专题02 二元一次方程组的应用（9大题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题02 二元一次方程组的应用 题型1 二元一次方程组的应用之古代问题（常考点） 题型6 二元一次方程组的应用之工程问题 题型2 二元一次方程组的应用之方案问题（重点） 题型7 二元一次方程组的应用之数字问题（重点） 题型3 二元一次方程组的应用之分配问题（重点） 题型8 二元一次方程组的应用之和差倍分问题 题型4二元一次方程组的应用之销售、利润问题（难点） 题型9 二元一次方程组的应用之几何问题（重点） 题型5 二元一次方程组的应用之行程问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二元一次方程组的应用之古代问题（共5小题） 1．（24-25七年级下·吉林长春）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：甲、乙都有钱不知多少，若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱．问甲、乙各原有几文钱．设甲原有文钱，乙原有文钱，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系是解决此问题的关键．等量关系为“甲的钱数＋乙的钱数＝50”和“乙的钱数＋甲的钱数＝50”，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：根据等量关系列方程组：． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·甘肃兰州）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 【答案】有人，物价为钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，物价为钱，根据题意，可列方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设有人，物价为钱， 由题意可得，， 解得， 答：有人，物价为钱． 3．（24-25七年级下·河北邯郸）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈五千四百；人出三百，盈四百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余5400钱；每人出300钱，会剩余400钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题． 【答案】共50人合伙买金，金价为14600钱 【分析】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识．设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余5400钱；每人出300钱，会剩余400钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设共x人合伙买金，金价为y钱， 依题意得：， 解得：． 答：共50人合伙买金，金价为14600钱． 4．（24-25七年级下·江苏常州）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 【答案】绳长尺，竿长尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长尺，竿长尺， 根据题意得： 解得： 答：绳长尺，竿长尺． 5．（24-25七年级下·河北沧州）《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”，“方”指数据左右并排，其行方正，“成”指考查相关数据构成的比率关系．具体何谓“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题； (2)依“方程术”解，将“牛5头，羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头，羊，5头共值金8两”，列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”），将所得左方新数连续减去右方对应数的适当倍数，直到左方头位数为零为止（“直除”），如图1所示．左方未尽之数，用上面的数做除数，下面的数做被除数，所得商即为每头羊值金数，（羊1头，值金两） ①上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的 思想； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”如图2所示，在图中填写数据，直接写出牛值金 两． 【答案】(1)牛值金两，羊值金两 (2)①消元；②见解析， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及消元思想，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设牛值金x两，羊值金y两，根据有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两；列出二元一次方程组，解方程即可； （2）①根据题意即可得出结论；②用右羊数遍乘左方各数，得到遍乘后左边的数，再根据左右两边羊的数量，用左边的数减去右边羊的5倍可得直除后左边牛和金的数量，据此可得答案． 【详解】（1）解：设牛值金x两，羊值金y两， 由题意列方程组得：， 解得， 答：牛值金两，羊值金两； （2）解：①由题意得，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的消元思想； ②因为右方羊的数量是2，左方羊的数量是5，所以用右羊数遍乘左方各数． 左方原来牛2、羊5、金8，遍乘后：牛4，羊10，金16，右方数据不变（牛5、羊2、金10）． 然后进行直除，要消去羊，右方羊是2，左方羊是10，用左方各数减去右方对应数的5倍．牛：；羊：0；金： ．所以最终图填写如下： ∴牛值金两． 题型二 二元一次方程组的应用之方案问题（共5小题） 6．（24-25七年级下·湖南长沙）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买6个篮球和2个实心球需460元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请问有几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价是70元，实心球的单价是20元 (2)3种 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，涉及方程组的建立与求解、不等式的解法以及实际问题中变量的整数性约束．解题的关键在于准确建立方程组和不等式组，合理利用已知条件进行化简和求解． （1）设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元，根据购买情况建立方程组求解单价； （2）需根据总数量、总费用限制及篮球数量与实心球数量的比值关系，确定可能的购买方案数量． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是70元，实心球的单价是20元； （2）设购买m个篮球，则购买个实心球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为40，41，42， ∴该校共有3种购买方案， 方案1：购买40个篮球，160个实心球； 方案2：购买41个篮球，159个实心球； 方案3：购买42个篮球，158个实心球． 7．（23-24八年级上·重庆江北）某商贸公司有、两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如表所示： 体积（立方米/件） 质量（吨/件） 型商品 型商品 (1)已知一批商品有、两种型号，体积一共是立方米，质量一共是吨，求、两种型号商品各有几件？ (2)物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重吨，容积为立方米，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费611元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费211元． 现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？ 【答案】(1)种型号商品有5件，种型号商品有8件 (2)先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为元 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键，（2）注意分类讨论，分别求出费用进行比较解答问题． （1）设A、B两种型号商品各x件、y件，根据体积与质量列方程组求解即可； （2）①按车付费=车辆数；②按吨付费=；③先按车付费，剩余的不满车的产品按吨付费，将三种付费进行比较． 【详解】（1）解：设A、B两种型号商品各x件、y件， ， 解得， 答：种型号商品有5件，种型号商品有8件； （2）①按车收费：（辆），但是车辆的容积， ∴3辆车不够，需要4辆车， （元）； ②按吨收费：（元）； ③一辆车：5件A型1件B型，按车收费；两辆车：各3件B型，按车收费一辆车：1件B型，按吨收费一次运输，共付费（元）， ∵， ∴先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为元． 8．（23-24七年级下·安徽合肥）某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 【答案】(1)丙车至少需要7辆 (2)甲型车有8辆，乙型车有10辆 (3)、，8800元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）根据甲型车运载量是5吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数； （2）设甲种车型需辆，乙种车型需辆，根据运费9600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （3）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：， 答：丙型车至少需要辆． （2）解：设甲种车型需辆，乙种车型需辆， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆． （3）解：设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆， 由题意得， 即， ∵、、均为正整数， ∴只能等于5， ∴， ， ∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， 则需运费（元）， 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元． 9．（24-25八年级上·全国）“元旦”期间，某校组织开展班级歌咏比赛，甲、乙两班共有学生102人（其中甲班人数多于乙班人数，且甲班人数不足100人）报名购买服装参加比赛．下面是某服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格/元 70 60 50 如果两班分别单独购买服装，总共要付款6580元． (1)如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付多少钱？ (2)甲、乙两班各有多少名学生报名参加比赛？ (3)如果甲班有5名学生因特殊情况不能参加比赛，请你为两班设计一种省钱的购买服装的方案． 【答案】(1)5100元 (2)甲班有56名学生报名参加比赛，乙班有46名学生报名参加比赛 (3)甲、乙两班联合购买101套服装 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）若甲、乙两个班级联合起来购买服装，则每套是50元，计算出总价即可； （2）设甲班有x名学生报名参加比赛，乙班有y名学生报名参加比赛，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （3）此题中主要是应注意联合购买时，仍然达不到101人，因此可以考虑买101套，计算其价钱然后与单独购买、联合购买的价钱进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得（元）， 所以如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付5100元． （2）解：设甲班有x名学生报名参加比赛，乙班有y名学生报名参加比赛． 由题意，得， 解得， 所以甲班有56名学生报名参加比赛，乙班有46名学生报名参加比赛． （3）解：（名），（名）， 所以甲班有51名学生参加比赛，甲、乙两班共有97名学生参加比赛． 方案一：甲、乙两班联合购买97套服装，则需要（元）． 方案二：甲、乙两班各自购买服装，则需要（元） 方案三：甲、乙两班联合购买101套服装，则需要（元）． 因为，所以最省钱的购买服装方案是甲、乙两班联合购买101套服装． 10．（23-24八年级上·甘肃兰州）12月18日，甘肃省临夏州积石山县发生了级地震，全国各地伸出了援助之手．某物流公司计划租用两种车辆为灾区运输物资．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金90元/次，B型车每辆需租金110元/次，物流公司计划共租用8辆车．已知汽车租赁公司的A型车只剩了6辆，B型车还有很多．设总租车费用w元，租用了a辆A型车，请为物流公司选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用． 【答案】(1)3，4 (2)租用6辆A型车和2辆B型车，最少租车费用760元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）写出w关于a的函数关系式，根据该函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时w的值最小，求出w的最小值及此时租用B型车的数量即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨． 根据题意，得， 解得， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）解：根据题意，租用了辆B型车，， ，　 ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵， ∴当时，w的值最小，w最小，（辆）， ∴租用6辆A型车和2辆B型车最省钱，最少租车费用是760元． 题型三 二元一次方程组的应用之分配问题（共5小题） 11．（24-25八年级上·江西抚州）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】(1)大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元 (2)3360元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用总价、单价、数量列式计算即可． 【详解】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 根据题意得：，解得： 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）解：根据题意得：元 答：该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需3360元． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳）健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 【答案】(1)见解析 (2)克，克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键， （1）根据题意正确列出代数式即可； （2）设每餐需甲原料x克、乙原料y克，根据题意列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解： 项目 甲原料x克 乙原料y克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） 其中所含铁质（单位） （2）解：设每餐需甲原料x克、乙原料y克， 根据题意，得， 化简，得 解这个方程组得． 所以每餐甲、乙两种原料分别是克、克时恰好满足运动员的需要． 13．（24-25六年级下·上海宝山）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 【答案】(1)生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个 (2)分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套 (3)能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找出题目中的等量关系是关键． （1）设生产竖式纸盒个，横式纸盒个，根据一个竖式纸盒需要4个长方形纸板，1个正方形纸板，一个横式纸盒需要3个长方形纸板，2个正方形纸板，根据纸板刚好用完结合长方形和正方形的纸板数列出方程组求解即可； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由1个竖式纸盒与2个横式纸盒需要正方形纸板5个，长方形纸板10个，由此列出方程解答即可； （3）分析题意需分类讨论，①如果剩余两张正方形纸板；②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板；③如果剩余两张长方形纸板，再结合（1）中的方法分析即可解答． 【详解】（1）解：设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 答：生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个． （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板． 根据题意，得， 解得，（人） 答：分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． （3）①如果剩余两张正方形纸板：由（1）可知能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个； ②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 所以能生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个； ③如果剩余两张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 则能生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 综上所述：能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 14．（24-25七年级下·重庆九龙坡）某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 【答案】(1)可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个 (2)可以加工成30个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设可以加工横式长方体铁容器x个，竖式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片90个、正方形铁片50个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据铁板总数为55张，裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，． 【详解】（1）解：设可以加工横式长方形铁容器x个，竖式长方形铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个． （2）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据题意得： ， 解得：， （个）， 答：可以加工成30个铁盒． 15．（24-25七年级下·江苏连云港）这个夏天，江苏的顶流话题非“苏超”莫属！朋友圈、抖音全被刷屏，网友们边看球赛边玩梗．梭子蟹大闸蟹、云雾茶碧螺春、海鲜汤包……年月日，连云港主场迎战苏州，一场“舌尖上的德比”未踢先火，更因两地特色被戏称为“蟹王争霸赛”．为给赛事加码，连云港放出“宠粉大招”——广大球迷专属优惠：即日起至月日，凡持有年江苏省城市足球联赛购票凭证的球迷，凭购票记录和身份证，可享受在观赛当日及前、后天内（十一假期不含在内）连云港市域内景区、酒店优惠． 已知连云港某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．凡球迷圆团体入住一律五折优惠．一个人的团体在月日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房． (1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)一天元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1)租住了三人间间，双人间间 (2)一天元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案：人住三人间，人住双人间，则费用最低，为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，（1）设租住了三人间有间，双人间有间．注意凡团体入住一律五折优惠，根据“租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元”列方程组求解即可； （2）设三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数，再结合的取值范围及实际情况，运用函数的性质即可得解； 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． 【详解】（1）解：∵凡团体入住一律五折优惠， ∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元）， 设租住了三人间有间，双人间有间， 依题意，得：， 解得：， 答：租住了三人间间，双人间间； （2）设三人间住了人，则双人间住了人， ∴一天的住宿费用为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当x满足、为整数，且最大时，即时，住宿费用最低， 此时， ∴一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元， ∴住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间，则费用最低，为元． 题型四 二元一次方程组的应用之销售、利润问题（共5小题） 16．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位）某水果店购进苹果与提子共60千克进行销售，这两种水果的标价如下表所示，如果店主将这些水果按标价的8折全部售出，总售价为400元，求该水果店购进苹果和提子分别是多少千克? 标价（元/千克） 苹果 8 提子 10 【答案】 该水果店购进苹果50千克，购进提子10千克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设该水果店购进苹果x千克，购进提子y千克，根据该水果店购进苹果与提子共60千克且总售价为400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该水果店购进苹果x千克，购进提子y千克， 根据题意得：， 解得：． 答：该水果店购进苹果50千克，购进提子10千克． 17．（24-25七年级上·甘肃武威）小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶．（递上10元钱） 售货员：小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是足够的，但要再买一袋牛奶就少一元钱啦！今天是儿童节，我给你买的饼干打八折，两样东西请拿好，还找你8角钱．根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价是多少元？ 【答案】饼干和牛奶的标价分别是9元，2元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程组即可求解．设饼干和牛奶的标价是元和元，根据用10元钱买一盒饼干是足够的，但要再买一袋牛奶就少一元钱和饼干打8折还找8角钱两个数量关系列方程组求解． 【详解】解：设饼干和牛奶的标价是元和元，根据题意得： ， 解得：． 答：饼干和牛奶的标价分别是9元，2元． 18．（25-26八年级上·全国）某旅游纪念品商店销售A，B两种伴手礼，已知销售一件A种伴手礼和两件B种伴手礼可获利220元，销售三件A种伴手礼和一件B种伴手礼可获利260元． (1)求每销售一件A种伴手礼和一件B种伴手礼各获利多少元； (2)该旅游纪念品商店计划一次性购进A，B两种伴手礼共40件，其中A种伴手礼不少于10件，将其全部销售完可获总利润为y元．设购进A种伴手礼x件． ①求y与x的函数关系式； ②当购进A种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元 (2)①（）；②当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一次函数的实际应用： （1）设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，根据“销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元”列方程组求解即可； （2）①根据“总利润等于两种伴手礼的利润和”列出函数关系式即可； ②根据题意求出①中函数最大值即可． 【详解】（1）解：设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，依题意得： ， 解得：； 答：种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元． （2）①由题意得： ∴（） ②由题意得：，由①可知，， ∵， ∴随的减小而增大， ∵， ∴当时，有最大值 ∴； 答：当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元． 19．（24-25八年级上·安徽宿州）某公司计划购进A，B两种多媒体共50套进行销售，这两种多媒体的进价与售价如表所示． 类型 A B 进价/（万元/套） 3 2.4 售价/（万元/套） 3.3 2.8 (1)若购进这两种多媒体共需资金132万元，则该公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ (2)若购进A种多媒体m套，则当m取何值时把购进的两种多媒体全部售出后能获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该公司计划购进A种多媒体20套，B种多媒体30套 (2)当m取10时把购进的两种多媒体全部售出后能获得的利润最大，最大利润是19万元 【分析】（1）通过设未知数，利用两种多媒体的总数以及购进所需资金这两个条件，建立二元一次方程组来求解购进A、B两种多媒体的数量． （2）先根据利润的计算方法（利润=单套利润×数量），分别表示出A、B两种多媒体的利润，从而得出总利润关于m的一次函数表达式，再根据一次函数的性质（当斜率小于0时，函数值随自变量增大而减小），结合m的取值范围，求出利润最大时m的值和最大利润． 本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握列方程组解应用题的步骤和一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：设该公司计划购进A种多媒x套，B种多媒体y套.根据题意，得 解得 ∴该公司计划购进A种多媒体20套，B种多媒体30套； （2）解：设把购进的两种多媒体全部售出后能获得的利润为w元.根据题意，得 又∵，， ∴当时，， ∴当m取10时把购进的两种多媒体全部售出后能获得的利润最大，最大利润是19万元． 20．（24-25八年级上·全国）某制造厂计划将115吨的原材料制成A，B，C三种产品，单件产品所需的原材料数量及产品销售价如下表所示（设所有原材料恰好用完）： 型号 A B C 原材料数量（吨/件） 5 8 10 销售价（元/件） 400 500 600 (1)若全部原材料都制成A，B两种产品，销售总额为7800元，问分别制成A，B两种产品各几件？ (2)制造厂计划制成A，B，C三种产品共15件，请设计使得销售总额最大的方案并求出最大销售额． 【答案】(1)制成A种产品7件，B种产品10件 (2)制成A产品3件，B产品10件，C产品2件时，销售总额最大，最大值是7500元 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用： （1）设制成A种产品x件，B种产品y件，根据题意列方程组求解； （2）设制成A种产品a件，B种产品b件，C种产品件，根据共115吨列方程，由a，b，均为正整数，得到b只能为5或10．设销售总额为W元，列函数解析式，利用一次函数的性质解答． 【详解】（1）解：设制成A种产品x件，B种产品y件， 根据题意得， 解得 答：制成A种产品7件，B种产品10件． （2）解：设制成A种产品a件，B种产品b件，C种产品件， 根据题意得， 化简得，即． ∴ ∵a，b，均为正整数， ∴b只能为5或10． 设销售总额为W元，则， ∴， ∴的值随b值的增大而减小． ∴当时，W有最大值，最大值为7500． 答：制成A产品3件，B产品10件，C产品2件时，销售总额最大，最大值是7500元． 题型五 二元一次方程组的应用之行程问题（共5小题） 21．（24-25七年级下·吉林松原）雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，求出小汽车和客车的平均速度． 【答案】小汽车的速度为，客车的速度为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程组解答即可． 设小汽车的速度为，客车的速度为，根据客车与小汽车的路程之和等于总路程，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，列出方程组即可． 【详解】解：设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时， 由题意得：， 解得：， 答：小汽车的速度为，客车的速度为． 22．（24-25七年级下·浙江宁波）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 23．（24-25七年级下·安徽合肥）【问题背景】 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议． 【资料显示】 汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到时报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”，则前轮行驶每千米的磨损量为______，后轮行驶每千米的磨损量为______； (2)汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程． 【答案】(1)， (2)应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据汽车前后轮轮胎报废的里程，即可得出安装在前、后轮的轮胎行驶每千米的磨损量； （2）设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废，根据两对轮胎同时报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60000千米时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80000千米时报废， ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮行驶每千米的磨损量为，后轮行驶每千米的磨损量为， 故答案为：，； （2）解：设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废， 根据题意得， 解得， ∴， 答：应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为千米． 24．（22-23八年级上·广东深圳）“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 【答案】(1)x的值为2，y的值为 (2)小明的妈妈应付车费元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）根据甲、乙的打车总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用打车总费用=里程费+耗时费，即可求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：x的值为2，y的值为； （2）（元）． 答：小明的妈妈应付车费元． 25．（24-25七年级下·河南焦作）数学活动：轮胎换位问题 户外骑自行车进行锻炼是我们日常生活中常见的一种锻炼方式，深受大众欢迎．在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废． 【问题解决】 问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000千米，后轮也可以使用4000千米，这对轮胎行驶的里程数最大值是_________． 问题二：由于后轮受到的压力大，所以同样的轮胎放在后轮损耗会大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使两个轮胎行驶的里程数最大． （1）一对同样的新轮胎，安装在前轮可以使用5000千米，安装在后轮可以使用3000千米．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为_________，安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为_________． （2）在（1）的条件下，设一对新轮胎交换位置前走了千米，交换位置后走了千米，则这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？行驶的里程数为多少时交换前后轮胎？ 【答案】问题一：4000千米；问题二：（1），；（2）行驶的里程数为1875千米时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750千米 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次方程解决实际问题，读懂题意，找准等量关系，准确列出方程及方程组求解是解决问题的关键． 问题一，由题意直接求解即可得到答案； 问题二：（1）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，根据一对同样的新轮胎，安装在前轮可以使用5000千米，安装在后轮可以使用3000千米求解即可得到答案； （2）设一对新轮胎交换位置前走了千米，交换位置后走了千米，根据题意得，从而得到；设行驶的里程数为千米时互换前后轮胎，对一只轮胎而言，装在前轮上行了千米，装在后轮上就行了千米，由题意列方程组求解即可得到答案． 【详解】解：问题一：如果前后轮没有压力差，前轮可以使用4000千米，后轮也可以使用4000千米，这对轮胎行驶的里程数最大值是4000千米， 故答案为：4000千米； 问题二：（1）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为， 故答案为：，； （2）设一对新轮胎交换位置前走了千米，交换位置后走了千米，根据题意得 ， 两式相加得， 则， 设行驶的里程数为千米时互换前后轮胎，对一只轮胎而言，装在前轮上行了千米，装在后轮上就行了千米， ， 解得， 答：行驶的里程数为1875千米时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数最大值是3750千米． 题型六 二元一次方程组的应用之工程问题（共5小题） 26．（24-25六年级下·上海金山）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 27．（24-25七年级下·新疆昌吉）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 28．（23-24八年级上·山东青岛）今年12月18日23时59分甘肃临夏州积石山县发生级地震，造成很多房屋损毁，急需大量棉被．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批棉被．如果按原来的生产速度，每天生产360床棉被，那么在规定时间内只能完成任务的．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产480床棉被，刚好提前两天完成任务．请问规定时间是多少天？生产任务是多少床棉被？ 【答案】规定时间是12天，生产任务是4800床棉被 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组；设规定时间是x天，生产任务是y床棉被，根据每天生产360床棉被，那么在规定时间内只能完成任务的，每天生产480床棉被，刚好提前两天完成任务，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设规定时间是x天，生产任务是y床棉被，根据题意得： ， 解得：， 答：规定时间是12天，生产任务是4800床棉被． 29．（24-25七年级下·陕西安康）某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华：设河道整治任务完成后，表示_____，表示_____． 根据题意，可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数 (2)见解析，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，根据题意，得， 故答案为：，； ②小华：设河道整治任务完成后，表示甲工程队工作的天数，表示乙工程队工作的天数． 根据题意，可列方程组 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2）解：选择① 解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 选择② 设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 甲整治的河道长度：(米)；乙整治的河道长度：(米)． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 30．（24-25七年级下·广西崇左）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元， 由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 题型七 二元一次方程组的应用之数字问题（共4小题） 31．（24-25六年级下·上海）有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为41． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 32．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 33．（24-25七年级下·江西南昌）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．    【答案】外圆和内圆空白处数字依次为2和9 【分析】设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆空白处的数字为x，内圆空白处的数字为y， 则，整理得：             解得 答：外圆和内圆空白处数字依次为2和9． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 34．（24-25六年级下·上海）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)或或，补全幻方见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． （1）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，即可； （2）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程组，即可； （3）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，再结合m，a为正整数，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36， ∴第二行的三个数从左到右依次为14，12，10， ∴第一列三个数从上到下依次为11，12，13， ∴第一行的三个数从左到右依次为11，14，11， 11 14 11 12 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 题型八 二元一次方程组的应用之和差倍分问题（共5小题） 35．（23-24七年级下·山西吕梁）为落实2023年10月15日吕梁市人民政府办公室《关于印发吕梁市贯彻新发展理念全面提升城镇园林绿化水平实施方案》的通知，某小区积极进行小区绿化，计划种植A，B两种苗木共600株，已知种植A种苗木的数量比种植B种苗木的数量的一半多60株，求种植A，B两种苗木各多少株． 【答案】A种240株，B种360株 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设种植种苗木有株，种植种苗木有株，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设种植种苗木有株，种植种苗木有株． 根据题意，得 解，得 答：种植A种苗木有240株，种植B种苗木有360株． 36．（24-25七年级上·安徽安庆）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【答案】两种车型各有座位个和个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设两种车型各有座位个和个，根据租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设两种车型各有座位个和个，由题意，得： ，解得：； 答：两种车型各有座位个和个． 37．（24-25七年级下·全国）某生态柑橘园现有柑橘24t，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运柑橘13t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t． (1)1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求A、B型货车都要有）． 【答案】(1)1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨； (2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，6辆B型车；方案3：租用6辆A型车，3辆B型车． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用， 对于（1），先设载时1辆A型车一次可运柑橘x吨，1辆B型车一次可运柑橘y吨，再根据重量相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），根据题意得，再整理得，然后讨论取值即可得出答案． 【详解】（1）解：设载时1辆A型车一次可运柑橘x吨，1辆B型车一次可运柑橘y吨，依题意，得 ， 解得： 答：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：依题意，得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或． 答：共有3种租车方案，方案1：租用2辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，6辆B型车；方案3：租用6辆A型车，3辆B型车． 38．（24-25八年级上·山西运城）疫情期间，各小区居民主动居家，积极抗疫．政府为了保证人民群众的生活需求，组织超市为居民提供蔬菜包．甲小区订A蔬菜包110份，B蔬菜包60份，费用为11500元，乙小区定A蔬菜包和B蔬菜包各80份，费用为12000元． (1)求A蔬菜包和B蔬菜包的价格； (2)若丙小区共订蔬菜包200份，请写出该小区此次订蔬菜包的总费用y元与A蔬菜包x份之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，丙小区此次订蔬菜包的费用至少是多少元？ 【答案】(1)A蔬菜包每包50元，B蔬菜包每包100元 (2) (3)10000元 【分析】（1）设A蔬菜包，B蔬菜包价格分别为x元，y元，根据已知条件列出二元一次方程组，解之即可； （2）用A蔬菜包的总费用加上B蔬菜包的总费用即可表示； （3）根据一次函数的增减性，结合x的范围求解即可． 【详解】（1）解：设A蔬菜包，B蔬菜包价格分别为x元，y元， 根据题意得， 解得：， 答：A蔬菜包每包50元，B蔬菜包每包100元； （2）由题意可得：， 即； （3）对于， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y最小， 答：最少费用为10000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和表达式． 39．（24-25八年级上·四川成都）近年来，四川天府新区取得了飞速的发展，以成都科学城发展为例，兴隆湖畔集结了一大批领先的科技创新领军项目，正如火如荼地推进建设，据报道，新区某公司打算购买A，B两种花装点城区道路，公司负责人到花卉基地调查发现：购买1盆A种花和2盆B种花需要14元，购买2盆A种花和1盆B种花需要13元． (1)求A，B两种花的单价各为多少元？ (2)公司若购买A，B两种花共10000盆，设购买的A种花m盆（3000≤m≤5000），总费用为W元； ①求W与m的关系式； ②请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少？并求出最少费用为多少元？ 【答案】(1)A种花的单价为4元，B种花的单价为5元 (2)①W与m的关系式是W=-m+50000（3000≤m≤5000）；②当购买A种花5000盆、B种花5000盆时，总花费最少，最少费用为45000元 【分析】（1）根据购买1盆A种花和2盆B种花需要14元，购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到A、B两种花的单价各为多少元； （2）①根据题意，可以写出W与m的关系式； ②根据①中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到使总花费最少的购花方案，并求出最少费用． 【详解】（1）解：设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元， ∴， 解得：， 即A种花的单价为4元，B种花的单价为5元； （2）①由题意可得， W=4m+5（10000-m）=-m+50000， 即W与m的关系式是W=-m+50000（3000≤m≤5000）； ②∵W=-m+50000， ∴W随m的增大而减小， ∵3000≤m≤5000， ∴当m=5000时，W取得最小值，此时W=45000，10000-m=5000， 即当购买A种花5000盆、B种花5000盆时，总花费最少，最少费用为45000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 题型九 二元一次方程组的应用之几何问题（共4小题） 40．（24-25八年级上·陕西西安）小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图2所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 【答案】每个小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，掌握利用二元一次方程组解决图形面积问题是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图的长方形的对边相等可得：，由图的信息可得：，再解方程组，从而可得答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得： 解得 ∴每个小长方形的长为，宽为． 41．（24-25七年级下·江苏镇江）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 42．（24-25七年级下·浙江金华）如图1是由8个边长分别为，的小长方形拼成的大长方形． (1)请直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）． (2)将图1中的8个小长方形放入一个大长方形中，按如图2摆放． ①用，的代数式表示大长方形的宽； ②若三块阴影部分的面积之和为189，求小长方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②27 【分析】本题主要考查对几何图形的整体分析、二元一次方程组的熟练运用，熟练掌握二元一次方程组与图形的关系是解题的关键． （1）根据图片中所给出的长与宽的关系分析即可． （2）①根据图中给出的与，的关系分析即可．②先利用平移的知识将图中阴影部分进行合并，再根据图中的等量关系列方程组求解即可． 【详解】（1）解：根据图中可知：． （2）①根据图中给出的与，的关系可知：． ②平移得： 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵三块阴影部分的面积之和为189， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．（24-25七年级下·湖北宜昌）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 【答案】方案一：的长度分别为．方案二：的长度分别为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 方案一：设，，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可； 方案二：设，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：方案一：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 方案二：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 44．（24-25七年级下·福建泉州）校园手工社团开展环保纸盒创意制作，需用特定尺寸纸板制作横式、竖式两种无盖纸盒．相关信息如下表： 素材 类型 规格 素材一 横式无盖纸盒 竖式无盖纸盒 素材二 现有纸板 长、宽，共60张． (1)任务1：基础裁切计算 用1张的纸板，恰好同时裁切成的正方形和的长方形两种纸板，问裁切成这样的正方形和长方形纸板各多少张？ (2)任务2：制作方案规划 若手工社团将现有60张纸板按任务1的方式裁切（材料无剩余），得到的正方形和长方形纸板恰好可制作横式无盖纸盒x个，竖式无盖纸盒y个． ①用含和的代数式分别表示正方形和长方形纸板的总需求量； ②求制作横式无盖纸盒和竖式无盖纸盒各多少个？ 【答案】(1)裁切成的正方形纸板1张，的长方形纸板3张； (2)①正方形纸板需要：个，长方形纸板需要：个；②可以制作横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个． 【分析】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，准确的根据题意列出代数式时解题的关键． （1）设裁切成的正方形纸板m张，的长方形纸板n张，根据题意列出关于m，n的方程，找出方程的非负整数解即可； （2）①一个横式无盖盒子需要2个正方形纸板和3个长方形纸板，一个竖式无盖盒子需要1个正方形纸板和4个长方形纸板，用x，y的代数式分别表示正方形和长方形总数量即可； ②根据题意60张大纸板能裁出正方形纸板为60个，长方形纸板180个，可列二元一次方程组，进行求解． 【详解】（1）解：设裁切成的正方形纸板m张，的长方形纸板n张， ∴， 化简得， ∵m，n为非负整数， ∴， 答：裁切成的正方形纸板1张，的长方形纸板3张； （2）解：①由题意得：正方形纸板需要：个，长方形纸板需要：个； ②由任务1得，能裁出正方形纸板为个，长方形纸板个， ∴， 解得：， 答：可以制作横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个． $专题02 二元一次方程组的应用 题型1 二元一次方程组的应用之古代问题(常考点) 题型6 二元一次方程组的应用之工程问题 题型2 二元一次方程组的应用之方案问题(重点) 题型7 二元一次方程组的应用之数字问题(重点) 题型3 二元一次方程组的应用之分配问题(重点) 题型8 二元一次方程组的应用之和差倍分问题 题型4二元一次方程组的应用之销售、利润问题(难点) 题型9 二元一次方程组的应用之几何问题(重点) 题型5 二元一次方程组的应用之行程问题 2 / 24 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 题型一 二元一次方程组的应用之古代问题(共5小题) 1.(24-25七年级下 吉林长春)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中第八卷有这样一个问题“今有甲、乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十,问甲、乙持钱各几何?”意思是:甲、乙都有钱不知多少,若甲得到乙一半的钱,则甲有50文钱;若乙得到甲三分之二的钱,则乙也有50文钱.问甲、乙各原有几文钱.设甲原有文钱,乙原有文钱,则可列方程组为 . 2.(24-25七年级上 甘肃兰州)《九章算术》是中国传统数学重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.其中《盈不足》章记载了一道数学问题:“今有共买物,人出六,盈二;人出五,不足三.问人数、物价各几何?译文:“今有人合伙购物,每人出6钱,会多出2钱;每人出5钱,又差3钱,问人数、物价各多少?”请利用方程解答上述问题. 3.(24-25七年级下 河北邯郸)《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”.下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题:今有共买金,人出四百,盈五千四百;人出三百,盈四百.问人数、金价各几何?这段话的意思是:今有人合伙买金,每人出400钱,会剩余5400钱;每人出300钱,会剩余400钱.合伙人数、金价各是多少?请解决上述问题. 4.(24-25七年级下 江苏常州)我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托,折回索子来量竿,却比竿子短一托,问索、竿各长几何?”译文为:“有一根竿和一条绳,若用绳去量竿,则绳比竿长5尺;若将绳对折后再去量竿,则绳比竿短5尺,问绳和竿各有多长?”请你用二元一次方程组解决该问题. 5.(24-25七年级下 河北沧州)《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”,“方”指数据左右并排,其行方正,“成”指考查相关数据构成的比率关系.具体何谓“方程术”呢?请欣赏《九章算术》中的问题:“今有牛五、羊二,值金十两;牛二、羊五,值金八两.问牛羊各值金几何?”译文:今有牛5头,羊2头,共值金10两;牛2头,羊5头,共值金8两,问牛、羊每头各值金多少? (1)列二元一次方程组解决以上问题; (2)依“方程术”解,将“牛5头,羊2头,共值金10两”列在右方,“牛2头,羊,5头共值金8两”,列在左方,用右牛数遍乘左方各数(“遍乘”),将所得左方新数连续减去右方对应数的适当倍数,直到左方头位数为零为止(“直除”),如图1所示.左方未尽之数,用上面的数做除数,下面的数做被除数,所得商即为每头羊值金数,(羊1头,值金两) ①上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中,“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的 思想; ②依“方程术”解,采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”如图2所示,在图中填写数据,直接写出牛值金 两. 题型二 二元一次方程组的应用之方案问题(共5小题) 6.(24-25七年级下 湖南长沙)初三体育进入专项训练,某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用,调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元;购买6个篮球和2个实心球需460元. (1)求篮球、实心球的单价各是多少元? (2)该校计划采购篮球、实心球共200个,总费用不超过6100元,且篮球个数不少于实心球个数的,请问有几种购买方案? 7.(23-24八年级上 重庆江北)某商贸公司有、两种型号的商品需运出,这两种商品的体积和质量分别如表所示: 体积(立方米/件) 质量(吨/件) 型商品 型商品 (1)已知一批商品有、两种型号,体积一共是立方米,质量一共是吨,求、两种型号商品各有几件? (2)物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重吨,容积为立方米,其收费方式有以下两种: ①按车收费:每辆车运输货物到目的地收费611元; ②按吨收费:每吨货物运输到目的地收费211元. 现要将(1)中商品一次或分批运输到目的地,如果两种收费方式可混合使用,商贸公司应如何选择运送、付费方式,使其所花运费最少,最少运费是多少元? 8.(23-24七年级下 安徽合肥)某公司需要将120吨物资从A市运往B市,现有甲、乙、丙三种车型供运输选择,每辆车的运载能力和运费如下表: 车型 甲 乙 丙 运载量(吨/辆) 5 8 10 运费(元/辆) 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完,如果甲车有11辆,则丙车至少需要多少辆? (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完,且每辆车均满载,需运费9600元,则甲、乙两种车型各需多少辆? (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完,且每辆车均满载,已知三种车辆共14辆,直接写出a、b的值和总运费. 9.(24-25八年级上 全国)“元旦”期间,某校组织开展班级歌咏比赛,甲、乙两班共有学生102人(其中甲班人数多于乙班人数,且甲班人数不足100人)报名购买服装参加比赛.下面是某服装厂给出的服装的价格表: 购买服装的套数 每套服装的价格/元 70 60 50 如果两班分别单独购买服装,总共要付款6580元. (1)如果甲、乙两班联合起来购买服装,那么共需付多少钱? (2)甲、乙两班各有多少名学生报名参加比赛? (3)如果甲班有5名学生因特殊情况不能参加比赛,请你为两班设计一种省钱的购买服装的方案. 10.(23-24八年级上 甘肃兰州)12月18日,甘肃省临夏州积石山县发生了级地震,全国各地伸出了援助之手.某物流公司计划租用两种车辆为灾区运输物资.已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨,根据以上信息,解答下列问题: (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨? (2)若A型车每辆需租金90元/次,B型车每辆需租金110元/次,物流公司计划共租用8辆车.已知汽车租赁公司的A型车只剩了6辆,B型车还有很多.设总租车费用w元,租用了a辆A型车,请为物流公司选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费用. 题型三 二元一次方程组的应用之分配问题(共5小题) 11.(24-25八年级上 江西抚州)某校为实现垃圾分类投放,准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶.购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元;购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元. (1)求大、小两种垃圾桶的单价; (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元? 12.(23-24八年级上 辽宁沈阳)健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品,每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质,每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质. 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质(单位) _ _ _ 其中所含铁质(单位) _ _ _ (1)依据题意,填写上表: (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要? 项目 甲原料x克 乙原料y克 所配制营养品 其中所含蛋白质(单位) 其中所含铁质(单位) 13.(24-25六年级下 上海宝山)某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板,做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒. (1)现有长方形纸板170张,正方形纸板80张,做成上述两种纸盒,纸板恰好用完.求两种纸盒生产个数; (2)工厂共有52名工人,每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板,已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套,问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套? (3)如果有长方形纸板170张,正方形纸板82张,做出上述两种纸盒后剩余2张纸板,问两种纸盒各生产了多少个?请直接写出结论. 14.(24-25七年级下 重庆九龙坡)某工厂用长方形铁片和正方形铁片(长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等)(如图1)加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器(如图2).(加工时接缝材料不计) (1)现用长方形铁片90个,正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器,刚好铁片全部用完,则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个? (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒.已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片.现有55张铁板,请你计算如何加工,才能充分利用好现有的这55张铁板,让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒,并计算可加工制作成多少个长方形铁盒? 15.(24-25七年级下 江苏连云港)这个夏天,江苏的顶流话题非“苏超”莫属!朋友圈、抖音全被刷屏,网友们边看球赛边玩梗.梭子蟹大闸蟹、云雾茶碧螺春、海鲜汤包……年月日,连云港主场迎战苏州,一场“舌尖上的德比”未踢先火,更因两地特色被戏称为“蟹王争霸赛”.为给赛事加码,连云港放出“宠粉大招”——广大球迷专属优惠:即日起至月日,凡持有年江苏省城市足球联赛购票凭证的球迷,凭购票记录和身份证,可享受在观赛当日及前、后天内(十一假期不含在内)连云港市域内景区、酒店优惠. 已知连云港某酒店的三人间和双人间客房标价为:三人间为每人每天元,双人间为每人每天元.凡球迷圆团体入住一律五折优惠.一个人的团体在月日到该酒店住宿,租住了一些三人间、双人间客房. (1)如果租住的每个客房正好住满,并且一天一共花去住宿费元.求租住了三人间、双人间客房各多少间? (2)一天元的住宿费是否为最低?如果不是最低,请尝试设计一个方案,使得一天的住宿费用最低,并求出最低费用. 题型四 二元一次方程组的应用之销售、利润问题(共5小题) 16.(24-25九年级上 海南省直辖县级单位)某水果店购进苹果与提子共60千克进行销售,这两种水果的标价如下表所示,如果店主将这些水果按标价的8折全部售出,总售价为400元,求该水果店购进苹果和提子分别是多少千克? 标价(元/千克) 苹果 8 提子 10 17.(24-25七年级上 甘肃武威)小朋友:阿姨,我买一盒饼干和一袋牛奶.(递上10元钱) 售货员:小朋友,本来你用10元钱买一盒饼干是足够的,但要再买一袋牛奶就少一元钱啦!今天是儿童节,我给你买的饼干打八折,两样东西请拿好,还找你8角钱.根据对话内容,试求出饼干和牛奶的标价是多少元? 18.(25-26八年级上 全国)某旅游纪念品商店销售A,B两种伴手礼,已知销售一件A种伴手礼和两件B种伴手礼可获利220元,销售三件A种伴手礼和一件B种伴手礼可获利260元. (1)求每销售一件A种伴手礼和一件B种伴手礼各获利多少元; (2)该旅游纪念品商店计划一次性购进A,B两种伴手礼共40件,其中A种伴手礼不少于10件,将其全部销售完可获总利润为y元.设购进A种伴手礼x件. ①求y与x的函数关系式; ②当购进A种伴手礼多少件时,该商店可获利最大,最大利润是多少元? 19.(24-25八年级上 安徽宿州)某公司计划购进A,B两种多媒体共50套进行销售,这两种多媒体的进价与售价如表所示. 类型 A B 进价/(万元/套) 3 2.4 售价/(万元/套) 3.3 2.8 (1)若购进这两种多媒体共需资金132万元,则该公司计划购进A,B两种多媒体各多少套? (2)若购进A种多媒体m套,则当m取何值时把购进的两种多媒体全部售出后能获得的利润最大?最大利润是多少? 20.(24-25八年级上 全国)某制造厂计划将115吨的原材料制成A,B,C三种产品,单件产品所需的原材料数量及产品销售价如下表所示(设所有原材料恰好用完): 型号 A B C 原材料数量(吨/件) 5 8 10 销售价(元/件) 400 500 600 (1)若全部原材料都制成A,B两种产品,销售总额为7800元,问分别制成A,B两种产品各几件? (2)制造厂计划制成A,B,C三种产品共15件,请设计使得销售总额最大的方案并求出最大销售额. 题型五 二元一次方程组的应用之行程问题(共5小题) 21.(24-25七年级下 吉林松原)雅西高速公路于2012年4月29日正式通车,西昌到成都全长420千米,一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出,经过小时相遇,相遇时,小汽车比客车多行驶70千米,求出小汽车和客车的平均速度. 22.(24-25七年级下 浙江宁波)某科研团队对两款仿生机器人A,B进行步行性能测试,计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务,A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现:A型机器人走10步,接着B型机器人走8步,共需要14秒;A型机器人走15步,接着B型机器人走20步,共需要27秒. (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒? (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米,B型机器人的单步步长为65厘米,在一次接力测试中,一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务,每台机器人的总步数均为整数,求完成这次接力任务的时间可能是多少秒? 23.(24-25七年级下 安徽合肥)【问题背景】 随着人们生活水平的提高,很多家庭都购置了小汽车.大多数小汽车是前轮驱动和转向的,所以前轮的磨损程度比后轮严重.为了解决这个问题,一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议. 【资料显示】 汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到时报废,而后轮轮胎应在汽车行驶达到时报废.如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎. 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”,则前轮行驶每千米的磨损量为_,后轮行驶每千米的磨损量为_; (2)汽车行驶里程达到多少时,交换前、后轮轮胎,能使汽车的两对轮胎同时报废?并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程. 24.(22-23八年级上 广东深圳)“网约出行”改变了人们的出行方式.某网约平台的打车出行计价规则为:打车总费用=里程费+耗时费,其中里程费按x元/公里计算,耗时费按y元/分钟计算.已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行,按其计价规则,其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表: 乘客 里程数(公里) 平均速度(公里/时) 打车总费用(元) 甲 8 乙 (1)求x与y的值; (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式,其出行的平均车速为公里/时,行驶了9公里,请你计算小明的妈妈应付车费多少元? 25.(24-25七年级下 河南焦作)数学活动:轮胎换位问题 户外骑自行车进行锻炼是我们日常生活中常见的一种锻炼方式,深受大众欢迎.在骑行的过程中,自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗,行驶一定的里程就要报废. 【问题解决】 问题一:如果前后轮没有压力差,前轮可以使用4000千米,后轮也可以使用4000千米,这对轮胎行驶的里程数最大值是_. 问题二:由于后轮受到的压力大,所以同样的轮胎放在后轮损耗会大一些,如果行驶到某里程数,将前后轮交换一次,再使用到前后轮同时报废,可以使两个轮胎行驶的里程数最大. (1)一对同样的新轮胎,安装在前轮可以使用5000千米,安装在后轮可以使用3000千米.设每个新轮胎报废时的总磨损量为,则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为_,安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为_. (2)在(1)的条件下,设一对新轮胎交换位置前走了千米,交换位置后走了千米,则这对轮胎行驶的里程数最大值是多少?行驶的里程数为多少时交换前后轮胎? 题型六 二元一次方程组的应用之工程问题(共5小题) 26.(24-25六年级下 上海金山)某快递公司为应对“618”购物节,根据网站预售情况,提前安排了分拣员,如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹;名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹. (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹? (2)如果该公司为了按时完成配送任务,快递车按原速度行驶,刚好能在小时内送完所有包裹;若将速度提高千米小时,行驶小时后,还剩千米的路程未完成配送.求快递车的总配送路程是多少千米? 27.(24-25七年级下 新疆昌吉)某中学为了增加操场面积,租用了土地10亩,现在平整操场需要运走36800吨泥土,现有租用A型车和B型车,已知:用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨;用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨. (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨? (2)已知A型车每天能运20次,B型车每天能运16次.学校同时租用A、B型车,刚好20天运完且每辆车每天运足次数,每次都按(1)中运量运满,请找出该校的租车方案; 28.(23-24八年级上 山东青岛)今年12月18日23时59分甘肃临夏州积石山县发生级地震,造成很多房屋损毁,急需大量棉被.某企业接到任务,须在规定时间内生产一批棉被.如果按原来的生产速度,每天生产360床棉被,那么在规定时间内只能完成任务的.为按时完成任务,该企业所有人员都支援到生产第一线,这样,每天能生产480床棉被,刚好提前两天完成任务.请问规定时间是多少天?生产任务是多少床棉被? 29.(24-25七年级下 陕西安康)某市在创建全国卫生文明城市建设中,对城内的部分河道进行整治.现有一段300米长的河道的整治任务,由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治20米,乙工程队每天整治30米,共用时13天.问河道整治任务完成后,甲、乙两工程队分别整治河道多少米? (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下: ①小明:设河道整治任务完成后,甲工程队整治河道米,乙工程队整治河道米. 根据题意,得 ②小华:设河道整治任务完成后,表示_,表示_. 根据题意,可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路. (2)请从①②中任选一个解题思路,写出完整的解答过程. 30.(24-25七年级下 广西崇左)某建工集团下有甲、乙两个工程队,现中标承建一段公路.若让两队合做,24天可以完工,需费用120万元;若让两队合做20天后,剩下的工程由乙队做,还需20天才能完成,这样只需费用110万元问: (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天? (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元? 题型七 二元一次方程组的应用之数字问题(共4小题) 31.(24-25六年级下 上海)有一个两位正整数,十位数字的8倍比原数小9,将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1,求原来的两位数.(列方程组解答) 32.(2025 安徽亳州 三模)“洛书”(图1)是世界上最早的“幻方”.“九宫格”来源于“洛书”,将不重复的9个数依次填入方格中,使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等,这样便构成了一个“九宫格”.如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”. (1)写出图2中a和b之间的数量关系; (2)求出图3中x和y的值. 33.(24-25七年级下 江西南昌)《最强大脑》节目中,有很多具有挑战性的比赛项目,其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力.如图是一个最简单的二阶幻圆的模型,要求:①内、外两个圆周上的四个数字之和相等;②外圆两直径上的四个数字之和相等.求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字. 34.(24-25六年级下 上海)幻方,又称“魔方阵”,是一种古老而有趣的数学游戏.最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”.三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数,使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等,这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方,求x的值; (2)如图②所示幻方,求a,b的值; (3)如图③所示幻方,若m,a为正整数,写出m,a可能的所有取值,并将对应的幻方填写完整. 11 14 11 12 12 10 13 8 15 15 10 11 8 12 16 13 14 9 21 4 11 2 12 22 13 20 3 题型八 二元一次方程组的应用之和差倍分问题(共5小题) 35.(23-24七年级下 山西吕梁)为落实2023年10月15日吕梁市人民政府办公室《关于印发吕梁市贯彻新发展理念全面提升城镇园林绿化水平实施方案》的通知,某小区积极进行小区绿化,计划种植A,B两种苗木共600株,已知种植A种苗木的数量比种植B种苗木的数量的一半多60株,求种植A,B两种苗木各多少株. 36.(24-25七年级上 安徽安庆)桐城二中为了提升学生的综合素质,拓展视野见识,增强社交能力,培养独立意识,激发学生学习兴趣,学校组织七八年级学生研学旅行.其中七年级班师生共483人.学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地,若租用型车3辆,型车6辆,则空余12个座位;若租用型车5辆,型车4辆,则18人没有座位.求两种车型各有多少个座位? 37.(24-25七年级下 全国)某生态柑橘园现有柑橘24t,计划租用A,B两种型号的货车将柑橘运往外地销售.已知满载时,用3辆A型车和2辆B型车一次可运柑橘13t;用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t. (1)1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨? (2)若计划租用A型货车m辆,B型货车n辆,一次运完全部柑橘,且每辆车均为满载,请帮柑橘园设计租车方案(要求A、B型货车都要有). 38.(24-25八年级上 山西运城)疫情期间,各小区居民主动居家,积极抗疫.政府为了保证人民群众的生活需求,组织超市为居民提供蔬菜包.甲小区订A蔬菜包110份,B蔬菜包60份,费用为11500元,乙小区定A蔬菜包和B蔬菜包各80份,费用为12000元. (1)求A蔬菜包和B蔬菜包的价格; (2)若丙小区共订蔬菜包200份,请写出该小区此次订蔬菜包的总费用y元与A蔬菜包x份之间的函数关系式; (3)在(2)的条件下,丙小区此次订蔬菜包的费用至少是多少元? 39.(24-25八年级上 四川成都)近年来,四川天府新区取得了飞速的发展,以成都科学城发展为例,兴隆湖畔集结了一大批领先的科技创新领军项目,正如火如荼地推进建设,据报道,新区某公司打算购买A,B两种花装点城区道路,公司负责人到花卉基地调查发现:购买1盆A种花和2盆B种花需要14元,购买2盆A种花和1盆B种花需要13元. (1)求A,B两种花的单价各为多少元? (2)公司若购买A,B两种花共10000盆,设购买的A种花m盆(3000≤m≤5000),总费用为W元; ①求W与m的关系式; ②请你帮公司设计一种购花方案,使总花费最少?并求出最少费用为多少元? 题型九 二元一次方程组的应用之几何问题(共4小题) 40.(24-25八年级上 陕西西安)小敏做拼图游戏时发现:8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形,如图1所示.小颖看见了,也来试一试,结果拼成了如图2所示的正方形,不过中间留下一个边长恰好为的小正方形空白,你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗? 41.(24-25七年级下 江苏镇江)如图,在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形(尺寸如图) (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽; (2)求图中阴影部分的面积. 42.(24-25七年级下 浙江金华)如图1是由8个边长分别为,的小长方形拼成的大长方形. (1)请直接写出与之间满足的关系式(用的代数式表示). (2)将图1中的8个小长方形放入一个大长方形中,按如图2摆放. ①用,的代数式表示大长方形的宽; ②若三块阴影部分的面积之和为189,求小长方形的面积. 43.(24-25七年级下 湖北宜昌)据统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是.现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地,分别种植这两种作物.怎样划分这块土地,才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案,根据问题中涉及的长度和产量的相等关系,可列出方程组求解. 方案一:按如图1的方式划分土地,甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形,求的长度是多少? 方案二:按如图2的方式划分土地,分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物,求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答. 44.(24-25七年级下 福建泉州)校园手工社团开展环保纸盒创意制作,需用特定尺寸纸板制作横式、竖式两种无盖纸盒.相关信息如下表: 素材 类型 规格 素材一 横式无盖纸盒 竖式无盖纸盒 素材二 现有纸板 长、宽,共60张. (1)任务1:基础裁切计算 用1张的纸板,恰好同时裁切成的正方形和的长方形两种纸板,问裁切成这样的正方形和长方形纸板各多少张? (2)任务2:制作方案规划 若手工社团将现有60张纸板按任务1的方式裁切(材料无剩余),得到的正方形和长方形纸板恰好可制作横式无盖纸盒x个,竖式无盖纸盒y个. ①用含和的代数式分别表示正方形和长方形纸板的总需求量; ②求制作横式无盖纸盒和竖式无盖纸盒各多少个? $