第6章 §4 4.2 平面与平面平行（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面与平面平行的判定定理和性质定理，以上海世博会中国国家馆为导入实例，引导学生从直观感知平行平面出发，通过操作确认归纳定理，构建从具体实例到抽象定理的学习支架。 其亮点在于运用“数学眼光”观察现实（国家馆平行平面实例），“数学思维”推理（思考问题引导定理形成），“数学语言”表达（文字、图形、符号语言结合）。母题探究变式训练、截面问题拓展，培养空间观念与创新意识。学生提升逻辑推理与空间想象，教师获得系统教学资源，便于实施探究式教学。

4．2　平面与平面平行 1 新课导入 学习目标  上海世界博览会的中国国家馆被永久保留，中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉． 1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理． 2．掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　平面与平面平行的性质定理 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β. 思考1　直线a与平面β的位置关系如何？ 提示：平行． 思考2　直线a与直线b的位置关系如何？ 提示：平行或异面． 思考3　在什么条件下可使a∥b? 提示：当a与b不异面，即a与b在同一平面内时，a∥b. 返回导航 [知识梳理] 交线 α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b 返回导航 [例1] (对接教材例5)如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与平面α，β相交于点A，B和C，D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长． 返回导航 返回导航 母题探究　在本例中，若点P在平面α与平面β之间，在第(2)问的条件下求CD的长． 解：如图所示，因为PB∩PD＝P， 所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD， 又α∥β， 所以AC∥BD. 所以∠PAC＝∠PBD，∠PCA＝∠PDB， 返回导航 返回导航 平面与平面平行的性质定理的解题步骤 返回导航 [跟踪训练1] 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1.点E为棱A1D1的中点，平面CB1E交棱DD1于点F. (1)求证：B1C∥EF； (2)确定点F在棱DD1上的位置，并求EF的长． 返回导航 解：(1)证明：由长方体的性质知，平面BCC1B1∥平面ADD1A1，又平面CB1E∩平面BCC1B1＝B1C，平面CB1E∩平面ADD1A1＝EF，由平面与平面平行的性质定理可知，B1C∥EF. 返回导航 二　平面与平面平行的判定定理 思考1　如图1，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都与桌面平行(转动一下硬纸片，仍可保持a，b都与桌面平行)，直观感受一下，硬纸片与桌面平行吗？ 提示：不一定平行． 返回导航 思考2　如图2，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都与桌面平行，直观感受一下，三角尺与桌面平行吗？ 提示：平行． 返回导航 [知识梳理] 相交直线 a⊂α b⊂α a∩b＝A a∥β b∥β 返回导航 [例2] (对接教材例6)如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.　       若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD. 返回导航 【证明】　由BD∥B1D1，BD⊄平面EB1D1， B1D1⊂平面EB1D1， 得BD∥平面EB1D1. 如图，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG. 返回导航 易得GF∥AD，GF＝AD，所以四边形ADFG 是平行四边形，所以AG∥DF， 所以B1E∥DF，又DF⊄平面EB1D1，B1E⊂平面EB1D1，所以DF∥平面EB1D1. 又因为BD∩DF＝D，BD，DF⊂平面FBD，所以平面EB1D1∥平面FBD. 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (1)利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤 返回导航 (2)判断两平面平行的基本方法 ①定义法：两个平面没有公共点． ②转化法：转化为线线平行，平面α内的两条相交直线分别与平面β内的两条相交直线平行，则α∥β. ③利用平面平行的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 返回导航 [跟踪训练2] 如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，CD∥AB, 求证：平面PAB∥平面EFG. 返回导航 证明：因为E，G分别是PC，BC的中点，所以EG∥PB，又因为EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB， 因为E，F分别是PC，PD的中点， 所以EF∥CD， 又因为AB∥CD，所以EF∥AB， 因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， 所以平面PAB∥平面EFG. 返回导航 (1)证明：l∥CD； 【解】　证明：由四边形ABCD为菱形，得AB∥CD， 又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，则AB∥平面PCD， 又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，则AB∥l，所以l∥CD. 返回导航 (2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论． 返回导航 连接BM，BD，设BD∩AC＝O，由四边形ABCD是菱形，得O为BD的中点，连接OE， 则BM∥OE，又OE⊂平面AEC，BM⊄平面AEC，所以BM∥平面AEC， 又FM∩BM＝M，FM，BM⊂平面BFM，则平面BFM∥平面AEC， 又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC. 返回导航 (1)证明直线与平面平行，除了定义法、判定定理法以外，还可以用两平面平行的性质，也就是说为了证明直线与平面平行，也可以先证明两平面平行，再由两平面平行的性质得到线面平行． (2)空间中线线、线面、面面平行关系的转化如下： 返回导航 [跟踪训练3] 如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝2，BC＝3，AD＝4，线段AD的垂直平分线与AD交于点E，与BC交于点F，现将四边形CDEF沿EF折起，使C，D分别到点G，H的位置，得到几何体ABFEHG，如图2所示．判断线段EH上是否存在一点P，使得平面PAF∥平面BGH，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由． 返回导航 解：存在．当点P为线段EH的中点时，平面PAF∥平面BGH. 证明如下：由题易知EH＝2，GF＝1，EH∥GF. 因为点P为线段EH的中点， 所以HP＝GF＝1，HP∥GF， 所以四边形HPFG是平行四边形， 所以HG∥PF， 因为PF⊂平面PAF，HG⊄平面PAF， 返回导航 所以HG∥平面PAF. 连接PG(图略).因为PE∥GF，PE＝GF＝1， 所以四边形PEFG是平行四边形， 所以PG∥EF，且PG＝EF， 又EF∥AB，EF＝AB， 所以PG∥AB，PG＝AB， 所以四边形ABGP是平行四边形， 返回导航 所以PA∥BG. 因为PA⊂平面PAF，BG⊄平面PAF， 所以BG∥平面PAF. 又HG，BG⊂平面BGH，HG∩BG＝G， 所以平面PAF∥平面BGH. 返回导航 拓视野　截面问题 截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫作这个几何体的截面，与几何体表面的交集(交线)叫作截线，与几何体棱的交集(交点)叫作截点． 返回导航 [典例] 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB中点，P为线段C1D1上一动点，过D，E，P的平面截正方体的截面图形不可能是(　　)     A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 √ 返回导航 【解析】　对于B，当点P与D1重合时，如图1，取A1B1中点H，连接DE，EH，HD1，因为E是AB中点，则EH∥DD1，且EH＝DD1， 所以四边形EHD1D为平行四边形， 又因为DD1⊥DE，所以平行四边形EHD1D为矩形，故排除B选项； 返回导航 对于C，当点P与C1重合时，如图2， 取BB1的中点为G，连接DE，EG，GC1，C1D，因为E是AB的中点，所以EG∥DC1， 截面四边形EGC1D为梯形，故排除C选项； 返回导航 返回导航 返回导航 截面的作法 (1)直接法作截面：若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面． 返回导航 (2)平行线法作截面：若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 46 1．在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是(　　) A．α，β都平行于直线a B．α内存在不共线的三点到β的距离相等 C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β √ 返回导航 解析：当α∩β＝l，l∥a，a⊄α，且a⊄β时，满足α，β都平行于直线a，不能推出α∥β，故A错误； 当α∩β＝b，且在α内直线b一侧有两点，另一侧有一点，三点到β的距离相等时，不能推出α∥β，故B错误； 当l与m平行时，不能推出α∥β，故C错误； 因为l∥α，m∥α，所以在α内有两条直线l′，m′，使得l′∥l，m′∥m.因为l与m异面，则l′与m′相交．又l∥β，m∥β，则l′∥β，m′∥β，所以α∥β，故选D. 返回导航 2．(教材P235T3改编)在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面互相平行的是(　　) A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G √ 返回导航 解析：如图，因为EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，所以EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，H1E，EG⊂平面EGH1，所以平面E1FG1∥平面EGH1.易知B，C，D均不正确． 返回导航 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F在DD1上，点E在BB1上，且AF∥EC1，则四边形AEC1F的形状是______________． 平行四边形 返回导航 解析：因为AF∥EC1，所以A，F，E，C1四点共面，因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面AFC1E＝AE，平面CDD1C1∩平面AFC1E＝C1F，所以AE∥C1F，又因为AF∥EC1， 所以四边形AEC1F是平行四边形． 返回导航 4.如图所示，在棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面BCD，且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周长是9，则△BCD的周长为________． 27 返回导航 返回导航 1．已学习：平面与平面平行的性质定理、平面与平面平行的判定定理． 2．须贯通：应用判定定理，只要找出一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行即可；应用性质定理，一般是找到或作出与两个平面相交的辅助面，两个平面的交线必定平行． 3．应注意：判定平面与平面平行的条件是否充分． 返回导航 文字语言 图形语言 符号语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条______平行 ⇒a∥b 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内的两条__________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒α∥β 【解】存在．当F是PC的中点时，BF∥平面AEC， 如图，取PE的中点M，连接FM，当F为PC的中点时，得FM∥CE，又CE⊂平面AEC，FM⊄平面AEC，所以FM∥平面AEC.由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝PE＝ED，故E是MD的中点， 解析：因为平面EFG∥平面BCD， 而平面EFG∩平面ABC＝EG， 平面BCD∩平面ABC＝BC，故EG∥BC， 故＝＝，同理＝＝， 所以△EFG∽△BDC，且相似比为1∶3， 所以△EFG与△BDC的周长之比为1∶3，而△EFG的周长是9，故△BCD的周长为9×3＝27. $