上的中线长为，则△ABC的面积为(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：选A．因为sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C，由正弦定理可得b2＋c2－a2＝bc， 在△ABC中，由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bc cos A，可得cos A＝， 而A∈(0，π)，可得A＝， 所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，即16＝b2＋c2－bc，① 因为BC边上的中线长为，设中线为AD， 则2＝＋， 两边平方可得42＝2＋2＋2·＝2＋2＋2||·||cos ∠BAC， 即4×6＝b2＋c2＋bc，② ②－①可得2bc＝8，即bc＝4， 所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝×4×＝. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝4，锐角C满足cos C＝，则(　　) A．△ABC的周长为12 B．△ABC的周长为7＋ C．c＝ D．cos B＝ 解析：选BC．对于A，B，C，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋16－2×3×4×＝19，得c＝，则a＋b＋c＝7＋，A错误，B，C正确；对于D，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，D错误． 8．在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，C＝45°，∠BAC的平分线交BC于D，则(　　) (附：sin 75°＝) A．△ABC是钝角三角形 B．BC＝ C．AD＝2 D．BD＝＋ 解析：选BC．对于A，因为∠BAC＝60°，C＝45°， 所以B＝180°－∠BAC－C＝180°－60°－45°＝75°， 三个内角都小于90°，所以△ABC是锐角三角形，选项A错误； 对于B，在△ABC中，根据正弦定理得， ＝，因为∠BAC＝60°，C＝45°，AB＝2，所以BC＝＝，选项B正确； 对于C，因为∠BAC的平分线交BC于D，∠BAC＝60°，所以∠BAD＝30°， 由选项A可得B＝75°，则∠ADB＝180°－75°－30°＝75°，因为∠ADB＝B＝75°，所以AD＝AB＝2，选项C正确； 对于D，在△ABD中，根据正弦定理可得＝， 因为AB＝2，∠BAD＝30°，∠ADB＝75°， 所以BD＝＝－，故选项D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b＝2，a2＋c2＝3ac，则△ABC的面积为________． 解析：由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，得ac＝2，所以S△ABC＝ac sin B＝×2×＝. 答案： 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a＝2c，cos B＝，则＝________． 解析：在△ABC中，由3a＝2c，cos B＝及余弦定理，得b＝＝＝a，由正弦定理得＝＝. 答案： 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin A＋sin B＝sin C，tan C＝，则△ABC的内切圆半径r的最大值为__________．(附：sin2α＋cos2α＝1) 解析：已知a sinA＋sin B＝sin C，由正弦定理可得a2＋b＝c， 又tan C＝，可得sin C＝，cos C＝， 由余弦定理，可得c2＝(a2＋b)2＝a2＋b2－2ab cos C， 所以b＝， 又S△ABC＝ab sin C＝ab， 又S△ABC＝(a＋b＋c)r， 所以(a＋b＋c)r＝ab， 故r＝＝＝＝＝≤＝，当且仅当a＝时等号成立，所以△ABC的内切圆半径r的最大值为. 答案： 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝1，a2＝c2＋c＋1. (1)求A；(6分) (2)若B＝，求△ABC的面积．(7分) 参考数据：sin ＝. 解：(1)由a2＝c2＋c＋1及余弦定理， 得cos A＝＝. 又因为b＝1，所以cos A＝＝－. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由正弦定理得a＝＝， 因为C＝π－A－B＝， 所以△ABC的面积S＝ab sin C＝××1×＝. 13．(本小题满分15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C. (1)求角A的大小；(6分) (2)若BC边上的中线AD＝2，且S△ABC＝2，求△ABC的周长．(9分) 解：(1)由已知及正弦定理，得b2＝a2－bc－c2，所以cos A＝＝－. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由S△ABC＝bc·sin ∠BAC＝bc＝2，得bc＝8.① 由(1)知b2＝a2－bc－c2， 即b2＋c2＝a2－8.② 在△ABD中，由余弦定理的推论， 得cos ∠ADB＝， 在△ADC中，由余弦定理的推论， 得cos ∠ADC＝， 因为cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 所以b2＋c2＝＋24.③ 由①②③，得a＝8，b2＋c2＝56，bc＝8， 所以b＋c＝＝＝6， 故△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋6. 14．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B sin (B＋C)＋sin A＝0. (1)求角B的大小；(5分) (2)若b＝3，求△ABC面积的最大值；(5分) (3)设D是边AC上一点，BD为角平分线且AD＝2DC，求cos A的值．(5分) 解：(1)由cos B sin (B＋C)＋sin A＝0， 因为sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，代入可得sin A(cos B＋)＝0， 因为0<A<π，所以sin A>0，故cos B＝－，又因为0<B<π，故B＝. (2)由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B， 因为b＝3，B＝，代入整理得a2＋c2＋ac＝9， 由a2＋c2＝9－ac≥2ac，得ac≤3，当且仅当a＝c＝时等号成立， 所以S△ABC＝ac sin B＝ac≤， 即△ABC面积的最大值为. (3)如图，BD平分∠ABC，且AD＝2DC，则＝＝2，即c＝2a， 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋4a2＋2a2＝7a2，则b＝a， 故cos A＝＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $