专题02 平行线的证明（5知识&7题型&5易错&4方法清单）（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题02平行线的证明（5知识&7题型&5易错&4方法清单） . 【清单01】平行线证明的基础概念 概念. 【清单02】平行线的判定 平行线的判定与性质. 【清单03】平行线的性质 平行线的性质. 【清单04】三角形相关角度的性质 三角形相关角度的性质. 【清单05】平行线证明的一般步骤 . . 【题型一】命题的识别与辨识 【例1】（2025春•旌阳区期中）下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③x2不是负数；④化简a+2（a﹣1）．其中不是命题的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-1】（2025秋•东莞市期中）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等 【变式1-2】（2025秋•长安区期中）下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．若a＝b，则a2＝b2 D．如果ab＞0，那么a，b都是负数 【题型二】平行线的判定（由角的关系推线平行） 【例2】（2025春•南海区期中）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 【变式2-1】（2025春•柳南区期中）如图，能判定DE∥BC的条件是（　　） A．∠ACB＝∠DAB B．∠ACB＝∠BAC C．∠ACB＝∠CAE D．∠ACB＝∠ABC 【变式2-2】（2024秋•衡阳）如图，直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G．下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠4+∠5＝180° D．∠4＝∠2+∠3 【题型三】平行线的性质（由线平行推角的关系） 【例3】（2025•苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【变式3-1】（2025秋•朝阳区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式3-2】（2025秋•尚志市期中）如图，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若DE＝3，则BE＝（　　） A． B．1 C．3 D．6 【题型四】平行线判定与性质的综合应用 【例4】（2024秋•宝丰县）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝40°，则∠3的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式4-1】（2025春•同安区）如图，点E在BC的延长线上，已知∠1＝∠2，则与∠DCE一定相等的角是（　　） A．∠B B．∠D C．∠2 D．∠1 【变式4-2】（2025春•常德）如图，∠1＝∠2，∠D＝54°，则∠BAE的度数为（　　） A．27° B．36° C．54° D．72° 【题型五】三角形内角和及外角性质的证明与应用 【例5】（2025秋•五华区期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．则x的值为（　　） A．50 B．120 C．130 D．140 【变式5-1】（2025秋•滨海新区期中）如图，∠1是△ABC的一个外角，若∠1＝85°，∠C＝30°，则∠B的度数（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【变式5-2】（2024秋•靖边县）如图，在△ADC中，B为AD上一点，连接BC，且∠A＝30°，∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【题型六】平行线证明的实际应用题 【例6】（2025春•望城区期中）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝121°，DE与地面平行，∠ABD＝48°，则∠DCE＝ 　　 ． 【变式6-1】（2025秋•长寿区期中）如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线AC经过点O，DE是经过剪刀手柄D的直线．若∠AOB＝53°，AC∥DE，则∠ODE的度数是　　 ． 【变式6-2】（2025春•任城区期中）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝35°，∠3＝160°，则∠2的度数为　　 ． 【题型七】开放型证明题（补充条件或结论） 例7（2025秋•白云区月考）如图，AD、BC相交于点E，∠A＝30°，∠AEC＝75°，∠C＝45°，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 解：AB与CD的位置关系是： ，理由如下． 【变式7-1】（2025春•商南县）如图，已知AE，CE分别是∠BAC，∠ACD的角平分线，且AE⊥CE，垂足为E．求证：AB∥CD． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵∠1+∠3+∠E＝ 　　 °， ∵AE⊥CE，垂足为E， ∴∠E＝ 　　 °，∴∠1+∠3＝ 　　 °， 又∵AE，CE分别是∠BAC，∠ACD的角平分线， ∴∠1＝ 　　 ，∠3＝ 　　 ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝ 　　 °，即∠BAC+∠ACD＝ 　　 °， ∴AB∥CD（ 　　 ）． 【题型一】混淆平行线的判定与性质致错 【例1】（2025秋•海淀区期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 【变式1-1】（2025春•江城区）如图所示，下列推理正确的个数有（　　） ①若∠1＝∠2，则AB∥CD； ②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°； ③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC； ④若AB∥CD，则∠3＝∠4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】（2025•怀宁县开学）如图，已知AN平分∠BAM，BM平分∠ABN，∠MBN＝27°，AN⊥BM于C，则下列说法：①∠BCN＝90°；②AM∥BN；③∠DAM＝54°；④∠MAN＝63°，正确的有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型二】命题改写时遗漏题设或结论关键词 【例2】．（2025春•赣县区）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 　　 ． 【变式2-1】（2024秋•蜀山区）“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是　　 ． 【变式2-2】（2025春•东湖区月考）将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 　　 ． 