第6章 §3 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(二) 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）
2026-05-01
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教辅
摘要：
该高中数学课件聚焦空间点、直线、平面的位置关系，通过基础达标题（如直线与平面交点判断）到几何体应用（正方体、三棱柱中线线关系分析），构建从概念到应用的学习支架，帮助学生逐步理解空间直线的相交、平行与异面关系。
其亮点在于以正方体、三棱柱为载体，通过几何直观呈现空间形式，结合逻辑推理分析线线位置（如异面直线判定），培养学生用数学眼光观察、用数学思维思考的能力。多样化题目（选择、证明、计算）助力学生用数学语言表达空间关系，既巩固知识又提升素养，也为教师提供丰富教学资源。
内容正文：
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1．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或异面
解析：因为a∩α＝A，b⊂α，所以当A∉b时，由异面直线的定义可得a与b异面，当A∈b时，a∩b＝A，即a与b相交．故选D.
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2．已知直线a，b，c，若a，b异面，b∥c，则a，c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行或异面 D．相交或异面
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解析：在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与DD1是异面直线，DD1∥BB1，AB∩BB1＝B；C1D1与AD是异面直线，AD∥BC，C1D1与BC是异面直线．所以两直线a与b是异面直线，b∥c，则a，c的位置关系是相交或异面．故选D.
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3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )
A．直线AA1 B．直线A1B1
C．直线A1D1 D．直线B1C1
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解析：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行．所以直线B1C1和直线EF相交，即D正确．故选D.
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4.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1的夹角为60°
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解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1与B1E是共面的，所以A错误；
由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；
同理AE与B1C1是异面直线，C正确；
AE与B1C1的夹角就是AE与BC的夹角，E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，故AE与B1C1的夹角是90°，D错误．故选C.
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5．(多选)已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中正确的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交
C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面
D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面
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解析：由平行线的传递性知A正确；
若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行、相交或异面，B错误；
若a与b分别在两个相交平面内，则a与b可能平行、相交或异面，C正确；
若a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误．故选AC.
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6．(多选)设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点，则下列命题一定是真命题的是( )
A．在α内存在直线与直线AB异面
B．在α内存在直线与直线AB相交
C．存在过直线AB的平面与α相交
D．存在过直线AB的平面与α平行
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解析：对于A，无论直线AB与α平行，还是相交，在α内都存在直线与直线AB异面，故A正确；
对于B，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，故B错误；
对于C，无论直线AB与α平行，还是相交，都存在过直线AB的平面与α相交，故C正确；
对于D，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，故D错误．故选AC.
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7．在空间中，AB∥EF，直线BC，EF为异面直线，若∠ABC＝120°，则异面直线BC，EF夹角的大小为________．
解析：直线BC，EF为异面直线，且AB∥EF，所以AB与BC的夹角即为异面直线BC，EF的夹角，因为∠ABC＝120°，且异面直线夹角θ的范围是0°<θ≤90°，所以异面直线BC，EF夹角的大小为60°.
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8．(2025·宜春月考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点，则∠EFG与∠ABC1的关系是__________．
互补
解析：因为E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两边分别对应平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补．
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11.如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE夹角的余弦值为( )
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12．(多选)如图，A，B，C，D为三棱柱的顶点或所在棱的中点，下列图形中，直线AB与CD是异面直线的为( )
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解析：对于A，因为CD⊂平面BCD，B∈平面BCD，B∉CD，A∉平面BCD，由异面直线的定义可知，直线AB与CD是异面直线，故A正确；
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对于B，如图1，因为C，D分别为所在棱的中点，所以CD∥EF，又AB∥EF，由平行线的传递性可得AB∥CD，故B错误；
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所以A，C，D三点确定平面ACDF，因为B∉平面ACDF，A∉CD，所以直线AB与CD是异面直线，故C正确；
对于D，因为AB⊂平面ABC，C∈平面ABC，C∉AB，D∉平面ABC，由异面直线的定义可知，直线AB与CD是异面直线，故D正确．故选ACD.
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14.(13分)如图，点A在△BCD所在平面外，M，N分别是△ABC和△ACD的重心．
(1)求证：MN∥BD；(6分)
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解：(1)证明：连接AM并延长，交BC于点E，连接AN并延长，交CD于点F，连接EF.
因为M，N分别是两个三角形的重心，所以AM∶AE＝2∶3，AN∶AF＝2∶3，于是MN∥EF.
因为M，N分别是△ABC和△ACD的重心，所以E，F分别是BC和DC的中点，从而EF∥BD，所以MN∥BD.
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(2)若BD＝6，求MN的长．(7分)
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15．(15分)(2025·萍乡月考)在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，DN∥BC，DN与EF相交于M.将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′，BC′的中点，求证：
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(1)四边形EFGH为平行四边形；(7分)
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(2)∠C′EB＝∠D′MN.(8分)
证明：折叠前DN∥BC，且DM∥CE，MN∥EB，
折叠后D′M∥C′E，MN∥EB，
所以∠C′EB与∠D′MN的对应边分别平行且方向相同，所以∠C′EB＝∠D′MN.
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