精品解析：江苏苏州市虎丘区苏州工业园区星汇学校2025-2026学年七年级下学期 数学第3周练习

星汇学校初一数学第3周测试 一、选择题 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子是完全平方式的是（　　） A. a2+2ab﹣b2 B. a2+2a+1 C. a2+ab+b2 D. a2+2a﹣1 3. 下列各式不能用平方差公式计算的是(　　) A. B. C. D. 4. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 5. 已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，代数式的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影的面积分别为11与32，则正方形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 规定；形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，，称为“共轭系数”．若关于，的二元一次方程组为“共轭方程组”，则此“共轭方程组”的解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 计算：_____ ． 10. 如与的乘积中不含的一次项，则的值为______． 11. 如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是__________． 12. 若一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是____． 13. 若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值等于______． 14. 方程的非负整数解有_____个. 15. 若，则代数式的值为________． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 解方程组： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. （1），求m的值； （2）若，，求的值． 21. 观察下列算式，完成问题： 算式①：， 算式②：， 算式③：， 算式④：， （1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤： ． （2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别记为和（k为整数），请证明上述命题成立． 22. 解方程组时，甲看错了，结果解得，乙看错了，解得，求方程组的正确解． 23. 如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） （1）求长方形游泳池面积； （2）求休息区面积； （3）比较休息区与游泳池面积的大小关系． 24. 将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． （1）观察与发现：请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式为 ； （2）运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； （3）实践与拓展：将两个正方形、按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106，，求图中阴影部分面积和． 25. 【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 【解决问题】 （1）数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 （2）已知，则　 　； （3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值； 【拓展结论】 （4）已知、满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 星汇学校初一数学第3周测试 一、选择题 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该项正确，符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：A． 2. 下列式子是完全平方式的是（　　） A. a2+2ab﹣b2 B. a2+2a+1 C. a2+ab+b2 D. a2+2a﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：下列式子是完全平方式的是a2+2a+1=（a+1）2， 故选B． 【点睛】此题考查了完全平方式：(a+b)²=a²+2ab+b²，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 下列各式不能用平方差公式计算的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征，两个二项式相乘时，有一项完全相同，另一项互为相反数，才可以用平方差公式计算，据此逐项判断即可． 【详解】解：对选项A，中，相同，与互为相反数，符合条件，可以用平方差公式计算，不符合题意． 对选项B，，相同，与互为相反数，符合条件，可以用平方差公式计算，不符合题意． 对选项C，，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 对选项D，，相同，与互为相反数，符合条件，可以用平方差公式计算，不符合题意． 4. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：B． 5. 已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方计算，根据幂的乘方法则:底数不变，指数相乘，（m，n是正整数）分别计算得出即可． 【详解】解：，，， ，即， 故选：C． 6. 已知，代数式的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得到，，再把整体代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，掌握运算法则和具有整体代入思想是解题关键． 7. 有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影的面积分别为11与32，则正方形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图1，图2中阴影部分的面积，整体代入即可得出，即正方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图1得：， 由图2得：，即， ∴， 故选：C． 8. 规定；形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，，称为“共轭系数”．若关于，的二元一次方程组为“共轭方程组”，则此“共轭方程组”的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据“共轭方程组”的定义，确定共轭系数和，再解方程组即可．熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵为“共轭方程组”， ∴， 解得：， ∴原方程组化为：， 解得：， 故选B． 二、填空题 9. 计算：_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，把原式变形为，进一步根据积的乘方的逆运算得到，据此求解即可． 【详解】解： ． 10. 如与的乘积中不含的一次项，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．先根据多项式乘多项式法则计算与的乘积，然后根据它们的乘积中不含的一次项，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 与的乘积中不含的一次项， ， 解得：， 故答案为：． 11. 如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式．符合形式的式子叫完全平方式，要明确，常数项是一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ， ， 故答案为：． 12. 若一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．设这个正方形的边长为，得到变化后的边长为，由面积之间的关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个正方形的边长为，则变化后的边长为，由题意得， ， 解得， 即这个正方形的边长为， 故答案为：4． 13. 若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，利用二元一次方程组的定义求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：由题意得：， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 方程的非负整数解有_____个. 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式组等知识，解题的关键是根据题意列出不等式组．由题意可列出不等式组，从而求出该方程的非负整数解． 【详解】解：对于方程，可得， 由题意可知，， 解得 ， ∵是非负整数， ∴，1，2，3，4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∵也是非负整数， ∴方程的非负整数解有，，， 合计3个． 故答案为：3． 15. 若，则代数式的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查的是因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式因式分解是解决此题的关键． 将因式分解变形为，然后代入求值即可． 【详解】解： ∵， 将代入，得 原式 故答案为：0． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据杨辉三角的规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴展开式中含项的系数是． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】运用加减消元法分别解方程组即可． 【小问1详解】 解：， ，得，解得， 把，代入②，得， 整理，得， 解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程组变为， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式， 首先计算完全平方公式和平方差公式，然后计算加减，然后代数求解即可． 【详解】 当，时，原式． 20. （1），求m的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方运算和逆运算，有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方运算将化为，再根据同底数幂的乘法运算得到，解方程即可； （2）根据同底数幂的除法法则将化为，再根据幂的乘方逆运算化为，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∴， 解得：； （2）解： ． 21. 观察下列算式，完成问题： 算式①：， 算式②：， 算式③：， 算式④：， （1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤： ． （2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别记为和（k为整数），请证明上述命题成立． 【答案】（1） （2） 证明：根据题意，可列： ， ， ∵为整数， ∴为奇数， ∴是4的奇数倍， ∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出算式⑤，即可； （2）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后进行因式分解，即可得证． 【小问1详解】 根据算式规律得算式⑤为：； 【小问2详解】 略 22. 解方程组时，甲看错了，结果解得，乙看错了，解得，求方程组的正确解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组的方法，需要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．首先根据甲看错了，求出的值是多少，然后根据乙看错了，求出的值是多少；最后应用加减消元法，求出方程组的正确解即可． 【详解】解：根据题意，可得 ， 解得：， ， 解得：； ，可得： ， 把代入，解得：， ∴方程组的正确解是． 23. 如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） （1）求长方形游泳池面积； （2）求休息区面积； （3）比较休息区与游泳池面积的大小关系． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 （3）休息区的面积大于游泳池面积 【解析】 【分析】（1）利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可； （2）利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可； （3）利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可． 【小问1详解】 长方形游泳池面积为： 平方米； 【小问2详解】 ∵长方形空地的面积为： 平方米， ∴休息区面积 平方米； 【小问3详解】 ∵ ， ∴休息区的面积大于游泳池面积． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，配方法，完全平方式，熟练掌握长方形的面积公式和配方法是解题的关键． 24. 将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． （1）观察与发现：请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式为 ； （2）运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； （3）实践与拓展：将两个正方形、按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1） （2） （3）28 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形面积和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【小问1详解】 解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 由题意得，，， ∵，即， ∴， 又∵，而， ∴， ∴ ． 25. 【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 【解决问题】 （1）数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 （2）已知，则　 　； （3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值； 【拓展结论】 （4）已知、满足，求的最小值． 【答案】（1）是； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解； （2）先把登上的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求； （3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解； （4）根据条件求出的值，再进行配方求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴是“完美数”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵ ， 为“完美数”， ∴ ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴当，时，的最小值为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $