专题02 平行线的证明（必备知识 9大题型 分层训练）（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题02 平行线的证明（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 命题的定义与分类 能区分命题与非命题，判断真/假命题，掌握反例的用法 基础必考点，常以选择题/填空题形式考查，易混淆“命题”与“陈述性语句” 证明的基本逻辑与步骤 能规范书写证明过程，明确每一步推理的依据（公理、定理、已知条件等） 能力考查点，常作为解答题压轴，易因“推理依据不规范”失分 平行线的判定与性质 熟练应用同位角/内错角/同旁内角的关系判定平行，或由平行推导角的关系 高频重难点，常结合几何图形综合考查，易出现“判定与性质混淆”的错误 知识点01 定义与命题 1.定义：对名称/术语的含义作明确描述（如“两点之间线段的长度叫两点间的距离”）。 2.命题：判断一件事情的句子，由“条件”和“结论”组成（可写成“如果…那么…”形式）。 3.真/假命题：正确的命题为真命题；错误的命题为假命题（举反例可证明假命题）。 ·示例：判断“内错角相等”是否为真命题？ 解：不是。反例：两条不平行的直线被第三条直线所截，内错角不相等。。 ·易错点：混淆“命题”与“陈述性语句”（如“今天天气好”不是命题，因为未作判断）； 假命题的反例需同时满足“条件”但不满足“结论”（避免举与条件无关的例子）。 知识点02 公理、定理与证明 1.公理：公认的真命题（无需证明，如“两点确定一条直线”）。 2.定理：经证明的真命题（可作为推理依据，如“平行线的性质”）。 3.证明：演绎推理的过程，每一步需有依据（已知、公理、定理等）。 ·示例：证明“平行于同一直线的两直线平行”（已知：a∥ b，b∥c，求证：a∥c）。 解：假设a与c相交于点P，则过点P有两条直线（a、c）与b平行，与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，故a∥c。 ·易错点：证明过程中“跳步”（省略关键推理依据）； 混淆“公理”与“定理”（公理无需证明，定理需证明）。 知识点03 平行线的判定 由“角的关系”推“线的平行”，常见判定方法： 1. 同位角相等，两直线平行； 2. 内错角相等，两直线平行； 3. 同旁内角互补，两直线平行； 4. 平行于同一直线的两直线平行； 5. 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。 ·示例：如图，，，，求证． 解：证明：如图所示，在中，， ∵，∴， 又∵，∴，∴，即， ∴，∴． ·易错点：误用“平行线的性质”代替“判定”（如由“两直线平行”推“角相等”，但题目需证“平行”）； 忽略“同一平面内”的前提（垂直于同一直线的两直线平行，需在同一平面内）。 知识点04 平行线的性质 由“线的平行”推“角的关系”，常见性质： 1. 两直线平行，同位角相等； 2. 两直线平行，内错角相等； 3. 两直线平行，同旁内角互补。 ·示例：如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 解：（1）证明：，，； （2）解：，， ，，，，． ·易错点：判定与性质混淆（如已知“角相等”，错误得出“两直线平行的性质”）； 漏看“两直线平行”的前提（直接由“角相等”得“平行”，忽略线的位置关系）。 知识点05 平行线中的“拐点模型” 常见模型（遇拐点作平行线）： 1. 铅笔模型： 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 2. 猪脚模型： 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2 3. 牛角模型： 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° ·示例：如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 解：（1）证明：，． ，，； （2）解：如图：过点B作，， ，． ∵，； （3）解：过点作，则，， 由（2）知，则，． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． ·易错点：忘记作辅助线（直接用模型结论，忽略证明过程）； 辅助线作法错误（未保证与已知直线平行）。 题型一 判断是否是命题 解｜题｜技｜巧 1. 看是否为陈述句：命题必须是能判断真假的陈述句，疑问句（如“今天冷吗？”）、祈使句（如“把门关上”）、感叹句（如“真美啊！”）均不是命题。 2. 看能否判断真假：句子需有明确真假结果，如“地球绕太阳转”能判断为真，是命题；而“x>5”无法确定真假，不是命题。 【典例1】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【变式2】（24-25八年级上·江西吉安）下列语句中不是命题的是（  ） A．对顶角不相等 B．过A、B 两点作直线 C．两点之间线段最短 D．内错角相等 题型二 判断命题的真假 答｜题｜模｜板 1. 直接验证法：若命题描述的是明确事实或可直接推导的结论，直接判断真假。比如“正方形是特殊的长方形”，符合定义，直接判定为真。 2. 举反例法：若要证明命题为假，只需找出一个不符合命题结论的例子。比如“所有质数都是奇数”，因2是质数却不是奇数，举此反例可判定命题为假。 【典例2】（24-25八年级下·河南）下列命题中，为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．的算术平方根是2 C．负数的立方根是负数 D．0没有平方根 【变式1】（24-25八年级上·江西抚州）下列命题是真命题的是（   ） A．的平方根是 B．同角的余角相等 C．数据1，2，3，4，2中众数是4 D．直角三角形的两边长分别为3和4，则其第三边长为5 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安）下列命题中，是假命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果两个角互余，那么它们的余角也互余 C．若，则 D．两边及夹角分别相等的两个三角形全等 题型三 举反例说明命题是假命题 解｜题｜技｜巧 1. 紧扣命题条件与结论：先明确命题的“条件”和“结论”，反例需完全满足条件，却违背结论。如命题“若a²=b²，则a=b”，反例“a=-2，b=2”，满足a²=b²，却不满足a=b。 2. 优先选简单易懂的例子：优先用常见数字、图形等，降低验证难度。如证“所有四边形都有外接圆”，举“普通平行四边形”，它满足四边形条件，却无外接圆，直观且易验证。 【典例3】（24-25七年级下·江苏无锡）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式1】（24-25八年级上·安徽六安）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南）下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型四 写出命题的题设与结论 答｜题｜模｜板 1. “如果…那么…”拆分法：若命题无明显关联词，先改写成“如果p，那么q”的形式。“如果”后接的p是题设，“那么”后接的q是结论。如“对顶角相等”，改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，题设和结论便清晰。 2. 抓关键逻辑词定位：命题含“若…则…”“只要…就…”等词时，“若”“只要”后的内容是题设，“则”“就”后的是结论。如“若a∥b，b∥c，则a∥c”，前半句是题设，后半句是结论。 【典例4】（24-25七年级下·上海）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 【变式1】（24-25八年级上·广东河源）命题“两直线平行，同旁内角互补”的结论是 ． 【变式2】（23-24八年级上·全国）命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”的题设是 ，它是 命题（填“真”或“假”）． 题型五 判断使两直线是否平行 解｜题｜技｜巧 1. 看截线形成的角的关系：若两条直线被第三条直线（截线）所截，出现同位角相等、内错角相等或同旁内角互补中的任意一种情况，即可判定两直线平行。 2. 用平行公理及推论：若已知一条直线与某直线平行，且另一条直线与该直线重合或平行（如“平行于同一直线的两直线平行”），或垂直于同一直线（同一平面内），可直接判断这两条直线平行。 【典例5】（24-25七年级下·湖北宜昌）如图，为延长线上一点，下列条件中能判断的是（ ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国）如图，，和互余，于点G，则①；②；③；④与互余．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙）如图，在下列条件中，不能判断直线的是(    ) A． B． C． D． 题型六 补充条件使两直线平行 答｜题｜模｜板 1. 根据“角的关系”补条件：先找两直线被截形成的同位角、内错角或同旁内角，补充“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”。如已知截线，补“∠1=∠2”（同位角相等）即可证平行。 2. 根据“平行/垂直公理”补条件：补充与已知平行线相关的条件，如“平行于同一直线”；或同一平面内补“都垂直于同一直线”，比如补“a⊥c且b⊥c”，可证a∥b。 【典例6】（24-25七年级下·广东深圳）如图，两条直线，被第三条直线所截，请添加一个条件： ，使得． 【变式1】（24-25七年级下·云南德宏）如图，在四边形中，若要，则需增加条件： ．（填一个即可） 【变式2】（24-25七年级下·福建福州）如图，为使成立，请写出一组角的数量关系作为条件 ． 题型七 利用平行线的性质求解 答｜题｜模｜板 1. 先定“三线八角”关系：找到平行线被截形成的同位角、内错角或同旁内角，直接用性质——同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，将已知角与未知角关联。 2. 结合其他知识推导：若所求角与平行线性质角不直接相关，可结合对顶角相等、邻补角互补等知识，搭建“已知角→性质角→未知角”的推导链条，逐步算出结果。 【典例7】（24-25七年级下·浙江台州）如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为 ． 【变式1】（24-25七年级下·贵州黔南）领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘与平行，与平行，与的夹角为，与的夹角为，则 °． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安）如图，已知，点E，F分别在上，点G，H在两条平行线之间，与的平分线交于点M．若，则的度数为 ． 题型八 平行线的判定与性质多结论问题 答｜题｜模｜板 1. 先辨“判定”与“性质”：看结论是由“角的关系推平行”（用判定，如同位角相等→两直线平行），还是“平行推角的关系”（用性质，如两直线平行→内错角相等），避免逻辑颠倒。 2. 逐结论验证，排除干扰：对每个选项，结合已知条件（如已知平行或已知角相等），用判定或性质逐一验证，排除不符合逻辑推导的错误结论。 【典例8】（24-25七年级下·吉林）某自行车的示意图如图所示，其中，且都与地面平行，若，则下列结论正确的是 （填序号） ①；②当时，有； ③当时，有；④当时，有． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃平凉）如图，在三角形中，延长至点，的平分线与的平分线交于点，在的内部作射线，已知，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是 ． 【变式2】（23-24七年级下·广东汕头）如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是 ． ①；②；③；④；⑤若，则． 题型九 平行线的判定与性质的综合问题 答｜题｜模｜板 1. 理清“判定”与“性质”的逻辑链：从已知条件出发，若已知角相等/互补，先用判定定理推导出平行；若已知平行，再用性质定理推出角的关系，形成“角→平行→角”或“平行→角→平行”的推导路径。 2. 标记图形辅助分析：在图中标记已知角、相等角或互补角，明确平行线与截线的位置，快速定位关联的“三线八角”，避免混淆角与线的对应关系，减少推导错误。 【典例9】（23-24七年级下·山东潍坊）如图，D、E、F、G是边上的点，，． (1)试证：； (2)若平分，，，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳）如图，点E、F分别在线段、上，连接、、，过点F作分别交、于点H、G，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙）如图1，直线分别交直线于两点，且． (1)求证：； (2)如图2，已知与的角平分线交于点．求的值； (3)在（2）的条件下，若，绕点以的速度顺时针方向旋转得到，当首次与射线重合时运动停止，在运动过程中（含始终位置），旋转时间为何值时的一边与直线平行． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃武威）如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·云南普洱）下列命题中，是真命题的是（    ） ①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②平方根是它本身的数只有0和1；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补；⑤垂线段最短． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 3．（24-25七年级下·四川南充）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26八年级上·全国）说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是 ． 5．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定的条件是 填所有正确条件的序号 6．（24-25七年级下·全国）如图，在四边形纸片中，，将分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点E，点C，D都落在边上的F处，若四边形的面积是6，，则 ． 三、解答题 7．（23-24七年级下·贵州黔东南）完成下面推理过程： 如图，，可推得的理由如下： ∵（已知） ∴（______________________） ∴（______________________） ∵（______________________） ∴（______________________） ∴（______________________）． 8．（25-26八年级上·安徽合肥）如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： (1)； (2)； (3)． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24七年级下·贵州毕节）如图，直线、被直线所截，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯）下列命题中，①两条直线被第三条直线所截，同位角相等：②从全校名学生中抽取名学生调查课外阅读情况，抽取的样本容量为：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直：④的平方根是．其中真命题的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级下·全国）如图，已知，平分，平分，则下列结论中：①；②平分；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．（24-25八年级上·四川成都）举反例：当 时，可说明命题“对于任意实数”是假命题． 5．（24-25七年级上·江苏淮安）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有 （填序号） 6．（24-25七年级下·四川达州）如图，在中，，，，．P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与相交于点M．当时，若的面积为2，则重叠部分的面积为 ． 三、解答题 7．（24-25七年级下·上海浦东新）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 8．（23-24七年级下·浙江温州）如图，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若求的度数． 9．（24-25七年级下·吉林）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，是直角三角形，，，操作发现： (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，此时发现与又存在新的数量关系，直接写出与的数量关系． 10．（24-25七年级下·河北邯郸）（1）如图1，，点在，之间，连接，．易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点作． 小菲：如图3，延长AP交于点． 请你选择一位同学的方法进行证明． （2）如图4，，分别是射线，上一点，是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：． （3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与相交于点，与相交于点，若，，，求的度数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平行线的证明（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 命题的定义与分类 能区分命题与非命题，判断真/假命题，掌握反例的用法 基础必考点，常以选择题/填空题形式考查，易混淆“命题”与“陈述性语句” 证明的基本逻辑与步骤 能规范书写证明过程，明确每一步推理的依据（公理、定理、已知条件等） 能力考查点，常作为解答题压轴，易因“推理依据不规范”失分 平行线的判定与性质 熟练应用同位角/内错角/同旁内角的关系判定平行，或由平行推导角的关系 高频重难点，常结合几何图形综合考查，易出现“判定与性质混淆”的错误 知识点01 定义与命题 1.定义：对名称/术语的含义作明确描述（如“两点之间线段的长度叫两点间的距离”）。 2.命题：判断一件事情的句子，由“条件”和“结论”组成（可写成“如果…那么…”形式）。 3.真/假命题：正确的命题为真命题；错误的命题为假命题（举反例可证明假命题）。 ·示例：判断“内错角相等”是否为真命题？ 解：不是。反例：两条不平行的直线被第三条直线所截，内错角不相等。。 ·易错点：混淆“命题”与“陈述性语句”（如“今天天气好”不是命题，因为未作判断）； 假命题的反例需同时满足“条件”但不满足“结论”（避免举与条件无关的例子）。 知识点02 公理、定理与证明 1.公理：公认的真命题（无需证明，如“两点确定一条直线”）。 2.定理：经证明的真命题（可作为推理依据，如“平行线的性质”）。 3.证明：演绎推理的过程，每一步需有依据（已知、公理、定理等）。 ·示例：证明“平行于同一直线的两直线平行”（已知：a∥ b，b∥c，求证：a∥c）。 解：假设a与c相交于点P，则过点P有两条直线（a、c）与b平行，与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，故a∥c。 ·易错点：证明过程中“跳步”（省略关键推理依据）； 混淆“公理”与“定理”（公理无需证明，定理需证明）。 知识点03 平行线的判定 由“角的关系”推“线的平行”，常见判定方法： 1. 同位角相等，两直线平行； 2. 内错角相等，两直线平行； 3. 同旁内角互补，两直线平行； 4. 平行于同一直线的两直线平行； 5. 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。 ·示例：如图，，，，求证． 解：证明：如图所示，在中，， ∵，∴， 又∵，∴，∴，即， ∴，∴． ·易错点：误用“平行线的性质”代替“判定”（如由“两直线平行”推“角相等”，但题目需证“平行”）； 忽略“同一平面内”的前提（垂直于同一直线的两直线平行，需在同一平面内）。 知识点04 平行线的性质 由“线的平行”推“角的关系”，常见性质： 1. 两直线平行，同位角相等； 2. 两直线平行，内错角相等； 3. 两直线平行，同旁内角互补。 ·示例：如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 解：（1）证明：，，； （2）解：，， ，，，，． ·易错点：判定与性质混淆（如已知“角相等”，错误得出“两直线平行的性质”）； 漏看“两直线平行”的前提（直接由“角相等”得“平行”，忽略线的位置关系）。 知识点05 平行线中的“拐点模型” 常见模型（遇拐点作平行线）： 1. 铅笔模型： 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 2. 猪脚模型： 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2 3. 牛角模型： 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° ·示例：如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 解：（1）证明：，． ，，； （2）解：如图：过点B作，， ，． ∵，； （3）解：过点作，则，， 由（2）知，则，． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． ·易错点：忘记作辅助线（直接用模型结论，忽略证明过程）； 辅助线作法错误（未保证与已知直线平行）。 题型一 判断是否是命题 解｜题｜技｜巧 1. 看是否为陈述句：命题必须是能判断真假的陈述句，疑问句（如“今天冷吗？”）、祈使句（如“把门关上”）、感叹句（如“真美啊！”）均不是命题。 2. 看能否判断真假：句子需有明确真假结果，如“地球绕太阳转”能判断为真，是命题；而“x>5”无法确定真假，不是命题。 【典例1】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可求解，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意； 、垂线段最短是命题，该选项符合题意； 、利用三角板画出的角不是命题，该选项不合题意； 、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意； 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是否为判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可． 【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·江西吉安）下列语句中不是命题的是（  ） A．对顶角不相等 B．过A、B 两点作直线 C．两点之间线段最短 D．内错角相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据命题的定义分别进行判断． 【详解】解：对顶角不相等；两点之间线段最短；内错角相等，它们都是命题， 而过A、B两点作直线为描述性语言，它不是命题． 故选：B． 题型二 判断命题的真假 答｜题｜模｜板 1. 直接验证法：若命题描述的是明确事实或可直接推导的结论，直接判断真假。比如“正方形是特殊的长方形”，符合定义，直接判定为真。 2. 举反例法：若要证明命题为假，只需找出一个不符合命题结论的例子。比如“所有质数都是奇数”，因2是质数却不是奇数，举此反例可判定命题为假。 【典例2】（24-25八年级下·河南）下列命题中，为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．的算术平方根是2 C．负数的立方根是负数 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题真假、算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据对顶角、算术平方根、立方根、平方根的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意； B、，2的算术平方根是，故原命题是假命题，不符合题意； C、负数的立方根是负数，是真命题，符合题意； D、0的平方根是0，故原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江西抚州）下列命题是真命题的是（   ） A．的平方根是 B．同角的余角相等 C．数据1，2，3，4，2中众数是4 D．直角三角形的两边长分别为3和4，则其第三边长为5 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理，掌握平方根的定义、同角的余角相等、众数的概念、勾股定理是解题的关键． 根据平方根的定义、同角的余角相等、众数的概念、勾股定理逐项判断即可解答． 【详解】解：A、的平方根是，原命题是假命题； B、同角的余角相等，原命题是真命题； C、数据1，2，3，4，2中众数是2，原命题是假命题； D、直角三角形的两边长分别为3和4，则其第三边长为5或，原命题是假命题． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安）下列命题中，是假命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果两个角互余，那么它们的余角也互余 C．若，则 D．两边及夹角分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，涉及平行线的性质、互余的性质、二次根式的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关数学知识并逐一分析各命题的正确性． 根据各选项涉及的数学知识，分别判断命题的真假，找出假命题． 【详解】A．“两直线平行，内错角相等”是平行线的性质定理，是真命题． B．设两个角为和，且（互余）．它们的余角分别为和，其和为，故这两个余角互余，是真命题． C．由，可知，且左边右边即．此时x可能等于也可能等于（如时，等式成立但故该命题是假命题． D．“两边及夹角分别相等的两个三角形全等”是全等三角形判定定理中的“”，是真命题． 故选：C． 题型三 举反例说明命题是假命题 解｜题｜技｜巧 1. 紧扣命题条件与结论：先明确命题的“条件”和“结论”，反例需完全满足条件，却违背结论。如命题“若a²=b²，则a=b”，反例“a=-2，b=2”，满足a²=b²，却不满足a=b。 2. 优先选简单易懂的例子：优先用常见数字、图形等，降低验证难度。如证“所有四边形都有外接圆”，举“普通平行四边形”，它满足四边形条件，却无外接圆，直观且易验证。 【典例3】（24-25七年级下·江苏无锡）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·安徽六安）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A．，则，，不是反例，故A不符合题意； B．，则，，是反例，故B符合题意． C．，则，，不是反例，故C不符合题意； D．，则，，不是反例，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南）下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了举例说明假命题，只要在选项中找到满足，但不满足即可． 【详解】解：A、∵，，∴，，不是反例，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，不是反例，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，，是反例，故此选项符合题意； 故选：D． 题型四 写出命题的题设与结论 答｜题｜模｜板 1. “如果…那么…”拆分法：若命题无明显关联词，先改写成“如果p，那么q”的形式。“如果”后接的p是题设，“那么”后接的q是结论。如“对顶角相等”，改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，题设和结论便清晰。 2. 抓关键逻辑词定位：命题含“若…则…”“只要…就…”等词时，“若”“只要”后的内容是题设，“则”“就”后的是结论。如“若a∥b，b∥c，则a∥c”，前半句是题设，后半句是结论。 【典例4】（24-25七年级下·上海）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 【变式1】（24-25八年级上·广东河源）命题“两直线平行，同旁内角互补”的结论是 ． 【答案】同旁内角互补 【分析】本题主要考查了命题题设的基本概念以及平行线的性质．题设是命题的前提条件，结论是前提条件得到的结果．理解题设和结论的概念是解题的关键．根据题设是前提条件，结论是前提条件得到的结果，即可得到答案． 【详解】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”． 故答案为：同旁内角互补． 【变式2】（23-24八年级上·全国）命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”的题设是 ，它是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等 假 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够将原命题写成“如果…，那么…”的形式． 改写成“如果…，那么…”的形式后即可确定其题设和结论，判断正误后即可确定真假． 【详解】解：命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”改写成“如果…，那么…”为：如果两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等， 所以题设是：两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，为假命题， 故答案为：两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，假． 题型五 判断使两直线是否平行 解｜题｜技｜巧 1. 看截线形成的角的关系：若两条直线被第三条直线（截线）所截，出现同位角相等、内错角相等或同旁内角互补中的任意一种情况，即可判定两直线平行。 2. 用平行公理及推论：若已知一条直线与某直线平行，且另一条直线与该直线重合或平行（如“平行于同一直线的两直线平行”），或垂直于同一直线（同一平面内），可直接判断这两条直线平行。 【典例5】（24-25七年级下·湖北宜昌）如图，为延长线上一点，下列条件中能判断的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，由内错角相等，两直线平行，能得到，不符合题意； B、，由同旁内角互补，两直线平行，能得到，不符合题意； C、，由内错角相等，两直线平行，能得到，不符合题意； D、，由内错角相等，两直线平行，能得到，符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·全国）如图，，和互余，于点G，则①；②；③；④与互余．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、互余的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．由，得到，可判断①；由，得到，则有，推出，再根据同角的余角相等，推出，得到，可判断②；利用平行线的性质可判断③和④，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵和互余， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， 即与互余，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙）如图，在下列条件中，不能判断直线的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】A．∵不能判断直线； B．∵与是一对同位角， ∴由能判断直线； C．∵与是一对同旁内角， ∴由能判断直线； D．∵与是一对内错角， ∴由能判断直线． 故选：A． 题型六 补充条件使两直线平行 答｜题｜模｜板 1. 根据“角的关系”补条件：先找两直线被截形成的同位角、内错角或同旁内角，补充“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”。如已知截线，补“∠1=∠2”（同位角相等）即可证平行。 2. 根据“平行/垂直公理”补条件：补充与已知平行线相关的条件，如“平行于同一直线”；或同一平面内补“都垂直于同一直线”，比如补“a⊥c且b⊥c”，可证a∥b。 【典例6】（24-25七年级下·广东深圳）如图，两条直线，被第三条直线所截，请添加一个条件： ，使得． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．在图中发现直线，被直线所截，故可按内错角相等，两直线平行补充条件． 【详解】解：， ∴内错角相等，两直线平行， 故答案为：答案不唯一． 【变式1】（24-25七年级下·云南德宏）如图，在四边形中，若要，则需增加条件： ．（填一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟悉并运用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补时两直线平行的判定方法． 明确要使，需依据平行线的判定定理寻找条件；可从同位角、内错角或同旁内角的关系入手，找出能判定两直线平行的条件． 【详解】解：要使，根据“内错角相等，两直线平行”，若和是与被所截形成的内错角），则； 根据“同旁内角互补，两直线平行”，若和是与被所截形成的同旁内角）或和是与被所截形成的同旁内角），也可判定． 故答案为：（或或． 【变式2】（24-25七年级下·福建福州）如图，为使成立，请写出一组角的数量关系作为条件 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的三个判定方法是解答本题的关键；根据平行线的判定，结合图形可考虑同位角相等或同旁内角互补来解答． 【详解】解：当时，可有； 也可以是或． 故答案为：（答案不唯一）． 题型七 利用平行线的性质求解 答｜题｜模｜板 1. 先定“三线八角”关系：找到平行线被截形成的同位角、内错角或同旁内角，直接用性质——同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，将已知角与未知角关联。 2. 结合其他知识推导：若所求角与平行线性质角不直接相关，可结合对顶角相等、邻补角互补等知识，搭建“已知角→性质角→未知角”的推导链条，逐步算出结果。 【典例7】（24-25七年级下·浙江台州）如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，可得，利用平行线的性质求出和，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， 由题意可知，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·贵州黔南）领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘与平行，与平行，与的夹角为，与的夹角为，则 °． 【答案】135 【分析】本题考查平行线的性质，周角的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补，先求出，再由周角为，即可解答． 【详解】解：∵，， ， ， ∴， ∴． 故答案为：135． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安）如图，已知，点E，F分别在上，点G，H在两条平行线之间，与的平分线交于点M．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点G，M，H作，先证明 得到，，继而推导出，，再证明，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点G，M，H作， ， ∵和是角平分线， 即． 故答案为：． 题型八 平行线的判定与性质多结论问题 答｜题｜模｜板 1. 先辨“判定”与“性质”：看结论是由“角的关系推平行”（用判定，如同位角相等→两直线平行），还是“平行推角的关系”（用性质，如两直线平行→内错角相等），避免逻辑颠倒。 2. 逐结论验证，排除干扰：对每个选项，结合已知条件（如已知平行或已知角相等），用判定或性质逐一验证，排除不符合逻辑推导的错误结论。 【典例8】（24-25七年级下·吉林）某自行车的示意图如图所示，其中，且都与地面平行，若，则下列结论正确的是 （填序号） ①；②当时，有； ③当时，有；④当时，有． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的性质与判定的应用；根据平行线的性质与判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 当时，∵， ∴， 又∵ ∴ ∴，故②正确； 当时，， ∴ ∴与不平行，故③错误； 当时，则 ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃平凉）如图，在三角形中，延长至点，的平分线与的平分线交于点，在的内部作射线，已知，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质、角平分线的定义，逐一分析每个结论． 【详解】解：∵， ∴，所以结论①正确． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，， ∴． ∴，所以结论②正确． ∵， ∴， ∵， ∴，所以结论③错误． ∵， ∴， ∴，所以结论④正确． 故答案为：①②④． 【变式2】（23-24七年级下·广东汕头）如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是 ． ①；②；③；④；⑤若，则． 【答案】①②⑤ 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． ①根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；②由，得到，得出．③平分，得出，从而计算出．④由，得出．⑤由，得到，再得到，从而计算出． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ，故①正确，符合题意； ， ， ， ，故②正确，符合题意； 平分， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ，故④错误，不符合题意； ， ， ， ， ，故⑤正确，符合题意． 故答案为：①②⑤． 题型九 平行线的判定与性质的综合问题 答｜题｜模｜板 1. 理清“判定”与“性质”的逻辑链：从已知条件出发，若已知角相等/互补，先用判定定理推导出平行；若已知平行，再用性质定理推出角的关系，形成“角→平行→角”或“平行→角→平行”的推导路径。 2. 标记图形辅助分析：在图中标记已知角、相等角或互补角，明确平行线与截线的位置，快速定位关联的“三线八角”，避免混淆角与线的对应关系，减少推导错误。 【典例9】（23-24七年级下·山东潍坊）如图，D、E、F、G是边上的点，，． (1)试证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得：，从而利用同位角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）先利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳）如图，点E、F分别在线段、上，连接、、，过点F作分别交、于点H、G，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得，结合题意可得，即可得证； （2）根据平行线的性质并结合角平分线的定义计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙）如图1，直线分别交直线于两点，且． (1)求证：； (2)如图2，已知与的角平分线交于点．求的值； (3)在（2）的条件下，若，绕点以的速度顺时针方向旋转得到，当首次与射线重合时运动停止，在运动过程中（含始终位置），旋转时间为何值时的一边与直线平行． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12或18或30或48 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，结合图形分情况分析是解题关键． （1）根据题意及平行线的判定即可证明； （2）分别过点作，得出，再由平行线的性质及各角之间的关系求解即可； （3）分四种情况分析：①当时，②当时，③当时，④当时，结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ∴； （2）解：分别过点作， ∵， ∴， ，，分别平分与 ∵， ． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ①当时，，得； ②当时， ， ， ， ， ∴，得； ③当时， ∴， ∴， ∴，得， ④当时，同理得：，得 综上所述的一边与直线平行时或或或． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃武威）如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，，再根据角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·云南普洱）下列命题中，是真命题的是（    ） ①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②平方根是它本身的数只有0和1；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补；⑤垂线段最短． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，熟记点与坐标关系、平方根定义、平行公理、同旁内角和垂线段最短等知识是解决问题的关键． 根据初中数学知识，逐一分析各命题：①正确，坐标系中点与有序实数对一一对应；②错误，平方根是它本身的数只有0（1的平方根包括，不完全是本身）；③正确，平行公理；④错误，同旁内角互补需两直线平行；⑤正确，垂线段最短． 【详解】解： ① 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，正确； ② 平方根是它本身的数：0的平方根是0，1的平方根是（不完全是本身），故错误； ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确； ④ 同旁内角互补需两直线平行，否则不一定成立，错误； ⑤ 垂线段最短，正确。 综上所述，真命题有①、③、⑤， 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川南充）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．先由平行线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 4．（25-26八年级上·全国）说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了判定命题真假的方法，根据时，解答即可；掌握举反例是说明命题为假命题的方法是解题的关键． 【详解】解：当时，， 此时a的平方不是正数， 命题“a的平方是正数”是假命题； 故答案为：0 5．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定的条件是 填所有正确条件的序号 【答案】 【分析】本题考查了同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐一判定各条件，即可得以结果． 【详解】解：， 内错角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 同位角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件不符合题意； 综上，符合题意， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国）如图，在四边形纸片中，，将分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点E，点C，D都落在边上的F处，若四边形的面积是6，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识；由折叠可得，且的面积为，利用面积关系即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴； 由折叠知，，， ∴， ∴； ∵四边形的面积是6， ∴ ∴； ∵， ∴； 故答案为：4． 三、解答题 7．（23-24七年级下·贵州黔东南）完成下面推理过程： 如图，，可推得的理由如下： ∵（已知） ∴（______________________） ∴（______________________） ∵（______________________） ∴（______________________） ∴（______________________）． 【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；已知；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查直线平行的判定与性质，根据直线平行的判定定理与性质定理即可求解． 【详解】解：∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；已知；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 8．（25-26八年级上·安徽合肥）如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由角平分线得到，再根据即可证明全等； （2）由全等得到．再根据互余关系得到，则，则； （3）由平行得到，再由即可证明全等． 【详解】（1）证明：平分， ． 在和中， ， ． （2）证明：∵ ． ，， ，， ， ． ； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24七年级下·贵州毕节）如图，直线、被直线所截，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 2．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯）下列命题中，①两条直线被第三条直线所截，同位角相等：②从全校名学生中抽取名学生调查课外阅读情况，抽取的样本容量为：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直：④的平方根是．其中真命题的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了命题，根据平行线的性质、样本容量、垂线的性质、平方根，依次判断真假再统计个数即可． 【详解】解：若两条直线不平行，两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故①是假命题； 从全校名学生中抽取名学生调查课外阅读情况，抽取的样本容量为，故②是真命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③是真命题； 的平方根是，故④是真命题． 故真命题为个． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国）如图，已知，平分，平分，则下列结论中：①；②平分；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，根据平行线的性质可得，根据角平分线定义和平行线的性质可以得出，根据同位角相等，两直线平行可以得出，再根据平行线的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 根据已知不能得出， 即不能得出平分，故②错误； ∵， ∴，③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 即正确的有2个， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25八年级上·四川成都）举反例：当 时，可说明命题“对于任意实数”是假命题． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，二次根式的性质，找到一个能使得题设成立，但结论不成立的数即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25七年级上·江苏淮安）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ，故①符合题意； ， ，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④符合题意； 由，不能判定，故⑤不符合题意； 综上所述：能判定的有①③④， 故答案为：①③④． 6．（24-25七年级下·四川达州）如图，在中，，，，．P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与相交于点M．当时，若的面积为2，则重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的面积，平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由三角形的面积公式求出的长． 由折叠的性质得到，，，由平行线的性质推出，判定，由三角形的面积公式得到，求出，得到，因此的面积的面积，即可求出的面积． 【详解】解：由折叠的性质得到，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， ， ， 的面积的面积， 由折叠的性质得到得到面积的面积， 的面积． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级下·上海浦东新）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：①　　， 又， ∴， ②　　③　　． ∴④　　⑤　　． （已知）， ∴． ⑥　　． 【答案】①对顶角相等②③同位角相等，两直线平行④⑤两直线平行，同旁内角互补⑥内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：对顶角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）， 两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ， 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥内错角相等，两直线平行． 8．（23-24七年级下·浙江温州）如图，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角的计算，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，易得，结合已知条件，有，得到结果； （2）根据题意，有，结合已知条件，即可得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．（24-25七年级下·吉林）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，是直角三角形，，，操作发现： (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，此时发现与又存在新的数量关系，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质． （1）根据平角的定义，平行线的性质进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，平行线的性质以及对顶角相等进行计算即可； （3）根据三角形内角和定理及对顶角的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，过点B作，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即； （3）解：，理由如下： 由三角形内角和定理可得，，而， ∴． 10．（24-25七年级下·河北邯郸）（1）如图1，，点在，之间，连接，．易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小强：如图2，过点作． 小菲：如图3，延长AP交于点． 请你选择一位同学的方法进行证明． （2）如图4，，分别是射线，上一点，是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：． （3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与相交于点，与相交于点，若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）小强的方法：先证，根据平行线的性质得，，据此即可得出结论；小菲的方法：先由，得，再根据三角形的外角定理，得，据此即可得出结论； （2）先根据三角形的外角定理得，再根据，得，然后根据平行线的判定可得出结论； （3）设，则，进而可得，根据在（2）的条件下，，得，由此解出，设，则，再根据得，，进而得，然后根据在（2）的条件下，得，则，由此得，据此求出即可得到的度数． 【详解】（1）解：小强的证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 小菲的证明如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 即； （2）证明：∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， 设， ∴， ∴， 在（2）的条件下，知， ∴， ∴， 解得， ∴， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $