第2章 §6 6.1 第4课时 解三角形应用举例（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦解三角形应用，核心内容为利用正弦、余弦定理解决测量距离、高度、角度问题。新课导入通过故宫角楼高度测量实例，衔接已学定理，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于以实际问题驱动，通过四点共圆求距离、山高测量等实例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理转化的能力。课堂小结梳理术语与思想方法，助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第4课时　解三角形应用举例 1 新课导入 学习目标 　　在测量工作中，经常会遇 到不方便直接测量的情形．例 如，如图所示故宫角楼的高度， 因为顶端和底部都不便到达， 所以不能直接测量．假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？ 1.通过教材实例掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用． 2．能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　角度问题 [知识梳理] 　实际测量中的有关名称、术语 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 测量角度问题的解题思路 返回导航 √ 返回导航 返回导航 二　距离问题 [知识梳理] 1．基线 (1)在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫作基线． (2)在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度，一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的 B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)： AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为____ km. 【解析】　因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CD cos D＝52＋32－2×5×3cos D＝34－30cos D，① AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝52＋82－2×5×8cos B＝89－80cos B＝89＋80cos D，② 联立①②，解得AC＝7. 7 返回导航 测量距离问题的解题思路 测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构建数学模型时，要尽量把已知元素放在同一个三角形中． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 [例3] (对接教材例11)如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山底C在北偏西60°方向上，行驶1 200 m后到达B处，测得此山底C在北偏西15°方向上，仰角为45°，则此山的高度为________m. 返回导航 返回导航 测量高度问题的解题思路 这里要解决的主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 28 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：距离问题、角度问题、高度问题． 2．须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法． 3．应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角． 返回导航 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 名称 定义 图示 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 方位角 从正北的方向线按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角 2．测量距离问题的基本类型及求解方法 类型 图形 方法 A，B两点间不可到达的距离 余弦定理 A，B两点间可视有一点不可到达的距离 正弦定理 A，B两个均不可到达的点之间的距离 先用正弦定理，再用余弦定理 【解析】　如图，由题意得A＝60°，B＝75°，AB＝10，则C＝45°， 所以＝， 所以BC＝＝5， 即B，C间的距离为5 n mile.故选D． 2 三　高度问题 [知识梳理] 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 图形 方法 底部可达 测量BC和∠BCA，解直角三角形求AB 类型 图形 方法 底部不可达 点B与点C，D共线 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与点C，D不共线 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 600 $