专题01 二元一次方程组（必备知识 10大题型 分层训练）（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题01 二元一次方程组（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程（组）的概念 能准确识别二元一次方程、方程组，判断一组数是否为其解 基础必考点，常以小题（选择/填空）形式出现，难度较低 代入消元法、加减消元法 熟练用两种方法解二元一次方程组，掌握消元的化归思想 高频基础题，小题/解答题均有涉及，是方程组应用的前提，易因计算失误丢分 二元一次方程组的实际应用 能从实际情境中抽象等量关系，列方程组求解并检验合理性 中考高频解答题，常结合“鸡兔同笼”“增收节支”等场景，难度中等 二元一次方程与一次函数的关系 理解方程与函数的联系，会用函数图象求方程组的解 综合考点，常与一次函数结合考查，多为小题或解答题的部分设问 用方程组确定一次函数表达式 掌握待定系数法，通过方程组求一次函数的k、b值 基础应用点，常出现在函数综合题中，难度中等 三元一次方程组（选学） 了解概念，会用消元法解简单的三元一次方程组 部分地区拓展考点，多为小题或附加题，难度略高 知识点01 二元一次方程与二元一次方程组的概念 二元一次方程：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程（形式：(ax + by = c)，(a、b≠0)）。 二元一次方程组：由2个（或多个）二元一次方程组成的方程组。 方程组的解：使方程组中所有方程都成立的未知数的值。 ·示例：方程3x - 2y = 7是二元一次方程；方程组是二元一次方程组；是该方程组的解。 ·易错点：1. 误判“次数”：如(x2 + y = 4)（未知数x的次数是2）不是二元一次方程。 2. 忽略“整式”：如+ y = 2)（含分式）不是二元一次方程。 3. 混淆“解”的概念：仅满足一个方程的数不是方程组的解（如仅满足x+y=5，不是上述方程组的解）。 知识点02 代入消元法解二元一次方程组 将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解（核心：“消元”）。 ·示例：解方程组 把①代入②得：3x + 2(2x - 3) = 8，解得x=2，再代入①得y=1，所以解为。 ·易错点： 1. 代入时漏乘系数：如错写为(3x + 2x - 3 = 8)（忽略2乘-3）。 2. 代回时选错方程：若代回错误方程，会得到错误结果。 知识点03 加减消元法解二元一次方程组 通过将方程组中两个方程相加/减，消去一个未知数（需使某一未知数的系数相等或互为相反数）。 ·示例：解方程组 ①+②得：7x = 21，解得x=3，代入①得y=，解为。 ·易错点：1. 符号错误：如消元时将“-3y”误算为“+3y”，导致2x+5x+3y+3y=21的错误。 2. 系数不相等/相反时盲目加减：如直接加减，需先将方程变形（如①×2得2x+4y=10）再消元。 知识点04 二元一次方程组的实际应用 从实际情境中抽象出2个等量关系，设2个未知数，列方程组求解，最后检验解的合理性。 ·示例：某商店买3支钢笔和2本笔记本花28元，买2支钢笔和3本笔记本花22元，求钢笔和笔记本的单价。 设钢笔x元/支，笔记本y元/本，列方程组：，解得，即钢笔8元，笔记本2元。 ·易错点： 1. 等量关系列反：如错写为2x + 3y = 28。 2. 忽略实际意义：如解为负数（如单价为负），未检验合理性。 知识点05 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程ax + by = c（b≠0）可变形为一次函数y = -x +。 - 二元一次方程组的解，是对应两个一次函数图象的交点坐标。 ·示例：方程x - y = 1对应函数y = x - 1，方程2x + y = 5对应函数y = -2x + 5，两函数图象交点(2,1)，即方程组的解。 ·易错点： 1. 混淆“方程的解”与“函数值”：误将交点的纵坐标当作方程组的解（如只取y=1）。 2. 图象法求解除错：读取交点坐标时横、纵坐标颠倒（如错写为(1,2）。 知识点06 用方程组确定一次函数表达式（待定系数法） 已知一次函数图象上2个点的坐标，设函数表达式y = kx + b，代入坐标列方程组，求解k、b。 ·示例：已知一次函数过(1,3)和(2,5)，设y = kx + b，列，解得，表达式为y = 2x + 1。 ·易错点：1. 代入坐标时横、纵坐标颠倒：如错写为。 2. 解方程组后漏写函数表达式：只求出k、b，未整理成y = kx + b的形式。 题型一 二元一次方程（组）的概念 解｜题｜技｜巧 1. 概念辨析技巧：抓住“两个未知数”和“含未知数项次数为1”核心，判断时先看未知数数量，再查最高次数，比如2x + y = 3符合，x² + y = 5`因x是2次则不符。 2. 方程组解题技巧：用“消元法”，代入消元适用于有未知数系数为1的方程（如y = 2x代入另一式），加减消元适合系数成倍数的情况（如两式x系数为2和-2，直接相加消x）。 【典例1】（24-25八年级上·江西抚州）下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·湖北武汉）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·云南德宏）关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25七年级下·西藏昌都）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 题型二 二元一次方程（组）的解 解｜题｜技｜巧 1. 检验解的技巧：将一组值代入方程（组），若使所有方程左右两边相等，则为解。比如检验(1,2)是否是{ x+y=3，2x-y=0 }的解，代入两式均成立，即为解。 2. 求特殊解技巧：若求正整数解，先将方程变形为用一个未知数表示另一个（如x=3-y），再根据正整数条件确定取值范围，筛选出符合的解。 【典例1】（24-25八年级上·广东清远）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·广东广州）下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）是方程的解，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·青海海北）已知是方程的解，则代数式 ． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃庆阳）如果是方程的一组解，那么代数式 ． 题型三 解二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 1. 代入消元法技巧：优先选系数为1或-1的未知数（如方程y = 2x - 1），直接代入另一方程，消去该未知数，转化为一元一次方程求解，避免复杂计算。 2. 加减消元法技巧：观察同一未知数系数，若成相反数（如2和-2）直接相加，若成倍数（如4和2）先扩倍再相减，快速消元，适合系数较整齐的方程组 【典例1】（24-25七年级下·湖北荆州）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江七台河）解方程组： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级下·重庆江北）解方程组： (1)； (2)． 【变式3】（25-26八年级上·全国）解下列方程组： (1) (2) 题型四 二元一次方程组-错解复原问题 解｜题｜技｜巧 1. 定位错误点技巧：先看错解代入哪个方程成立，成立的是未错用方程，不成立的是错用方程；再检查错用方程的步骤，重点看符号、系数运算、代入替换是否出错。 2. 复原正确解技巧：根据错误原因修正错用方程（如符号错则改符号），再联立原本正确的方程，用代入或加减消元法，计算出正确的未知数的值。 【典例1】（23-24七年级下·贵州遵义）下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解决问题． 解：由①得，③                                        第一步 将③代入②，得，                  第二步 解得．                                                             第三步 将代入③，得，                              第四步 ∴原方程组的解为 ．                                 第五步 (1)①以上求解过程中，小明用了___________消元法（填“代入”或“加减”）；②第___________步开始出现错误； (2)请用另一种消元法写出此题正确的解答过程． 【变式2】（24-25七年级下·河北廊坊）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得，③第一步 ，得，第二步 解得．第三步 将代入①，得，第四步 所以原方程组的解为第五步 任务： (1)第_____步开始出现错误． (2)写出正确的解方程组的过程． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁）仔细阅读下列内容，并回答问题： 用代入法解方程组有以下步骤： 第一步：由①，得③ 第二步：把③代入①，得 第三步：整理得 第四步：可取一切数，原方程组有无数个解． (1)选择：以上解法中，造成错误的一步是（   ） A．第一步            B．第二步            C．第三步            D．第四步 (2)用加减法解这个方程组． 题型五 二元一次方程组-同解问题 解｜题｜技｜巧 1. 核心思路技巧：同解方程组的解满足所有方程，先解其中较简单的方程组，得到一组解；再将这组解代入含参数的方程，转化为一元一次方程，求出参数值。 2. 参数处理技巧：若两组方程均含参数，先分别用参数表示出两组解，再根据“解相同”列等式，联立成关于参数的新方程组，求解参数后验证即可。 【典例1】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔）关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏连云港）如果方程组和的解相同，则 ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西宝鸡）已知关于、的二元一次方程组和的解相同，则的算术平方根的值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽）若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为 ． 题型六 二元一次方程组中特殊解法问题 解｜题｜技｜巧 1. 整体代入法技巧：当方程组中含重复代数式（如x+y或x-y），不单独求x、y，先把代数式当整体。例如方程组2(x+y) - 3x = 5和x+y = 4，直接将x+y=4代入第一式，快速解出x。 2. 设k法技巧：遇比例关系（如x:y=2:3），设x=2k、y=3k，代入方程消去x、y，先求k值，再回代得x、y，避免分数计算。 【典例1】（24-25七年级上·重庆）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州）若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡）运算能力  先阅读材料，再解方程组． 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 题型七 二元一次方程组的应用 解｜题｜技｜巧 1. 找等量关系技巧：从题干中圈关键信息，如“共”“比…多/少”“是…倍”，转化为等式。比如“总金额=单价×数量”“两数和为XX”，确保每个等量关系对应一个方程。 2. 设元技巧：优先设直接未知数（求什么设什么），若复杂则设间接未知数（如设“份数”）。设元后用含未知数的式子表示其他量，避免重复或遗漏。 【典例1】（24-25七年级上·甘肃兰州）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 【变式1】（24-25七年级下·新疆昌吉）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆州）为了促进全民健身运动，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则为：胜一场积a分，平一场积b分，负一场积0分，当比赛进行到轮（每队均需比赛场）结束时，已知甲队负7场，平2场，积分；乙队负7场，平1场，积分；丙队积分． (1)求a，b的值； (2)请通过计算，判断丙队胜、平、负场次的可能情况． (3)若丙队赞助商对丙队的奖励方案为：胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，那么，丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是多少？ 【变式3】（25-26八年级上·全国）情境素材绿动未来——追踪碳排放． 素材一：在对 A 市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车和10辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为，而5辆燃油车和6辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（如：杨树）每年大约吸收二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（如：冷杉）每年大约吸收二氧化碳． (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳分别是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为． ①求w 和a 之间的函数表达式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 题型八 二元一次方程组中新定义型问题 解｜题｜技｜巧 1. 解读新定义技巧：先抓住题干中“新符号/新规则”的核心（如“a⊗b=2a+b”），明确运算逻辑或对应关系，把抽象定义转化为具体等式，避免误解规则。 2. 构建方程组技巧：根据新定义列出含未知数的等式，若有多个条件则分别转化，联立成二元一次方程组。求解后可代入新定义验证，确保答案符合规则。 【典例1】（24-25七年级下·云南德宏）对于任意实数x，y，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·四川巴中）定义：已知三个互不相等的实数a，b，c，若满足任意两数之差的绝对值中有两个相等，则称a，b，c为“幸福三数组”； (1)以下三组数中为“幸福三数组”的有______； ①、1、2；②5、2、；③、3、； (2)实数a与二元一次方程组的解构成“幸福三数组”，求a的值． 【变式2】（24-25七年级下·福建龙岩）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”．例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【变式3】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位）【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 题型九 二元一次方程组与一次函数交点问题 解｜题｜技｜巧 1. 交点与方程组解的转化技巧：明确一次函数图像交点的横、纵坐标，就是对应二元一次方程组的解。若求两函数交点，直接将两个函数表达式联立，组成方程组求解即可。 2. 已知交点求参数技巧：若函数含参数且已知交点坐标，先将坐标代入对应函数表达式，得到关于参数的二元一次方程组，解出参数后，可画图或代入验证交点是否正确。 【典例1】（24-25八年级上·陕西西安）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 【变式1】（24-25八年级上·广东茂名）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【变式2】（24-25八年级下·四川南充）在同一平面直角坐系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组 的解为 ． 【变式3】（24-25八年级下·云南丽江）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的方程组的解为 ． 题型十 用二元一次方程组确定一次函数的表达式 解｜题｜技｜巧 1. 设表达式与找条件技巧：先设一次函数表达式为y = kx + b（k≠0），再从题干中找函数图像经过的两点坐标（x₁,y₁）、（x₂,y₂），或能转化为坐标的条件（如“当x=2时，y=5”）。 2. 列解方程组技巧：将两点坐标分别代入y = kx + b，得到关于k、b的二元一次方程组，用代入或加减消元法求解k、b，最后将k、b代入表达式即可，解后可代入原条件验证。 【典例1】（24-25八年级下·四川南充）如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江七台河）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴的交点为，点的坐标为，与轴的交点为． (1)直接写出点的坐标为______； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 【变式2】（23-24八年级下·云南西双版纳）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，， ①求出点、点的纵坐标用含字母的代数式表示； ②若线段长为，求的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·广西南宁）下列等式中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆）若关于的方程组和有相同的解，则的值是（ ） A．－1 B．1 C．－5 D．5 3．（23-24七年级下·甘肃武威）由得到用x表示y的式子为 ． 4．（24-25八年级上·内蒙古包头）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 5．（24-25八年级上·浙江杭州）解方程组： (1) (2) 6．（23-24八年级下·海南海口）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示．已知．请根据所提供的信息，解答下列问题： (1)求乙蜡烛燃烧时，与之间的函数关系式； (2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样（不考虑都燃尽时的情况）？ (3)甲蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·西藏昌都）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·江西南昌）已知关于x，y的方程组，其中，下列命题正确的个数为（　　　） ①不论a为何值时，x、y的值不可能互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则；⑤若用x表示y，则． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 3．（24-25七年级下·甘肃武威）已知与互为相反数，则 ． 4．（24-25八年级下·吉林）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．若一次函数的“不动点”为，则 ； ． 三、解答题 5．（24-25八年级下·重庆秀山）“每日一杯纯牛奶”已成为人们健康生活的新常态，因而市场上对牛奶的需求也越发增大．某乳品公司每月均需通过某快递公司向A县输送一批牛奶，该快递公司给了三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取元管理费用，再每千克运费元； 方案三：每月收取元包干，不限运输重量； 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为元，选择方案二时，运费为元，选择方案三时，运费为元． (1)请直接写出，，与x之间的关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标； (3)直接写出如何选择方案更合算． 6．（24-25八年级下·湖北鄂州）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程组（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程（组）的概念 能准确识别二元一次方程、方程组，判断一组数是否为其解 基础必考点，常以小题（选择/填空）形式出现，难度较低 代入消元法、加减消元法 熟练用两种方法解二元一次方程组，掌握消元的化归思想 高频基础题，小题/解答题均有涉及，是方程组应用的前提，易因计算失误丢分 二元一次方程组的实际应用 能从实际情境中抽象等量关系，列方程组求解并检验合理性 中考高频解答题，常结合“鸡兔同笼”“增收节支”等场景，难度中等 二元一次方程与一次函数的关系 理解方程与函数的联系，会用函数图象求方程组的解 综合考点，常与一次函数结合考查，多为小题或解答题的部分设问 用方程组确定一次函数表达式 掌握待定系数法，通过方程组求一次函数的k、b值 基础应用点，常出现在函数综合题中，难度中等 三元一次方程组（选学） 了解概念，会用消元法解简单的三元一次方程组 部分地区拓展考点，多为小题或附加题，难度略高 知识点01 二元一次方程与二元一次方程组的概念 二元一次方程：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程（形式：(ax + by = c)，(a、b≠0)）。 二元一次方程组：由2个（或多个）二元一次方程组成的方程组。 方程组的解：使方程组中所有方程都成立的未知数的值。 ·示例：方程3x - 2y = 7是二元一次方程；方程组是二元一次方程组；是该方程组的解。 ·易错点：1. 误判“次数”：如(x2 + y = 4)（未知数x的次数是2）不是二元一次方程。 2. 忽略“整式”：如+ y = 2)（含分式）不是二元一次方程。 3. 混淆“解”的概念：仅满足一个方程的数不是方程组的解（如仅满足x+y=5，不是上述方程组的解）。 知识点02 代入消元法解二元一次方程组 将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解（核心：“消元”）。 ·示例：解方程组 把①代入②得：3x + 2(2x - 3) = 8，解得x=2，再代入①得y=1，所以解为。 ·易错点： 1. 代入时漏乘系数：如错写为(3x + 2x - 3 = 8)（忽略2乘-3）。 2. 代回时选错方程：若代回错误方程，会得到错误结果。 知识点03 加减消元法解二元一次方程组 通过将方程组中两个方程相加/减，消去一个未知数（需使某一未知数的系数相等或互为相反数）。 ·示例：解方程组 ①+②得：7x = 21，解得x=3，代入①得y=，解为。 ·易错点：1. 符号错误：如消元时将“-3y”误算为“+3y”，导致2x+5x+3y+3y=21的错误。 2. 系数不相等/相反时盲目加减：如直接加减，需先将方程变形（如①×2得2x+4y=10）再消元。 知识点04 二元一次方程组的实际应用 从实际情境中抽象出2个等量关系，设2个未知数，列方程组求解，最后检验解的合理性。 ·示例：某商店买3支钢笔和2本笔记本花28元，买2支钢笔和3本笔记本花22元，求钢笔和笔记本的单价。 设钢笔x元/支，笔记本y元/本，列方程组：，解得，即钢笔8元，笔记本2元。 ·易错点： 1. 等量关系列反：如错写为2x + 3y = 28。 2. 忽略实际意义：如解为负数（如单价为负），未检验合理性。 知识点05 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程ax + by = c（b≠0）可变形为一次函数y = -x +。 - 二元一次方程组的解，是对应两个一次函数图象的交点坐标。 ·示例：方程x - y = 1对应函数y = x - 1，方程2x + y = 5对应函数y = -2x + 5，两函数图象交点(2,1)，即方程组的解。 ·易错点： 1. 混淆“方程的解”与“函数值”：误将交点的纵坐标当作方程组的解（如只取y=1）。 2. 图象法求解除错：读取交点坐标时横、纵坐标颠倒（如错写为(1,2）。 知识点06 用方程组确定一次函数表达式（待定系数法） 已知一次函数图象上2个点的坐标，设函数表达式y = kx + b，代入坐标列方程组，求解k、b。 ·示例：已知一次函数过(1,3)和(2,5)，设y = kx + b，列，解得，表达式为y = 2x + 1。 ·易错点：1. 代入坐标时横、纵坐标颠倒：如错写为。 2. 解方程组后漏写函数表达式：只求出k、b，未整理成y = kx + b的形式。 题型一 二元一次方程（组）的概念 解｜题｜技｜巧 1. 概念辨析技巧：抓住“两个未知数”和“含未知数项次数为1”核心，判断时先看未知数数量，再查最高次数，比如2x + y = 3符合，x² + y = 5`因x是2次则不符。 2. 方程组解题技巧：用“消元法”，代入消元适用于有未知数系数为1的方程（如y = 2x代入另一式），加减消元适合系数成倍数的情况（如两式x系数为2和-2，直接相加消x）。 【典例1】（24-25八年级上·江西抚州）下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据含有两个未知数且未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程的次数是2，故此选项不符合题意； B．该方程是二元一次方程，故此选项符合题意； C．该方程是分式方程，故此选项不符合题意； D．该方程的次数是2，故此选项不符合题意． 故选：B． 【典例2】（24-25七年级下·湖北武汉）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的识别，解题关键是理解二元一次方程组的定义． 根据二元一次方程组的定义，判断四个方程组，再作出选择． 【详解】解：A. 满足二元一次方程组的定义，它是二元一次方程组； B. 中，方程含分式，不是整式方程，它不是二元一次方程组； C. 中，含三个未知数、、，它不是二元一次方程组； D. 中，方程含二次项，不是一次方程，它不是二元一次方程组， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·云南德宏）关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·西藏昌都）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成． 【详解】解：，是二元一次方程组， 方程含分式，未知数出现在分母中，次数为，不是一次方程， 中，方程含第三个未知数，导致方程组含三个未知数，不符合条件， ，方程中，项次数为2，不是一次方程， 符合条件的有第一个和第三个方程组，共2个， 故选：A． 题型二 二元一次方程（组）的解 解｜题｜技｜巧 1. 检验解的技巧：将一组值代入方程（组），若使所有方程左右两边相等，则为解。比如检验(1,2)是否是{ x+y=3，2x-y=0 }的解，代入两式均成立，即为解。 2. 求特殊解技巧：若求正整数解，先将方程变形为用一个未知数表示另一个（如x=3-y），再根据正整数条件确定取值范围，筛选出符合的解。 【典例1】（24-25八年级上·广东清远）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把各项中与的值代入方程检验即可． 【详解】解：A.将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； B. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； C. 将代入得，，该选项是方程的解，符合题意； D. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； 故选：C． 【典例2】（24-25七年级下·广东广州）下列各组值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把每个选项的解分别代入方程组进行判断即可． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，左边≠右边，故选项A不是方程组的解； B．把代入方程，左边，右边，左边≠右边；把代入方程，左边，左边=右边，故选项B不是方程组的解； C．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入方程，左边，右边，左边≠右边，故选项C不是方程组的解； D．把代入方程，左边，右边，左边=右边；把代入，左边，右边，左边=右边，故选项D是方程组的解． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于a的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【变式2】（24-25七年级下·青海海北）已知是方程的解，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，由二元一次方程的解的定义可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃庆阳）如果是方程的一组解，那么代数式 ． 【答案】2031 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据二元一次方程的解的定义把代入方程中得到，再将要求的式子变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：把代入方程中，得， ， 故答案为：2031 ． 题型三 解二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 1. 代入消元法技巧：优先选系数为1或-1的未知数（如方程y = 2x - 1），直接代入另一方程，消去该未知数，转化为一元一次方程求解，避免复杂计算。 2. 加减消元法技巧：观察同一未知数系数，若成相反数（如2和-2）直接相加，若成倍数（如4和2）先扩倍再相减，快速消元，适合系数较整齐的方程组 【典例1】（24-25七年级下·湖北荆州）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 所以原方程组的解是； （2）解：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以原方程组的解是． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江七台河）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键； （1）利用加减消元法进行计算，即可解答； （2）利用加减消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①得：③， ②③得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， ①得：③， ②得：④， ④③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【变式2】（24-25七年级下·重庆江北）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）， 整理得， ，得， 解得， 把代入②，得， 所以原方程组的解是． 【变式3】（25-26八年级上·全国）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）求出，再将代入求出即可； （2）求出，再将代入求出即可． 【详解】（1）， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴； （2）， 整理得， 得， 解得， 将代入得 解得 ∴ 题型四 二元一次方程组-错解复原问题 解｜题｜技｜巧 1. 定位错误点技巧：先看错解代入哪个方程成立，成立的是未错用方程，不成立的是错用方程；再检查错用方程的步骤，重点看符号、系数运算、代入替换是否出错。 2. 复原正确解技巧：根据错误原因修正错用方程（如符号错则改符号），再联立原本正确的方程，用代入或加减消元法，计算出正确的未知数的值。 【典例1】（23-24七年级下·贵州遵义）下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法；加减消元法 (2)浩浩；，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可； （2）浩浩的做法中，由①2得③，错了．由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可． 【详解】（1）解：芊芊的消元方法是代入消元法；浩浩的消元方法是加减消元法． 故答案为：代入消元法，加减消元法． （2）解：浩浩. 正确解答如下： 由①2得③． 由②③得． 解得． 把代入①得． 方程组的解为． 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解决问题． 解：由①得，③                                        第一步 将③代入②，得，                  第二步 解得．                                                             第三步 将代入③，得，                              第四步 ∴原方程组的解为 ．                                 第五步 (1)①以上求解过程中，小明用了___________消元法（填“代入”或“加减”）；②第___________步开始出现错误； (2)请用另一种消元法写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)①代入,②三 (2) 【分析】本题考查了用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组，掌握两种消元方法是解题的关键． （1）①由解题的第一步可确定消元的方法；②分别对各步进行检查，即可确定错误所在； （2）方程①乘3，再减去方程②，消去y，求得x的值，再求出y的值即可． 【详解】（1）解：①由第一步知，是用代入消元法解二元一次方程组； 故答案为：代入； ②第一步变形正确；第二步代入正确；第三步解方程错误，正确的解应是，导致后面两步都错误； 故答案为：三； （2）解：得：， 解得：； 把代入方程①中，得， 解得：； ∴方程组的解为：． 【变式2】（24-25七年级下·河北廊坊）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得，③第一步 ，得，第二步 解得．第三步 将代入①，得，第四步 所以原方程组的解为第五步 任务： (1)第_____步开始出现错误． (2)写出正确的解方程组的过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的基本解题过程进行判断即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：第一步开始出现错误； （2），得③ ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁）仔细阅读下列内容，并回答问题： 用代入法解方程组有以下步骤： 第一步：由①，得③ 第二步：把③代入①，得 第三步：整理得 第四步：可取一切数，原方程组有无数个解． (1)选择：以上解法中，造成错误的一步是（   ） A．第一步            B．第二步            C．第三步            D．第四步 (2)用加减法解这个方程组． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （）根据变形后的方程代入方程组的另一个方程，即可得出选项； （）得出，求出，再把代入求出即可． 【详解】（1）解：∵③是由①变形得来， ∴不能将③代入①，应将③代入， ∴第二步出现错误． 故选：B． （2）解： ，得， 解得：，代入， 解得：， 所以方程组的解是． 题型五 二元一次方程组-同解问题 解｜题｜技｜巧 1. 核心思路技巧：同解方程组的解满足所有方程，先解其中较简单的方程组，得到一组解；再将这组解代入含参数的方程，转化为一元一次方程，求出参数值。 2. 参数处理技巧：若两组方程均含参数，先分别用参数表示出两组解，再根据“解相同”列等式，联立成关于参数的新方程组，求解参数后验证即可。 【典例1】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔）关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，代数式求值，关于，的方程组与有相同的解，则，解得：，然后代入得，求出，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与有相同的解， ∴与有相同的解， 由，解得：， 把代入得， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏连云港）如果方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，根据题意可先组合得到解后再代入两外两个方程求出，进而求解即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得 ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·陕西宝鸡）已知关于、的二元一次方程组和的解相同，则的算术平方根的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组，求解算术平方根，由题意可得，再解方程组可得，再代入另外两个方程求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， ②①得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴，即， ∴， ∴的算术平方根的值为； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽）若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：联立， 解得， 将代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：0． 题型六 二元一次方程组中特殊解法问题 解｜题｜技｜巧 1. 整体代入法技巧：当方程组中含重复代数式（如x+y或x-y），不单独求x、y，先把代数式当整体。例如方程组2(x+y) - 3x = 5和x+y = 4，直接将x+y=4代入第一式，快速解出x。 2. 设k法技巧：遇比例关系（如x:y=2:3），设x=2k、y=3k，代入方程消去x、y，先求k值，再回代得x、y，避免分数计算。 【典例1】（24-25七年级上·重庆）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】整理第一个方程组可得，；整理第二个方程组可得，把代入可得y的值． 本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴，； ， 得，， ∴， ∴， ∴， 把代入③得，， ∴， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州）若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 将方程组化为，根据题意得出，即可求出此方程组的解． 【详解】解：方程组可化为， 方程组的解为， ， ， 即方程组的解为， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡）运算能力  先阅读材料，再解方程组． 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可． 【详解】解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据例题过程，利用加减消元法求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 得：， 解得：， 将代入③得：， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）， ，得，即③，                 ，得④，                     ，得，解得，                     把代入③，得，                     ． 