课时分层评价21 向量的数乘与向量共线的关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（北师大版）

课时分层评价21　向量的数乘与向量共线的关系 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9小题，每小题5分，共45分) 1.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2与向量n＝2e1＋5e2共线，则k＝(　　) A. B.－ C.－ D. 答案：B 解析：向量m＝－e1＋ke2与向量n＝2e1＋5e2共线，设m＝tn， 故解得k＝－.故选B. 2.设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则(　　) A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 答案：B 解析：因为＋＝2，所以－＋－＝＋＝0，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确. 3.已知M，N，P，Q是平面内四个互不相同的点，a，b为不共线向量，＝2 024a＋2 027b，＝2 025a＋2 026b，＝－a＋b，则(　　) A.M，N，P三点共线 B.M，N，Q三点共线 C.M，P，Q三点共线 D.N，P，Q三点共线 答案：B 解析：＝＋＝2 025a＋2 026b－a＋b＝2 024a＋2 027b，所以＝，所以M，N，Q三点共线，即B正确.同理，其他各项对应三点均不共线.故选B. 4.向量a与b不共线，＝a＋kb，＝ma－b(k，m∈R)，若与共线，则k，m应满足(　　) A.k＋m＝0 B.k－m＝0 C.km＋1＝0 D.km－1＝0 答案：C 解析：因为a与b不共线，且共线，则＝λ，即即km＋1＝0.故选C. 5.(多选题)已知e1，e2是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 a∥b的是(　　) A.a＝－3e1，b＝2e1 B.a＝e1－e2，b＝－e1 C.a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋ D.a＝2e1＋3e2，b＝4e1＋6e2 答案：ABD 解析：对于A，因为a＝－3e1，b＝2e1，故b＝－a，即a∥b，故A正确；对于B，因为a＝e1－e2，b＝－e1＝－e1＋e2，则b＝－a，故B正确；对于C，a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋＝(e1＋e2)，由于e1，e2不共线，故b≠λa，所以向量a，b不平行，故C错误；对于D，a＝2e1＋3e2，b＝4e1＋6e2，故b＝2a，此时a∥b，故D正确.故选ABD. 6.在▱ABCD中，＝，＝2，＝x＋，x∈R.若AP∥MN，则x＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：如图所示，因为＝，＝2，所以＝－＝－＝＋＝＋，又AP∥MN，所以＝λ＝λ＋λ＝x＋，则故选C. 7.若｜a｜＝3，b与a方向相反，且｜b｜＝5，则a＝　　　　　　(用b表示). 答案：－b 解析：由｜a｜＝3，｜b｜＝5，得｜a｜＝｜b｜，又b与a方向相反，所以a＝－b. 8.已知a，b是两个不共线的向量，且向量2a－b与λa＋5b共线，则实数λ的值为　　　　. 答案：－10 解析：因为向量2a－b与λa＋5b共线，所以存在唯一的实数k，使得2a－b＝k成立，即2a－b＝λka＋5kb，所以 9.(开放题)已知非零向量a＝x，b＝e1＋ye2，其中e1，e2是一组不共线的向量.能使得a与b的方向相反的一组实数x，y的值为x＝　　　　，y＝　　　　. 答案：－1(答案不唯一，x＜0)　1 解析：因为a与b的方向相反，则a＝λb，λ＜0，即x＝λ，可得xe1＋xe2＝λe1＋λye2，又因为e1，e2是一组不共线的向量，则消去λ可得x＜0，y＝1，取λ＝－1，可得x＝－1(答案不唯一，x＜0). 10.(13分)已知向量m，n不共线，且＝3m－2n，＝m－3n，＝2m＋λn. (1)用m，n表示； (2)若∥，求λ的值. 解：(1)＝－＝m－3n－＝－2m－n. (2)因为∥，＝3m－2n，＝2m＋λn， 所以∃t∈R，＝t，即3m－2n＝t(2m＋λn). 又向量m，n不共线，所以 解得t＝，λ＝－，即λ的值为－. (11－13小题，每小题5分，共15分) 11.在△ABC中，点O满足＝2，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点E，F，设＝x，＝y，则2x＋y＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：连接AO，如图所示，因为＝2， 所以＝＋＝＋＝＋－)＝＋.又因为＝x，＝y，所以＝＋＝x＋y.又因为E，O，F三点共线，所以x＋y＝1，所以2x＋y＝3.故选C. 12.已知点A，B，C不共线，点M，N(异于A，B，C)满足＝λ，＝μ.若直线MN过线段BC的中点，则(　　) A.λ＋μ＝2 B.＋＝2 C.λμ＝2 D.λμ＝1 答案：B 解析：设BC中点为D，则M，N，D三点共线.因为＝λ，＝μ，所以＋＝2＝＋，所以＝＋. 结合M，N，D三点共线，可知＋＝1，所以＋＝2，对比选项可知，一定成立的只有B.故选B. 13.(多选题)正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以P，Q，R，S，T为顶点的多边形为正五边形且＝，下列关系中正确的是(　　) A.＋＝ B.－＝ C.＋＝ D.－＝ 答案：AD 解析：对于A，＋＝＋＝＝，故A正确；对于B，－＝－＝＝－，故B错误；对于C，＋＝＋，＝＝＋，若＋＝，则＝＝0，不合题意，故C错误；对于D，－＝－＝＋＝＝＝，故D正确.故选AD. 14.(15分)设a，b是不共线的两个非零向量. (1)若＝4a－2b，＝6a＋2b，＝2a－6b，求证：A，B，C三点共线； (2)若4a＋kb与ka＋b共线，求实数k的值. 解：(1)证明：由＝4a－2b，＝6a＋2b，＝2a－6b， 得＝－＝6a＋2b－＝2a＋4b， ＝－＝2a－6b－＝－4a－8b＝－2＝－2， 所以∥，且有公共点B， 所以A，B，C三点共线. (2)由4a＋kb与ka＋b共线， 则存在实数λ，使得4a＋kb＝λ， 即a＋b＝0，又a，b是不共线的两个非零向量， 因此 所以实数k的值是±4. 15.(5分)(多选题)(新定义)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O，G，H分别为三角形ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则(　　) A.＝2 B.＋＋＝0 C.＝＝ D.＝＋ 答案：ABC 解析：如图所示，对于A，由M是BC的中点，又由O是外心，H是垂心，可知：OM⊥BC，AH⊥BC，所以OM∥AH，根据平行线分线段成比例可知：＝，又由欧拉线的性质可知：OG＝GH，所以＝，即＝2，故A正确；对于B，由于G是重心，所以2＋＝0，而M是BC的中点， 所以＝＋，代入上式可得＋＋＝0，故B正确；对于C，因为O是外心，所以＝＝，故C正确；对于D，由向量的加法可知：＝＋＝＋＝＋＝＋，故D错误.故选ABC. 16.(17分)如图，在△ABC中，点Q是BC的中点，＝t(0＜t＜1)，过点P的直线分别交边AB，AC于M，N(不同于B，C)两点，且＝λ，＝μ. (1)当t＝时，用向量，表示，； (2)证明：＋为定值. 解：(1)因为点Q是BC的中点，所以AQ是BC的中线，所以＝＝＋， 当t＝时，＝＝＋. (2)证明：由(1)知＝＋，所以＝t＝＋. 因为M，P，N三点共线，所以＝x， 所以＝＋＝＋x＝＋x＝＋x. 由已知＝λ，＝μ，所以＝＋x＝λ＋μx， 所以＋＝＋μx. 因为，不共线，所以消去x整理可得＋＝2， 所以＋为定值. 学生用书⬇第69页 学科网（北京）股份有限公司 $