第1章 §4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为(　　) A． B．－ C． D． 解析：选B.由题知r＝1，所以sin α＝－，故选B. 2．若α的终边与－的终边垂直，且0<α<π，则cos α＝(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选A.因为α的终边与－的终边垂直，且0<α<π，所以α＝－＝，则cos ＝.故选A. 3．已知点P是角α终边上一点，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由点P是角α终边上一点，得sin α＝＝.故选C. 4．已知角α的顶点为原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(x，1)，且sin α＝，则x＝(　　) A．－ B． C．± D．± 解析：选C.角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(x，1)，则OP＝，由sin α＝，得＝，解得x＝±.故选C. 5．(多选)若sin α＝－，则下列各点是角α终边上的点的是　(　　) A． B． C． D． 解析：选CD.选项中的点均为平面直角坐标系中单位圆上的点，由三角函数的定义，知y＝sin α＝－.故选CD. 6．(多选)已知角α的终边经过点P(－2，m)，则下列结论正确的是(　　) A．若sin α＝，则m＝1 B．若m＝1，则sin α＝ C．若cos α＝－，则m＝1 D．若m＝1，则cos α＝－ 解析：选ABD.由sin α＝，得＝，解得m＝1(负值已舍去)，则A正确；由m＝1，得sin α＝＝，cos α＝＝－，则B，D正确；由cos α＝－，得＝－，解得m＝±1，则C错误．故选ABD. 7．若角α的终边过点(－3，4)，则cos α－sin α＝__________． 解析：因为角α的终边过点(－3，4)，则由三角函数的定义可得sin α＝＝，cos α＝＝－. 所以cos α－sin α＝－. 答案：－ 8．(2025·宜春月考)已知在平面直角坐标系中，点P在半径为2的圆O上，现点P从圆O与y轴非负半轴的交点A出发按顺时针方向运动了圆周，则此时点P的纵坐标为________． 解析：由题意，点P顺时针方向旋转了60°， 故∠xOP＝30°，sin ∠xOP＝， 所以yP＝2sin ∠xOP＝1. 答案：1 9．已知角α的终边上一点P(－，y)，y≠0，且sin α＝y，则cos α的值是________． 解析：由sin α＝＝y，得y2＝5，所以cos α＝＝＝－. 答案：－ 10．(13分)已知点M是单位圆上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α的值． 解：设点M(x1，y1)，由题意可知sin α＝－，即y1＝－，因为点M在单位圆上， 所以x＋y＝1，即x＋＝1，解得x1＝±，所以当x1＝时，cos α＝；当x1＝－时，cos α＝－.综上，cos α＝±. 11．已知角α终边上异于原点的一点P且PO＝r，则点P的坐标为(　　) A．P(sin α，cos α) B．P(cos α，sin α) C．P(r sin α，r cos α) D．P(r cos α，r sin α) 解析：选D.设P(x，y)，则sin α＝，所以y＝r sin α，又cos α＝，所以x＝r cos α，所以P(r cos α，r sin α).故选D. 12．(2025·桂林期中)在平面直角坐标系Oxy中，角α与角β的始边均与x轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，点M(x，－1)在角β的终边上．若sin α＝，则sin β＝(　　) A．－ B．－ C． D．－ 解析：选B.由题意知角α与角β的终边关于原点对称，点M(x，－1)在角β的终边上，则点N(－x，1)在角α的终边上．由sin α＝以及ON＝，可得＝；由点M(x，－1)在角β的终边上且OM＝，可知sin β＝＝－. 13．已知角α终边上一点P(x，y)，我们知道sin α＝，小明在计算时错把x2＋y2写成了x2－y2，得到sin α＝，则正确的sin α＝________． 解析：依题意，得＝， 则＝且y>0，则x2＝3y2， 所以sin α＝＝＝＝. 答案： 14．(15分)已知点P(x，y)为角α终边上一点． (1)若角α是第二象限角，y＝，cos α＝－，求 x的值；(7分) (2)若x＝y，求sin α＋2cos α的值．(8分) 解：(1)因为cos α＝＝－，x＜0， 解得x＝－(正值已舍去). (2)若x＝y，则sin α＝cos α，故sin α＋2cos α＝3cos α＝3×＝±. 15.(15分)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1，0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求sin α 的值；(6分) (2)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．(9分) (注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形) 解：(1)因为角α的终边与单位圆相交于B，且点B的横坐标为－，因为B在x轴上方，所以B.由三角函数的定义，可得sin α＝. (2) 弓形AB的面积S＝S扇形AOB－S△AOB.扇形的圆心角为α，所以S扇形AOB＝α×12＝.过点O作OH⊥AB于点H，则OH＝cos ×1＝cos ，AB＝2AH＝2sin ×1＝2sin ，所以S△AOB＝×2sin ×cos ＝sin cos .所以S＝S扇形AOB－S△AOB＝－sin cos . 学科网（北京）股份有限公司 $