第6章 章末综合检测(五)立体几何初步（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了立体几何的核心知识，涵盖空间几何体结构、表面积与体积计算、空间点线面位置关系及空间角与距离，通过米斗、日晷等实例将抽象概念与实际问题结合，构建完整知识网络。 其亮点在于以“现实情境—数学抽象—逻辑推理”为主线，如日晷问题培养数学眼光，证明题（如BD⊥PC）提升数学思维，分层设计（选择、填空、解答）满足不同学生需求，助力教师精准复习，有效巩固知识。

章末综合检测(五) 1 √ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是(　　) A．直线与平面相交 B．直线与平面平行 C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 17 19 18 章末综合检测 解析：若一直线上有一点在已知平面外，则直线与平面相交或平行，A，B错误； 当直线与平面平行时，直线上所有点都在平面外，C错误； 无论直线与平面相交还是平行，都有无数多个点在平面外，D正确．故选D. 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 17 19 18 章末综合检测 √ 2.如图所示，Rt△O′A′B′是一个平面图形△OAB的直观图，斜边O′B′＝2，则△OAB的面积是(　　) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 3.米斗是我国古代官仓、粮栈、米行必备的用具，是称量粮食的量器．如图是一种米斗，可盛米10升(1升＝1 000 cm3)，已知盛米部分的形状为正四棱台，且下口宽18 cm，上口宽24 cm，则高约为(　　) A．18.8 cm B．20.4 cm C．22.5 cm D．24.2 cm √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 √ 5.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6 cm，高8 cm(不含杯脚)，已知水的高度是4 cm，现往杯子中放入一种直径为1 cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变．如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠(　　) A．98颗 B．106颗 C．120颗 D．126颗 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 6．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面夹角的大小为(　　) A．20° B．40° C．50° D．90° √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 解析：示意图如图所示，⊙O所在平面为地球赤道所在平面，⊙O1所在平面为点A处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的平面垂直，则∠CAB＝∠OAO1＝40°，故晷针AC与点A处的水平面夹角的大小为40°.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 7．已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为60°，则球的表面积与圆台的侧面积之比为(　　) A．2∶3 B．3∶4 C．7∶8 D．6∶13 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 解析：如图，设圆台上、下底面圆的半径分别为r1，r2，母线长为l，球的半径为R，取圆台的轴截面ABCD，则四边形ABCD为等腰梯形，圆台的内切球球心为O，则球心O在截面ABCD内．在截面ABCD内， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 √ √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 对于B项，△PAB中PA＝PB是母线长，AB是底面圆的一条弦，与PA不一定相等，故B错误； 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 √ 10.如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包含端点)上运动时，下列四个结论中恒成立的为(　　) A．EP⊥AC B．EP∥BD C．EP∥平面SBD D．EP⊥平面SAC √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 解析：对于A项，如图所示，设AC，BD相交于点O，连接EM，EN，SO. 由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，SO⊥AC. 因为SO∩BD＝O，SO，BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD. 因为E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，所以EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，所以平面EMN∥平面SBD，所以AC⊥平面EMN，因为EP⊂平面EMN，所以AC⊥EP，故A正确； 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 对于B项，因为EM∥BD，EM⊂平面EMN，BD⊄平面EMN，所以BD∥平面EMN，又EM∩EP＝E，所以EP∥BD不成立，故B不正确； 对于C项，因为平面EMN∥平面SBD，EP⊂平面EMN，所以EP∥平面SBD，故C正确； 对于D项，由题易得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故D不正确．故选AC. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 √ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 13．设PA垂直于Rt△ABC所在的平面α，∠BAC＝90°，PB，PC与平面α夹角的大小分别为45°和30°，PA＝2，则点P到BC的距离是________． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 14．在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，若底面边长为1，高为3，则BC到平面ADC1B1的距离为________． 解析：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，取AD，BC，B1C1的中点O，M，N，连接MN，OM，ON，如图， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 因为BC∥AD，BC⊄平面ADC1B1，AD⊂平面ADC1B1，所以BC∥平面ADC1B1.因为MN∥BB1，BB1⊥平面ABCDEF，所以MN⊥平面ABCDEF，又AD⊂平面ABCDEF，则MN⊥AD，又因为OM⊥AD，OM∩MN＝M，OM，MN⊂平面OMN，所以AD⊥平面OMN，又AD⊂平面ADC1B1，因此平面OMN⊥平面ADC1B1. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，且PB＝PD. (1)求证：BD⊥PC；(6分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO. 因为PO∩AC＝O，PO，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC， 因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 (2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.(7分) 证明：因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD. 因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD. 所以BC∥平面PAD. 又因为BC⊂平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l.所以BC∥l. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 2 3 1 17 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 11 2 3 1 19 18 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 11 2 3 1 19 18 章末综合检测 (2)求二面角C-AB-E的余弦值．(8分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 11 2 3 1 19 18 章末综合检测 18．(本小题满分17分)如图，点C在直径为AB的半圆O上，CD垂直于半圆O所在的平面，BC∥平面ADE，且CD∥BE. (1)证明：平面ADE⊥平面ACD；(8分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 11 2 3 1 19 章末综合检测 解：证明：因为点C在半圆O上，AB为直径，则BC⊥AC，因为CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC，又AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD， 则BC⊥平面ACD.由CD∥BE知点B，C，D，E共面， 又BC∥平面ADE，平面BCDE∩平面ADE＝DE，BC⊂平面BCDE， 因此BC∥DE，即有DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 11 2 3 1 19 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 11 2 3 1 19 章末综合检测 解：由(1)知，CD⊥AC，因为CD∥BE，则∠ADC为异面直线AD与BE的夹角，即∠ADC＝45°，则CD＝AC＝1. 因为CD∥BE，BC∥DE，所以四边形BCDE为平行四边形，则有BE＝CD＝1.因为CD⊥平面ABC，则有BE⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，则BE⊥AC，又BC⊥AC，BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCDE，所以AC⊥平面BCDE，因为CE⊂平面BCDE，所以AC⊥CE.取AE的中点M，连接CM，BM，如图， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 11 2 3 1 19 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 11 2 3 1 19 章末综合检测 19．(本小题满分17分)已知点P是边长为2的菱形 ABCD 所在平面外一点，且点P在底面ABCD内的投影是AC与BD的交点O，已知∠BAD＝60°，△PBD是等边三角形． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 (1)求证：AC⊥PD；(4分) 解：证明：因为点P在底面ABCD内的投影是AC与BD的交点O，所以PO⊥平面ABCD，因为AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC， 因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 因为PO∩BD＝O，PO，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD. 因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 (2)求点D到平面PBC的距离；(6分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 (3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC的夹角最大？求出最大角的正弦值，并说明此时点E所在的位置．(7分) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 11 2 3 1 章末综合检测 A． B．1 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为，A，B为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是(　　) A.圆锥的高为1 B．△PAB为等边三角形 C．△PAB面积的最大值为 D．直线PA与圆锥底面夹角的大小为 对于B项，三棱锥D-ABC的底面积S△ABC＝a2是定值，因为△ABC，△ACD均为等边三角形，O为AC的中点，则AC⊥BO，AC⊥DO，因为BO∩DO＝O，BO，DO⊂平面BOD，所以AC⊥平面BOD，因为AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面BOD，在平面BOD内过点D作DD′⊥直线BO于点D′，因为平面ABC⊥平面BOD，平面ABC∩平面BOD＝BO，DD′⊥BO，DD′⊂平面BOD，所以DD′⊥平面ABC，则有DD′≤DO＝a，当且仅当点D′与点O重合时取等号，因此，V三棱锥D-ABC＝S△ABC·DD′＝a2·DD′≤a2·a＝，故B错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD为该圆柱的轴截面，F为 的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC，EF夹角的余弦值为_______． $