第2章 §2 2.1 向量的加法（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量加法，涵盖定义、三角形法则、平行四边形法则、运算律及实际应用。通过唐僧取经位移合成的生活实例导入，联系数的运算引出向量运算，搭建从现实问题到数学概念的学习支架。 其亮点在于以思考问题驱动探究，结合例题、跟踪训练及母题变式，渗透数学思维（如运算律的推理证明）与数学语言（如船速问题的向量模型构建）。课堂小结系统梳理方法，助力学生发展抽象能力与应用意识，教师可高效开展教学。

§2　从位移的合成到向量的加减法 2.1　向量的加法 1 新课导入 学习目标 我们知道，数能进行 运算，因为有了运算而使 数的威力无穷，那么，向 量是否也能像数一样进行运算呢？唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算．  1.借助实例理解向量加法的概念,了解向量加法的几何意义． 2．能熟练地运用平行四边形法则和三角形法则作出已知向量的和向量． 3．通过实例理解向量加法的结合律和交换律，并能熟练运用它们进行向量计算． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　向量加法的定义及运算法则 思考1　在运动学中，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 返回导航 思考2　在力学中，某物体同时受到两个力F1，F2的作用，如图所示，你能作出该物体所受的合力吗？ 提示：合力在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，大小等于对角线的长度． 返回导航 [知识梳理] 和 返回导航 返回导航 [例1] (对接教材例1)(1)如图1所示，求作向量a＋b； 返回导航 (2)如图2所示，求作向量a＋b＋c. 返回导航 返回导航 (1)向量的三角形法则中强调“首尾相接”，向量的平行四边形法则中强调的是“共起点”． (2)向量的三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而向量的平行四边形法则仅适用于不共线的两个非零向量求和． (3)当两个非零向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． 返回导航 返回导航 返回导航 二　向量加法的运算律 思考　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 返回导航 返回导航 [知识梳理] 交换律 a＋b＝______ 结合律 (a＋b)＋c＝___________ b＋a a＋(b＋c) 返回导航 返回导航 返回导航 向量加法运算律的应用策略 (1)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e). (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 三　向量加法的实际应用 [例3] (对接教材例2)已知在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 返回导航 返回导航 母题探究1　若本例条件不变，求经过3 h，该船的实际航程是多少千米？ 返回导航 母题探究2　若本例改为若船沿垂直于水流的方向航行，其他条件不变，求船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值． 返回导航 应用向量加法解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合共线向量、相等向量等概念回答原问题． 返回导航 [跟踪训练3] (2025·南阳月考)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平方向夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N，则物体的重力大小为________N． 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 30 √ 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 3．(教材P88T4改编)若向量a表示向东走1 km，b表示向南走1 km，则向量a＋b表示________________________． 返回导航 2 返回导航 1．已学习：向量加法的三角形法则、平行四边形法则、加法运算律、向量加法的实际应用． 2．须贯通：三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，体现了数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)三角形法则需要向量首尾相接； (2)平行四边形法则需要向量共起点． 返回导航 定义 求两个向量____的运算，称为向量的加法 法则 平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量a，b 作法 在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD 结论 有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝____ 图形 法 则 三角 形法 则 前提 已知两个不共线的向量a，b 作法 在平面内任取一点A，作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段 结论 向量称为向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝________ 图形 【解】　方法一(三角形法则)：如图2所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a， 再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c， 则向量＝a＋b＋c即为所求． 2 【解】　作出图形，如图．设船速v船的方向与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件可知，四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中， ||＝||＝|v水|＝10 m/min，||＝|v船|＝20 m/min， 10 向东南方向走 km $