题型七 二元一次方程组的应用 解｜题｜技｜巧 1. 找等量关系技巧：从题干中圈关键信息，如“共”“比…多/少”“是…倍”，转化为等式。比如“总金额=单价×数量”“两数和为XX”，确保每个等量关系对应一个方程。 2. 设元技巧：优先设直接未知数（求什么设什么），若复杂则设间接未知数（如设“份数”）。设元后用含未知数的式子表示其他量，避免重复或遗漏。 【典例1】（24-25七年级上·甘肃兰州）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题． 【答案】有人，物价为钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，物价为钱，根据题意，可列方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设有人，物价为钱， 由题意可得，， 解得， 答：有人，物价为钱． 【变式1】（24-25七年级下·新疆昌吉）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆州）为了促进全民健身运动，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则为：胜一场积a分，平一场积b分，负一场积0分，当比赛进行到轮（每队均需比赛场）结束时，已知甲队负7场，平2场，积分；乙队负7场，平1场，积分；丙队积分． (1)求a，b的值； (2)请通过计算，判断丙队胜、平、负场次的可能情况． (3)若丙队赞助商对丙队的奖励方案为：胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，那么，丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是多少？ 【答案】(1)a的值为3，b的值为1 (2)丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场 (3)元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系列出方程组，需要注意自变量的取值范围，考虑多种情况． （1）根据题意可列出方程组，然后即可求解； （2）设丙队胜x场，平y场，则负场场，再根据x，y，都为非负整数，然后即可求解； （3）由（2）得丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场，再根据胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，然后分别列式即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得； ∴a的值为3，b的值为1； （2）解：设丙队胜x场，平y场，则负场； ∴； ∵x，y，都为非负整数， ∴或或； ∴丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场； （3）解：丙队胜6场，平1场，负5场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； 丙队胜5场，平4场，负3场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； 丙队胜4场，平7场，负1场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； ∴， ∴丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是元． 【变式3】（25-26八年级上·全国）情境素材绿动未来——追踪碳排放． 素材一：在对 A 市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车和10辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为，而5辆燃油车和6辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（如：杨树）每年大约吸收二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（如：冷杉）每年大约吸收二氧化碳． (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳分别是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为． ①求w 和a 之间的函数表达式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是 (2)①；②购买杨树30棵，冷杉70棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用. （1）设一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是，根据题意列方程组求解即可； （2）①设购买杨树a棵，则购买针叶树棵，进而根据题意列函数解析式即可； ②根据一次函数的增减性可知w 随a 的增大而增大，进而可知当时，w取最大值，进而计算即可. 【详解】（1）解：设一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是． 由题意，得 ， 解得 ， 所以一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是； （2）解：①由题意，得． ②由①得． 由题意，得． 又， 所以w 随a 的增大而增大． 所以当时，w取最大值，且最大值为， 此时． 所以当购买杨树30棵，冷杉70棵时，这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 题型八 二元一次方程组中新定义型问题 解｜题｜技｜巧 1. 解读新定义技巧：先抓住题干中“新符号/新规则”的核心（如“a⊗b=2a+b”），明确运算逻辑或对应关系，把抽象定义转化为具体等式，避免误解规则。 2. 构建方程组技巧：根据新定义列出含未知数的等式，若有多个条件则分别转化，联立成二元一次方程组。求解后可代入新定义验证，确保答案符合规则。 【典例1】（24-25七年级下·云南德宏）对于任意实数x，y，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组、实数的新定义的运算，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义列式，计算即可得； （2）根据新运算的定义可得一个关于x，y的二元一次方程组，将两个方程相减即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ①， ②， ，得， ． 【变式1】（24-25七年级下·四川巴中）定义：已知三个互不相等的实数a，b，c，若满足任意两数之差的绝对值中有两个相等，则称a，b，c为“幸福三数组”； (1)以下三组数中为“幸福三数组”的有______； ①、1、2；②5、2、；③、3、； (2)实数a与二元一次方程组的解构成“幸福三数组”，求a的值． 【答案】(1)②③ (2)0或3或6 【分析】本题考查了绝对值、二元一次方程组的应用等知识，正确理解“幸福三数组”的定义是解题关键． （1）根据“幸福三数组”的定义列式，计算绝对值，逐个判断即可得； （2）先利用加减消元法求出，再根据“幸福三数组”的定义分类列出式子计算即可得． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴这组数不是“幸福三数组”； ②∵，，， ∴这组数是“幸福三数组”； ③，，， ∴这组数是“幸福三数组”； 故答案为：②③． （2）解：， 将第一个方程与第二个方程相加得：，解得， 将代入第一个方程得：，解得， ∵实数与二元一次方程组的解构成“幸福三数组”， ∴或或，且，， 解得（舍去）或或或（舍去）或， 综上，的值为0或3或6． 【变式2】（24-25七年级下·福建龙岩）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”．例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3)2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识，正确理解交换系数方程的定义是解题关键． （1）根据交换系数方程的定义建立方程组，利用加减消元法解方程组即可得； （2）根据交换系数方程的定义建立方程组，解方程组求出的值，再代入方程可得，，据此计算即可得； （3）根据交换系数方程的定义求出方程的交换系数方程，再分两种情况讨论，对比方程的各系数，解方程组求出，然后根据为整数求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方程的交换系数方程为或， 则组成的方程组为或， 解得或． （2）解：方程与它的交换系数方程组成的方程组为①或②， 则方程组①的解为，当时，方程组①的解为， 方程组②的解为，当时，方程组②的解为， 由题意可知，恰好是关于的二元一次方程的一个解， 将代入得：， 所以，， 则 ． （3）解：方程的交换系数方程为或， ①当方程的交换系数方程为时， ∵是关于的二元一次方程的交换系数方程， ∴各系数与各系数相等， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为整数， ∴，即， ∴； ②当方程的交换系数方程为时， ∵是关于的二元一次方程的交换系数方程， ∴各系数与各系数相等， ∴， 解得，不是整数，不符合题意，舍去； 综上，的值为2． 【变式3】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位）【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 【答案】（1）；（2），；（4）① ，② 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行作答即可； （2）根据新定义，得到，进行求解即可； （4）仿照（3）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）方程的“对称二元一次方程”是； 故答案为：； （2）由题意，得：， 解得：； （4）①， ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； ② ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； 题型九 二元一次方程组与一次函数交点问题 解｜题｜技｜巧 1. 交点与方程组解的转化技巧：明确一次函数图像交点的横、纵坐标，就是对应二元一次方程组的解。若求两函数交点，直接将两个函数表达式联立，组成方程组求解即可。 2. 已知交点求参数技巧：若函数含参数且已知交点坐标，先将坐标代入对应函数表达式，得到关于参数的二元一次方程组，解出参数后，可画图或代入验证交点是否正确。 【典例1】（24-25八年级上·陕西西安）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴一次函数与的交点P的坐标是． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·广东茂名）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·四川南充）在同一平面直角坐系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握函数图象交点的坐标是对应方程组的解．将点代入直线上，求出m的值，再代入求出b的值，再利用加减消元法求出二元一次方程组的解即可． 【详解】解：直线过点， ， ，且过， ， ， 方程组为， 得：， 解得：， 将代入②，解得： 方程组的解为， 故答案为： 【变式3】（24-25八年级下·云南丽江）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握函数图象法是解题关键．结合函数图象，根据两个一次函数的交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与的交点坐标为， 所以关于的方程组的解是， 故答案为：． 题型十 用二元一次方程组确定一次函数的表达式 解｜题｜技｜巧 1. 设表达式与找条件技巧：先设一次函数表达式为y = kx + b（k≠0），再从题干中找函数图像经过的两点坐标（x₁,y₁）、（x₂,y₂），或能转化为坐标的条件（如“当x=2时，y=5”）。 2. 列解方程组技巧：将两点坐标分别代入y = kx + b，得到关于k、b的二元一次方程组，用代入或加减消元法求解k、b，最后将k、b代入表达式即可，解后可代入原条件验证。 【典例1】（24-25八年级下·四川南充）如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式； （1）先求得，把，代入，再建立方程组求解即可； （2）先求得点坐标为，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：把代入得， ∴点坐标为， ∴的面积． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江七台河）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴的交点为，点的坐标为，与轴的交点为． (1)直接写出点的坐标为______； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，由正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则，求出后即可判断得解； （）依据题意，把点，代入，则，解得，进而得解； （）依据题意，把代入，则，进而可得，从而可以计算得解． 【详解】（1）解：由题意，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：把点，代入， ∴，解得， ∴； （3）解：依题意，把代入， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【变式2】（23-24八年级下·云南西双版纳）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、轴对称求最短路径以及三角形面积的相关计算，熟练掌握待定系数法、轴对称的性质和三角形面积公式是解题的关键． （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，将已知点、的坐标代入求解． （2）根据轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，其长度即为的最小值，再用勾股定理计算． （3）由，得出，设，分两种情况讨论：当点在左侧时，当点在左侧时，结合图形讨论即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式为 ∵直线过点， ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时最小，最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为； （3）解：存在， ，， ， ， ， 设， 当点在左侧时，如图1所示： ， 解得：，或（舍去）， ， ； 当点在右侧时，如图2所示： ， 解得：或（舍去）， ， ， 综上可得：或； 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，， ①求出点、点的纵坐标用含字母的代数式表示； ②若线段长为，求的值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)①点的纵坐标为；点的纵坐标为 ；②或 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值和待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先把点坐标代入直线解析式中求出点的坐标，再把点的坐标代入直线解析式中即可求出的值； （2）①令，分别求出即可得到答案；②根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：点在直线：上， ； 点在直线：上， ， ． 的值为，的值为； （2）解：由（1）知直线：， 又直线与直线，分别交于点，， 当时， 点的纵坐标为； 点的纵坐标为． 当 ， ， 即或， 所以或． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·广西南宁）下列等式中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 【详解】解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意； B、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆）若关于的方程组和有相同的解，则的值是（ ） A．－1 B．1 C．－5 D．5 【答案】A 【分析】由题意可知方程组和有相同的解，由可得，代入可得a，b的值，即可求的值． 【详解】解：根据题意，则， 由得：，解得：， 把代入①得：， 解得：； 把代入，则， 解得：， ， 故选：A． 3．（23-24七年级下·甘肃武威）由得到用x表示y的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将x看作已知数，移项、系数化为，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·内蒙古包头）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数求值等，解题的关键是掌握二元一次方程的解的定义． 根据二元一次方程的解表示出，通过变形代入求值即可． 【详解】解：将代入得，， ∴， 即，代入得， ， 故答案为：2． 5．（24-25八年级上·浙江杭州）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入法进行求解； （1）利用加减消元法进行求解； （2）利用加减消元法进行求解． 【详解】（1）解：方程组整理得： 得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 6．（23-24八年级下·海南海口）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示．已知．请根据所提供的信息，解答下列问题： (1)求乙蜡烛燃烧时，与之间的函数关系式； (2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样（不考虑都燃尽时的情况）？ (3)甲蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（待定系数法求解析式、函数交点、函数值差的问题），熟练掌握一次函数的图象与性质及方程思想的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法，根据乙蜡烛图象经过的两个点的坐标，设出一次函数解析式，代入求解． （2）联立甲、乙蜡烛的函数关系式，求解方程得到燃烧时间． （3）分两种情况讨论，即甲蜡烛剩余高度比乙蜡烛高和乙蜡烛剩余高度比甲蜡烛高，分别列方程求解． 【详解】（1）解：设乙蜡烛的函数关系式为：． ∵ 乙蜡烛图象过和， ∴ ， 解得， ∴． （2）解：联立，得， ， ， ∴燃烧时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样； （3）解：分两种情况： 情况一：，即， ， ， ； 情况二：，即， ， ， ． ∴甲蜡烛燃烧或时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·西藏昌都）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． 2．（24-25八年级下·江西南昌）已知关于x，y的方程组，其中，下列命题正确的个数为（　　　） ①不论a为何值时，x、y的值不可能互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则；⑤若用x表示y，则． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键． ①先求出方程组的解，，据此判断即可； ②代入，求出a的值，再根据判断即可； ③把代入方程组的解解答即可； ④根据和求出，再求出的范围即可； ⑤根据方程组的解解答即可． 【详解】解：， ①②，得， 解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为， ∵， ∴不论a为何值时，x、y的值不可能互为相反数， 故①正确； 把代入，得， 解得：， ∵， ∴此时符合， 故②正确； ③当时，满足 当时，解为，则， 故③正确； ④时，， 即， ∴， ∴， ∴， 故④正确； ⑤∵， ∴， ∴， ∴若用x表示y，则 故⑤正确； 命题正确的个数为5个． 故选：A． 二、填空题 3．（24-25七年级下·甘肃武威）已知与互为相反数，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查相反数的性质，绝对值与平方的非负性，解二元一次方程组． 根据相反数的性质得到两个式子的和为零，再根据平方和绝对值的非负性，列出方程组，求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． ∴，， 即， 解得， ∴． 故答案为：8． 4．（24-25八年级下·吉林）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．若一次函数的“不动点”为，则 ； ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的性质，理解“不动点”的定义是解题的关键． 由定义可知一次函数的“不动点”为，，再将点代入即可求出m的值． 【详解】解：一次函数的“不动点”为， ， ， 一次函数的“不动点”为， ， 解得： ． 故答案为：，3． 三、解答题 5．（24-25八年级下·重庆秀山）“每日一杯纯牛奶”已成为人们健康生活的新常态，因而市场上对牛奶的需求也越发增大．某乳品公司每月均需通过某快递公司向A县输送一批牛奶，该快递公司给了三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取元管理费用，再每千克运费元； 方案三：每月收取元包干，不限运输重量； 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为元，选择方案二时，运费为元，选择方案三时，运费为元． (1)请直接写出，，与x之间的关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标； (3)直接写出如何选择方案更合算． 【答案】(1)；；； (2)，， (3)当时，采用方案一更合算；当时，费用方案一，二费用一样；当时，采用方案二更合算；当时，方案二，三费用一样，当时，采用方案三更合算． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意可得，，与x之间的关系式； （2）根据（1）的结论列方程可得点C，D，E的坐标； （3）根据（2）所求的点C，D，E的坐标，结合图象可得结论． 【详解】（1）解：由题意得；；； （2）解：∵点C为与的交点， ∴ 解得， ， ∴点C的坐标为； ∵点D为与的交点， ∴ 解得， ∴点D的坐标为； ∵点E为与的交点， ∴ 解得， ∴点E的坐标为； （3）解：由图象可知，当时，采用方案一更合算；当时，费用方案一和方案二费用一样；当时，采用方案二更合算；当时，方案二和方案三费用一样，当时，采用方案三更合算． 6．（24-25八年级下·湖北鄂州）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，．由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可． （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $