第4章 §2 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的余弦公式，通过复习诱导公式转化锐角三角函数值的旧知，提出已知α、β三角函数值求α-β值的新问题，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以“思考cos15°是否等于cos45°-cos30°”引导探究，结合向量知识推导公式，体现数学思维的逻辑推理。通过实例解析（如cos47°cos137°+sin47°sin137°的计算）和给值求角步骤强调角的范围，培养严谨性。课堂小结系统梳理知识与注意事项，帮助学生构建知识体系，提升数学眼光和思维能力，也为教师提供清晰的教学路径。

§2　两角和与差的三角函数公式 1 2．1　两角和与差的余弦公式及其应用 2 新课导入 学习目标 　　同学们，大家知道求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式． 1.能利用三角函数的定义和向量知识推导出两角和与差的余弦公式． 2．熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　两角和与差的余弦公式 思考　cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°－cos 30°成立吗？ [知识梳理] cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(Cα＋β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(Cα－β) 返回导航 【解析】　cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°＝cos (137°－47°)＝cos 90°＝0.故选A. √ 返回导航 √ 返回导航 解决给角求值问题的方法 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行局部变形． (2)一般将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时需要逆用或变形公式． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)根据条件确定所求角的范围； (2)求出所求角的某个三角函数值，为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数； (3)结合三角函数值及角的范围求角． 注意　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． 返回导航 返回导航 √ 返回导航 (2)求值：cos 40°＋cos 80°＋cos 160°＝________． 【解析】　cos 40°＋cos 80°＋cos 160°＝cos (60°－20°)＋cos (60°＋20°)＋cos (180°－20°)＝cos 60°cos 20°＋sin 60°sin 20°＋cos 60°cos 20°－sin 60°sin 20°－cos 20°＝2cos 60°cos 20°－cos 20°＝cos 20°－cos 20°＝0. 0 返回导航 化简含有非特殊角的三角函数式时，要学会观察非特殊角之间的关系，一般就是根据条件合理拆角，查看两个非特殊角的和与差是否是特殊角，构造特殊角是解决这类问题的突破口． 返回导航 返回导航 (2)求值：－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°＝________． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 两角和与差的余弦公式常常与三角函数的定义、两点间的距离公式、三角形以及平面向量等知识点综合考查，是两角和与差的余弦公式应用的基础题型，解决此类问题只需牢记公式结构，熟悉解题通性通法． 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 32 √ 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：两角和与差的余弦公式的推导；给角求值、给值求值、给值求角． 2．须贯通：两角和与差的余弦公式既可正用，也可逆用，结合题设条件，将未知的角分解为已知角的和或差，再利用公式求解． 3．应注意：(1)两角和与差的余弦公式的结构特征； (2)给值求角问题中角的范围． 返回导航 $