【题型三】求取直线平行的条件时候，忽略分类讨论导致漏解 【例3】（2025春•廊坊月考）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝96°，∠2＝67°，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是　　 ．（旋转度数在0°至180°之间） 【变式3-1】（2025春•普宁市）一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　　 °时，DE∥AB． 【变式3-2】（2025春•唐县）如图为一根弯折的铁丝，∠ABC＝40°，工人师傅对该铁丝进一步加工，在C处进行第二次弯折．若要保证弯折后的部分与AB保持平行，则弯折后形成的∠BCD的度数为 　　 ． 【题型四】忽略三角形外角性质运用中的“转化”思想的应用 【例4】（2025秋•江岸区月考）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠E＝α，则∠BAC﹣∠B＝　　 ．（结果用含有α的式子表示） 【变式4-1】（2025秋•浏阳市期中）下列四个条件：①在△ABC中，∠A，∠B都是锐角； ②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3； ③在△ABC中，∠A﹣∠B＝∠C； ④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5． 其中能确定△ABC是直角三角形的是　　 （只填序号）． 【变式4-2】（2025秋•思明区期中）一天，爸爸带小明到建筑工地考察，看见一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°你知道∠3比∠2大多少吗？”小明马上得到了正确的答案，他的答案是　　 ． 【题型五】未正确识别平行线性质运用中复杂图形中的同位角、内错角、同旁内角 【例5】（2025秋•南宁月考）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，若DE∥AB，则∠ADE的度数为　　 ． 【变式5-1】（2025•游仙区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　　 ． 【变式5-2】（2025春•达州）如图，已知AB∥CD，∠EAF∠EAB，∠ECF∠ECD．若∠E＝66°，则∠F的度数为 　　 ． 【题型一】命题相关问题解题技巧 核心技巧：紧扣命题条件找 “例外”：先明确命题关键词（如 “所有”“一定”“都”），再从特殊值（0、1、负整数）、极端情况（边界值、特殊图形）入手构造反例。要求反例符合条件但结论不成立，且简洁直观（如用等腰直角三角形反驳 “所有直角三角形都全等”）。 【例1】（2024秋•镇海区）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”请你举个反例说明这个命题是假命题　 ． 【变式1—1】（2025秋•浙江期中）判断命题“如果n＜2，那么n2﹣4＜0”是假命题，举出一个反例，反例中的n可以为　 　 ． 【变式1—2】（2025秋•汝阳县期中）可以用来证明命题“两个无理数的和仍是无理数”为假命题的反例是 　　 ． 【题型二】平行线判定与性质解题技巧 核心技巧：“角定线，线定角”；角的识别看结构（同位角“F”型、内错角“Z”型、同旁内角“U”型）；拐点作平行线转化角 【例2】（2024秋•江口县）如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB． 【变式2—1】（2024秋•白银区）如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD与FG平行吗？说明理由． 【变式2—2】（2025•绥滨县开学）如图所示，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，试说明：AB∥EF． 【题型三】三角形角度证明技巧 核心技巧：利用平行线转移角，将三角形内角/外角转化为同位角、内错角；遇角度和差优先用外角性质 【例3】（2025秋•襄州区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，△ABC的角平分线BE交AD于点O，已知∠C＝60°，∠BAD＝50°，求∠AEB的度数． 【变式3—1】（2025秋•珠海期中）如图，CD是△ABC的高线，E为BC边上的一点，连接AE交CD于点F，∠BCD＝10°，∠AEB＝75°．求∠BAE的度数． 【变式3—2】（2025秋•武昌区期中）在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝60°，求∠DAC的度数． 【题型四】证明过程书写技巧 核心技巧：按“已知→中间推理→结论”顺序书写，每步标注准确依据（定义、公理、定理名称） 【例4】（2025春•浦东新区期中）如图，点C在射线BG上，AE∥DF，∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：AE∥BG．请你补全下面的证明过程： 证明：∵∠1＝∠2（已知），∴AB∥ （ 　　 ）， ∴　 ＝∠3（ 　　 ）， ∵∠B+∠D＝180（已知）， ∴　 +∠D＝180（等量代换），∴ ∥DF（ 　 　 ）， 又∵AE∥DF（已知）， ∴AE∥BG（ 　 　 ）． 【变式4—1】（2025春•西宁期中）完成以下证明过程． 已知：如图，AB∥CD，EF、CG分别是∠AEC，∠ECD的角平分线，求证：EF∥CG． 证明：∵AB∥CD（已知），∴∠AEC＝∠ECD（　　 ）， 又∵EF平分∠AEC（已知），∴ （　　 ）， 同理 ， ∴∠1＝∠2（　　 ），∴EF∥CG（　 　 ）． 【变式4—2】（2025春•浔阳区期中）请补全推理过程，并填写依据． 已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．请说明：∠A＝∠F． 解：∵∠1+∠2＝180°（已知）．∴BD∥CE（　　 ）． ∴∠C＝∠ABD（　　 ）． 又∵∠C＝∠D（已知）． ∴∠D＝　 （等量代换）． ∴AC∥DF （　　 ）．∴∠A＝∠F（　 　 ）． 学科网（北京）股份有限公14 / 14 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平行线的证明（5知识&7题型&5易错&4方法清单） . 【清单01】平行线证明的基础概念 概念. 【清单02】平行线的判定 平行线的判定与性质. 【清单03】平行线的性质 平行线的性质. 【清单04】三角形相关角度的性质 三角形相关角度的性质. 【清单05】平行线证明的一般步骤 【题型一】命题的识别与辨识 【例1】（2025春•旌阳区期中）下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③x2不是负数；④化简a+2（a﹣1）．其中不是命题的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据命题的定义进行判断即可． 【解答】解：①墙是白色的，是命题；②2加3等于5，是命题； ③x2不是负数，是命题；④化简a+2（a﹣1），不是命题， 故选：D． 【点评】本题考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键． 【变式1-1】（2025秋•东莞市期中）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等 【分析】先分别写出各选项命题的逆命题，再依据对顶角、全等三角形、平行线、实数绝对值的相关性质和判定，逐一判断逆命题是否成立． 【解答】解：A．逆命题是“内错角相等，两直线平行”．这是平行线的判定定理，是成立的，故该选项符合题意； B．逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，可能只是相似，比如两个等边三角形，角都相等，但边长不一定相等，所以不一定全等，该逆命题不成立，故该选项不符合题意； C．逆命题是“相等的角是对顶角”．相等的角不一定是对顶角，比如两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，所以该逆命题不成立，故该选项不符合题意； D．逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”．两个实数绝对值相等，这两个数可能相等，也可能互为相反数，比如|5|＝|﹣5|，但5≠﹣5，所以该逆命题不成立，故该选项不符合题意；故选：A． 【点评】本题考查了逆命题及命题真假的判断，解题关键在于准确写出各命题的逆命题，并依据相关数学定义、定理判断其真假． 【变式1-2】（2025秋•长安区期中）下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．若a＝b，则a2＝b2 D．如果ab＞0，那么a，b都是负数 【分析】把原命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据平行线的判定、全等三角形的判定、实数的平方、实数的乘法法则判断． 【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，逆命题是：同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题，不符合题意； B、全等三角形的对应边相等，逆命题是：对应边相等的三角形全等，逆命题是真命题，不符合题意； C、若a＝b，则a2＝b2，逆命题是：若a2＝b2，则a＝b，逆命题是假命题，符合题意； D、如果ab＞0，那么a，b都是负数，逆命题是：如果a，b都是负数，那么ab＞0，逆命题是真命题，不符合题意；故选：C． 【点评】本题考查的是命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【题型二】平行线的判定（由角的关系推线平行） 【例2】（2025春•南海区期中）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断． 【解答】解：当∠1＝∠3时，a∥b； 当∠4＝∠5时，a∥b； 当∠2+∠4＝180°时，a∥b． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【变式2-1】（2025春•柳南区期中）如图，能判定DE∥BC的条件是（　　） A．∠ACB＝∠DAB B．∠ACB＝∠BAC C．∠ACB＝∠CAE D．∠ACB＝∠ABC 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：由∠ACB＝∠DAB，不能判定DE∥BC，故A不符合题意； 由∠ACB＝∠BAC，不能判定DE∥BC，故B不符合题意； ∵∠ACB＝∠CAE，∴DE∥BC，故C符合题意； 由∠ACB＝∠ABC，不能判定DE∥BC， 故D不符合题意；故选：C． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【变式2-2】（2024秋•衡阳）如图，直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G．下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠4+∠5＝180° D．∠4＝∠2+∠3 【分析】根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可． 【解答】解：A．由∠2＝∠3可得AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行，故不符合题意； B．∵FG平分∠EFD交AB于点G．∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3， 由∠2＝∠3可得AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行，故不符合题意； C．∵∠4+∠5＝180°，∠EFD+∠5＝180°，∴∠4＝∠EFD， 由∠4＝∠EFD可得AB∥CD，根据同位角相等，两直线平行，故不符合题意； D．∵∠4＝∠2+∠3，∠4＝∠1+∠3，∴∠1＝∠2，故符合题意．故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系． 【题型三】平行线的性质（由线平行推角的关系） 【例3】（2025•苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【分析】利用平行线的性质得出∠A+∠B＝180°，进而得出答案． 【解答】解：∵使公路准确接通，∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝70°， ∴∠B＝110°． 即∠α的度数应为110°．故选：C． 【点评】本题主要考查方向角，灵活利用平行线的性质是解题的关键． 【变式3-1】（2025秋•朝阳区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】由“两直线平行，同旁内角互补”可得∠BCE＝130°，由折叠可得∠BCD＝∠ECD65°，则∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝25°，代入计算即可求解． 【解答】解：∵∠B＝50°，CE∥AB， ∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°， 由折叠可知，∠BCD＝∠ECD65°， ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝25°．故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质、折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键． 【变式3-2】（2025秋•尚志市期中）如图，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若DE＝3，则BE＝（　　） A． B．1 C．3 D．6 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质得到BE＝DE即可解决问题． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD．∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠EBD＝∠BDE，∴BE＝DE＝3．故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟知角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键． 【题型四】平行线判定与性质的综合应用 【例4】（2024秋•宝丰县）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝40°，则∠3的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】先根据内错角相等，两直线平行得到AB∥CT，再根据两直线平行，同位角相等即可得到∠3＝∠B＝40°． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CT， ∴∠3＝∠B＝40°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式4-1】（2025春•同安区）如图，点E在BC的延长线上，已知∠1＝∠2，则与∠DCE一定相等的角是（　　） A．∠B B．∠D C．∠2 D．∠1 【分析】根据题意，结合图形，由已知条件得到AB∥CD，即可得到∠DCE＝∠B． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD， ∴∠DCE＝∠B， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式4-2】（2025春•常德）如图，∠1＝∠2，∠D＝54°，则∠BAE的度数为（　　） A．27° B．36° C．54° D．72° 【分析】根据∠1＝∠2可得AE∥CD，根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AE∥CD，且∠D＝54°，∴∠BAE＝∠D＝54°， 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型五】三角形内角和及外角性质的证明与应用 【例5】（2025秋•五华区期中）如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．则x的值为（　　） A．50 B．120 C．130 D．140 【分析】由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝80°，得到∠2+∠4（∠ABC+∠ACB）＝40°，由三角形内角和定理即可求出x的值． 【解答】解：∵∠A＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝80°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2∠ABC，∠4∠ACB， ∴∠2+∠4（∠ABC+∠ACB）＝40°， ∴x＝180﹣40＝140．故选：D． 【点评】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形的内角和是180度． 【变式5-1】（2025秋•滨海新区期中）如图，∠1是△ABC的一个外角，若∠1＝85°，∠C＝30°，则∠B的度数（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【解答】解：∵∠1＝85°，∠C＝30°， ∴∠B＝∠1﹣∠C＝55°．故选：B． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【变式5-2】（2024秋•靖边县）如图，在△ADC中，B为AD上一点，连接BC，且∠A＝30°，∠1＝45°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【分析】由外角的定义得∠1＝∠A+∠2，进而得∠2＝∠1﹣∠A，即可得∠2的度数． 【解答】解：根据三角形外角性质得∠1＝∠A+∠2， ∵∠A＝30°，∠1＝45°， ∴∠2＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°． 则∠2的度数为15°．故选：D． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，关键是三角形外角性质的熟练掌握． 【题型六】平行线证明的实际应用题 【例6】（2025春•望城区期中）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝121°，DE与地面平行，∠ABD＝48°，则∠DCE＝ 　　 ． 【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝48°，再利用外角的性质进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：DE∥AB， ∴∠ABD＝∠EDC＝48°， ∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝121°， ∴∠DCE＝∠DEF﹣∠EDC＝121°﹣48°＝73°， 故答案为：73°． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式6-1】（2025秋•长寿区期中）如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线AC经过点O，DE是经过剪刀手柄D的直线．若∠AOB＝53°，AC∥DE，则∠ODE的度数是　　 ． 【分析】由两直线平行，同旁内角互补推出∠ODE+∠COD＝180°，由对顶角的性质得到∠COD＝∠AOB＝53°，即可求出∠ODE的度数． 【解答】解：∵AC∥DE， ∴∠ODE+∠COD＝180°， ∵∠COD＝∠AOB＝53°， ∴∠ODE＝127°故答案为：127°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 【变式6-2】（2025春•任城区期中）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝35°，∠3＝160°，则∠2的度数为　　 ． 【分析】过点E作EF∥AB，故可得出EF∥CD，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，∵∠3＝160°， ∴∠BEF＝180°﹣160°＝20°， ∵AB∥CD，∠1＝35°，∴EF∥CD， ∴∠MEF＝∠1＝35°， ∴∠2＝∠BEF+∠MEF＝20°+35°＝55°．故答案为：55°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 【题型七】开放型证明题（补充条件或结论） 例7（2025秋•白云区月考）如图，AD、BC相交于点E，∠A＝30°，∠AEC＝75°，∠C＝45°，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 解：AB与CD的位置关系是： ，理由如下． 【分析】利用三角形的外角性质，可求出∠CDE＝30°，结合∠A＝30°，可得出∠A＝∠CDE，再利用“内错角相等，两直线平行”，即可得出AB∥CD． 【解答】解：AB与CD的位置关系是：AB∥CD，理由如下： ∵∠AEC是△CDE的外角，∴∠CDE＝∠AEC﹣∠C＝75°﹣45°＝30°， 又∵∠A＝30°，∴∠A＝∠CDE， ∴AB∥CD．故答案为：AB∥CD． 【点评】本题考查了平行线的判定以及三角形的外角性质，牢记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 【变式7-1】（2025春•商南县）如图，已知AE，CE分别是∠BAC，∠ACD的角平分线，且AE⊥CE，垂足为E．求证：AB∥CD． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵∠1+∠3+∠E＝ 　　 °， ∵AE⊥CE，垂足为E， ∴∠E＝ 　　 °，∴∠1+∠3＝ 　　 °， 又∵AE，CE分别是∠BAC，∠ACD的角平分线， ∴∠1＝ 　　 ，∠3＝ 　　 ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝ 　　 °，即∠BAC+∠ACD＝ 　　 °， ∴AB∥CD（ 　　 ）． 【分析】由垂直的定义得到∠E＝90°，求出∠1+∠3＝90°，由角平分线定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠BAC+∠ACD＝180°，判定AB∥CD． 【解答】证明：∵∠1+∠3+∠E＝180°，∵AE⊥CE，垂足为E， ∴∠E＝90°，∴∠1+∠3＝90°， 又∵AE，CE分别是∠BAC，∠ACD的角平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即∠BAC+∠ACD＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：180；90；90；∠2；∠4；180；180．同旁内角互补，两直线平行． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同旁内角互补，两直线平行． 【题型一】混淆平行线的判定与性质致错 【例1】（2025秋•海淀区期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 【分析】根据平行线的判定和性质进行解答，即可． 【解答】解：∵△EGF，△MPN是直角三角形，∴∠EGF＝∠MPN＝90°， ∵∠GPM＝180°﹣∠MPN＝180°﹣90°＝90°，∴∠GPM＝∠EGF， ∴GE∥MP，∴①正确；∵∠GEF＝60°，∠EGF＝90°， ∴∠EFG＝30°， ∵∠EFG+∠EFN＝180°，∴∠EFN＝150°；∴②正确； 过点G作AB∥JK，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥JK， ∴∠KGN＝∠MNP＝45°，∠AEG＝∠EGK，∵∠EGF＝90°＝∠EGK+∠KGN， ∴∠EGK＝45°，∴∠AEG＝45°，∵∠GEF＝60°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEG﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣60°＝75°； ∴③错误；∵∠MNP＝45°，∠MPN＝90°， ∴∠PMN＝180°﹣∠MNP﹣∠MPN＝180°﹣90°﹣45°＝45°； ∵∠AEG＝45°， ∴∠AEG+∠PMN＝45°+45°＝90°＝∠GPM；∴④正确； 综上所述，正确的为：①②④；故选：C． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 【变式1-1】（2025春•江城区）如图所示，下列推理正确的个数有（　　） ①若∠1＝∠2，则AB∥CD； ②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°； ③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC； ④若AB∥CD，则∠3＝∠4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补）判断即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥DC，∴①正确；∵AD∥BC， ∴∠CBA+∠A＝180°，∠3+∠A＜180°，∴②错误； ∵∠C+∠CDA＝180°，∴AD∥BC，∴③正确； 由AD∥BC才能推出∠3＝∠4，而由AB∥CD不能推出∠3＝∠4，∴④错误； 正确的个数有2个，故选：C． 【点评】本题考查了对平行线的性质和判定的应用． 【变式1-2】（2025•怀宁县开学）如图，已知AN平分∠BAM，BM平分∠ABN，∠MBN＝27°，AN⊥BM于C，则下列说法：①∠BCN＝90°；②AM∥BN；③∠DAM＝54°；④∠MAN＝63°，正确的有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据垂直的定义得出∠BCN＝90°，即可判断①，再根据角平分线的性质得∠BAM＝2∠BAN，∠ABN＝2∠ABM＝2∠MBN，得∠BAM+∠ABN＝180°，判断AM∥BN，得②正确；进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得∠DAM＝∠ABN＝54°，即可判断③，然后根据三角形内角和定理得∠ANB＝63°，即可判断④． 【解答】解：①∵AN⊥BM，∴∠BCN＝90°，故①正确；②∵AN平分∠BAM，BM平分∠ABN， ∴∠BAM＝2∠BAN，∠ABN＝2∠ABM＝2∠MBN， 又∵AN⊥BM，∴∠ACB＝90°，∴∠BAN+∠ABM＝90°， ∴∠BAM+∠ABN＝2（∠BAN+∠ABM）＝2×90°＝180°， ∴AM∥BN，故②正确； ③∵BM平分∠ABN，∠MBN＝27°，∴∠ABN＝2∠MBN＝54°， 又∵AM∥BN，∴∠DAM＝∠ABN＝54°，故③正确； ④∵AN⊥BM于C，∴∠BCN＝90°，∴∠ANB＝180°﹣90°﹣∠MBN＝90°﹣27°＝63°， 又∵AM∥BN，∴∠MAN＝∠ANB＝63°，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个，故选：A． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【题型二】命题改写时遗漏题设或结论关键词 【例2】．（2025春•赣县区）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 　　 ． 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【解答】解：命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点评】考查了命题与定理的知识，任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 【变式2-1】（2024秋•蜀山区）“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是　　 ． 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【解答】解：因为原命题的题设是：“有两个角相等”，结论是“这个三角形是等腰三角形”， 所以命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是“等腰三角形的两个底角相等”． 故答案为：等腰三角形的两个底角相等． 【点评】本题考查了命题与定理，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另外一个命题叫作原命题的逆命题． 【变式2-2】（2025春•东湖区月考）将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 　　 ． 【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式． 【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等． 则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键． 【题型三】求取直线平行的条件时候，忽略分类讨论导致漏解 【例3】（2025春•廊坊月考）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝96°，∠2＝67°，要使木条a与b平行，木条b旋转的度数是　　 ．（旋转度数在0°至180°之间） 【分析】根据平行线判定可得∠2＝∠1＝96°时，木条a与b平行，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵当∠2＝∠1＝96°时， 根据同位角相等，两直线平行，可得到木条a与b平行，∴要使木条a与b平行， ①当木条b逆时针旋转时，旋转度数为96°﹣67°＝29°， ②当木条b顺时针旋转时， 旋转的度数为180°﹣（96°﹣67°）＝151°，故答案为：29°或151°． 【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 【变式3-1】（2025春•普宁市）一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　　 °时，DE∥AB． 【分析】分两种情况进行讨论：①当∠BAD＝∠ADE时；②当BAD+∠BAD＝180°时，利用平行线的判定条件即可求解． 【解答】解：由题意得∠ADE＝30°，∠ACB＝∠DAE＝90°，①如图， 当∠BAD＝∠ADE＝30°时，可得AB∥DE；②如图， 当∠BAD+∠D＝180°时，可得AB∥DE，则∠BAD＝180°﹣∠D＝150°．故答案为：30或150． 【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是分两种情况进行讨论：①当∠BAD＝∠ADE时；②当BAD+∠BAD＝180°． 【变式3-2】（2025春•唐县）如图为一根弯折的铁丝，∠ABC＝40°，工人师傅对该铁丝进一步加工，在C处进行第二次弯折．若要保证弯折后的部分与AB保持平行，则弯折后形成的∠BCD的度数为 　　 ． 【分析】分两种情况：当点D在点C的左侧时，当点D在点C的右侧时，分别画出图形求出结果即可． 【解答】解：当点D在点C的左侧时， ∵AB∥CD，∠ABC＝40°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝140°；当点D在点C的右侧时， ∵AB∥CD，∠ABC＝40°，∴∠BCD＝∠ABC＝40°； 综上所述：∠BCD的度数为：40°或140°．故答案为：40°或140°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【题型四】忽略三角形外角性质运用中的“转化”思想的应用 【例4】（2025秋•江岸区月考）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠E＝α，则∠BAC﹣∠B＝　　 ．（结果用含有α的式子表示） 【分析】根据外角性质，得∠BAC＝∠E+∠ACE，∠DCE＝∠E+∠B，结合角的平分线，解答即可． 【解答】解：∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠ACE，∵∠BAC＝∠E+∠ACE，∠DCE＝∠E+∠B， ∴∠BAC＝2∠E+∠B，∴∠BAC﹣∠B＝2∠E， ∵∠E＝α，∴∠BAC﹣∠B＝2α，故答案为：2α． 【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 【变式4-1】（2025秋•浏阳市期中）下列四个条件：①在△ABC中，∠A，∠B都是锐角； ②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3； ③在△ABC中，∠A﹣∠B＝∠C； ④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5． 其中能确定△ABC是直角三角形的是　　 （只填序号）． 【分析】分别根据三角形外角的性质，三角形的内角和定理判断每个条件是否能确定△ABC为直角三角形即可得出答案． 【解答】解：①∵∠A，∠B都是锐角；∴∠A+∠B不一定为90°， ∴△ABC不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3，设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x， ∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝3x＝90°， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ③∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，符合题意； ④∵△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5． 设∠A的外角为3x，则∠B的外角为4x，∠C的外角为5x， ∴∠A＝180°﹣3x，∠B＝180°﹣4x，∠C＝180°﹣5x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴（180°﹣3x）+（180°﹣4x）+（180°﹣5x）＝180°，解得x＝30°， ∴该三角形的一个内角为∠A＝180°﹣3×30°＝90°， ∴△ABC为直角三角形，符合题意，故答案为：②③④． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 【变式4-2】（2025秋•思明区期中）一天，爸爸带小明到建筑工地考察，看见一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°你知道∠3比∠2大多少吗？”小明马上得到了正确的答案，他的答案是　　 ． 【分析】如图，先根据邻补角的性质求出∠4的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠3﹣∠2的度数． 【解答】解：如图， ∵∠1＝130°，∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣130°＝50°， 由三角形外角的性质可得∠3＝∠2+∠4，∴∠3﹣∠2＝∠4＝50°，故答案为：50°． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，邻补角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【题型五】未正确识别平行线性质运用中复杂图形中的同位角、内错角、同旁内角 【例5】（2025秋•南宁月考）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，若DE∥AB，则∠ADE的度数为　　 ． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC＝110°，由折叠得到∠E＝∠C＝30°，∠ADE＝∠ADC，∠CAD＝∠EAD，再根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，求出∠CAD＝∠EAD＝40°，根据三角形内角和定理即可得到答案． 【解答】解：由条件可知∠BAC＝110°， 由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠ADE＝∠ADC，∠CAD＝∠EAD ∵DE∥AB，∴∠BAE＝∠E＝30°， ∴， ∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，故答案为：110°． 【点评】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式5-1】（2025•游仙区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　20°　 ． 【分析】根据平行线的性质得到∠BOF＝∠1＝60°，∠COF＝180°﹣∠3＝40°，即可得到答案． 【解答】解：∵AB∥EF，∴∠BOF＝∠1＝60°，∵CD∥EF， ∴∠COF＝180°﹣∠3＝180°﹣140°＝40°， ∴∠2＝∠BOF﹣∠COF＝60°﹣40°＝20°，故答案为：20°． 【点评】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 【变式5-2】（2025春•达州）如图，已知AB∥CD，∠EAF∠EAB，∠ECF∠ECD．若∠E＝66°，则∠F的度数为 　　 ． 【分析】过E作EM∥AB，得到EM∥CD，推出∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠BCE，于是∠AEC＝∠BAE+∠DCE，同理：∠F＝∠BAF+∠DCF，得到∠F（∠EAB+∠DCE）66°＝44°． 【解答】解：过E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥CD， ∴∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠DCE，∴∠AEM+∠CEM＝∠BAE+∠DCE， ∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE， 同理：∠F＝∠BAF+∠DCF，∵∠EAF∠EAB，∠ECF∠ECD， ∴∠BAF∠EAB，∠DCF∠DCE，∴∠F（∠EAB+∠DCE）， ∵∠AEC＝66°，∴∠F66°＝44°．故答案为：44°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠F＝∠BAF+∠DCF． 【题型一】命题相关问题解题技巧 核心技巧：紧扣命题条件找 “例外”：先明确命题关键词（如 “所有”“一定”“都”），再从特殊值（0、1、负整数）、极端情况（边界值、特殊图形）入手构造反例。要求反例符合条件但结论不成立，且简洁直观（如用等腰直角三角形反驳 “所有直角三角形都全等”）。 【例1】（2024秋•镇海区）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”请你举个反例说明这个命题是假命题　 ． 【分析】找到满足题设但不满足结论的一对数即可． 【解答】解：当a＝﹣2，b＝1时，满足a2＞b2，但不满足a＞b， 故答案为：a＝﹣2，b＝1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了用举反例说明命题是假命题，要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论；根据这一特点判断即可． 【变式1—1】（2025秋•浙江期中）判断命题“如果n＜2，那么n2﹣4＜0”是假命题，举出一个反例，反例中的n可以为　 　 ． 【分析】要判断命题为假命题，需举出反例，即存在满足条件n＜2但结论n2﹣4＜0不成立的n值，可以当n＝﹣3时，进行求解即可． 【解答】解：判断命题“如果n＜2，那么n2﹣4＜0”是假命题，举出一个反例， 当n＝﹣3时，n＝﹣3＜2，满足条件； 但n2﹣4＝（﹣3）2﹣4＝9﹣4＝5＞0，不满足结论n2﹣4＜0， ∴命题是假命题． 故答案为：﹣3（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是命题与定理，掌握实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念是解决本题的关键． 【变式1—2】（2025秋•汝阳县期中）可以用来证明命题“两个无理数的和仍是无理数”为假命题的反例是 　　 ． 【分析】用互为相反数的两个无理数作反例说明此命题是假命题． 【解答】解：答案不唯一，例与的和是0，0是有理数， 故答案为：与（答案不唯一）． 【点评】本题考查了命题与定理，要证明一个命题是假命题可以采用举反例的方法，此题主要考查学生对反例法的掌握情况，每个假命题只要举出一个范例说明命题不成立即可． 【题型二】平行线判定与性质解题技巧 核心技巧：“角定线，线定角”；角的识别看结构（同位角“F”型、内错角“Z”型、同旁内角“U”型）；拐点作平行线转化角 【例2】（2024秋•江口县）如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB． 【分析】求出∠E＝∠2，推出BC∥AE，得出∠ABC+∠A＝180°，推出∠3＝∠A，根据平行线的判定推出即可． 【解答】证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠1＝∠2， ∵∠E＝∠1，∴∠E＝∠2，∴AE∥BC， ∴∠ABC+∠A＝180°，∵∠3+∠ABC＝180°， ∴∠3＝∠A，∴DF∥AB． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 【变式2—1】（2024秋•白银区）如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD与FG平行吗？说明理由． 【分析】根据平行线的判定证得DE∥BC，由平行线的性质得到∠1＝∠DCB，由等量代换得∠DCB＝∠2，根据平行线的判定可证得结论． 【解答】解：CD与FG平行，理由如下： ∵∠ADE＝∠B（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠1＝∠DCB（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠DCB＝∠2（等量代换），∴CD∥FG（同位角相等，两直线平行）． 【点评】此题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键． 【变式2—2】（2025•绥滨县开学）如图所示，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，试说明：AB∥EF． 【分析】先根据∠1＝∠2得AB∥CD，再根据∠3+∠4＝180°得CD∥EF，由此即可得出结论． 【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD， 又∵∠3+∠4＝180°，∴CD∥EF， ∴AB∥EF． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定，理解平行线与同一条直线的两条直线平行是解决问题的关键． 【题型三】三角形角度证明技巧 核心技巧：利用平行线转移角，将三角形内角/外角转化为同位角、内错角；遇角度和差优先用外角性质 【例3】（2025秋•襄州区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，△ABC的角平分线BE交AD于点O，已知∠C＝60°，∠BAD＝50°，求∠AEB的度数． 【分析】根据题意，易得∠DAC＝30°，可知∠BAE的度数，利用三角形内角和定理，得∠ABC，结合角平分线，有∠ABE∠ABC＝20°，即可得到结果． 【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠DAC＝30°， ∵∠BAD＝50°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝80°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAE＝40°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝20°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝80°． 【点评】本题考查了角的计算，三角形内角和定理，角平分线，高线的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【变式3—1】（2025秋•珠海期中）如图，CD是△ABC的高线，E为BC边上的一点，连接AE交CD于点F，∠BCD＝10°，∠AEB＝75°．求∠BAE的度数． 【分析】由三角形的高以及直角三角形两锐角互余可得∠B＝80°，再运用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵CD是△ABC的高线，∠BCD＝10°， ∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣10°＝80°， ∵∠AEB+∠B+∠BAE＝180°，∠AEB＝75°， ∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣75°﹣80°＝25°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． 【变式3—2】（2025秋•武昌区期中）在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝60°，求∠DAC的度数． 【分析】由三角形的内角和定理，等量代换可得∠CAD＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣4∠1，又∠DAC＝∠BAC﹣∠2＝60°﹣∠1，可得∠1，易得结果． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠2， ∴在△CAD中，∠CAD＝180°﹣∠4﹣∠3＝180°﹣4∠1， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝60°﹣∠2， ∴180°﹣4∠2＝60°﹣∠2， ∴∠2＝40°，∴∠DAC＝60°﹣40°＝20°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理解得∠2是解答此题的关键． 【题型四】证明过程书写技巧 核心技巧：按“已知→中间推理→结论”顺序书写，每步标注准确依据（定义、公理、定理名称） 【例4】（2025春•浦东新区期中）如图，点C在射线BG上，AE∥DF，∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：AE∥BG．请你补全下面的证明过程： 证明：∵∠1＝∠2（已知），∴AB∥ （ 　　 ）， ∴　 ＝∠3（ 　　 ）， ∵∠B+∠D＝180（已知）， ∴　 +∠D＝180（等量代换），∴ ∥DF（ 　 　 ）， 又∵AE∥DF（已知）， ∴AE∥BG（ 　 　 ）． 【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， ∴∠B＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B+∠D＝180（已知），∴∠3+∠D＝180（等量代换）， ∴BG∥DF（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵AE∥DF（已知）， ∴AE∥BG（平行于同一直线的两直线平行）． 故答案为：CD，内错角相等，两直线平行，∠B，两直线平行，同位角相等，∠3，BG，同旁内角互补，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【变式4—1】（2025春•西宁期中）完成以下证明过程． 已知：如图，AB∥CD，EF、CG分别是∠AEC，∠ECD的角平分线，求证：EF∥CG． 证明：∵AB∥CD（已知），∴∠AEC＝∠ECD（　　 ）， 又∵EF平分∠AEC（已知），∴ （　　 ）， 同理 ， ∴∠1＝∠2（　　 ），∴EF∥CG（　 　 ）． 【分析】根据平行线的性质得∠AEC＝∠ECD，再根据角平分线定义得，进而得∠1＝∠2，然后根据平行线的判定即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠AEC（两直线平行，内错角相等）， ∵EF平分∠AEC，∴（角平分线的定义），同理：， ∴∠2＝∠1（等量代换）， ∴EF∥CG（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；AEC；角平分线的定义；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【变式4—2】（2025春•浔阳区期中）请补全推理过程，并填写依据． 已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．请说明：∠A＝∠F． 解：∵∠1+∠2＝180°（已知）．∴BD∥CE（　　 ）． ∴∠C＝∠ABD（　　 ）． 又∵∠C＝∠D（已知）． ∴∠D＝　 （等量代换）． ∴AC∥DF （　　 ）．∴∠A＝∠F（　 　 ）． 【分析】先证BD∥CE，得出∠C＝∠ABD，进而推出∠D＝∠ABD，即可证得AC∥DF，于是问题得证． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知）．∴BD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠C＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠C＝∠D（已知）．∴∠D＝∠ABD（等量代换）． ∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）． ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠ABD；DF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理、性质定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公2 / 29 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $