21.1《四边形及多边形》课件-2025-2026学年人教版数学八年级下册

四边形及多边形 1 1、四边形及其内角和 2 　　你能仿照三角形的定义给出四边形的定义吗？ 　　在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．如图记作“四边形ABCD” 1．四边形的基本概念 　　要点：①在同一个平面内；②4条线段； ③首尾顺次相接；④封闭图形． 四边形的基本元素是：顶点，边，对角线，内角和外角． A D B C 1．多边形的概念 师：三角形是怎么定义的： 生：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．师：你能仿照三角形的定义给出四边形、五边形……的定义吗？多边形呢？ 生：在平面内，由不在同一直线上的四（五……）条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四（五……）边形． 教师画出或多媒体展示四（五……）条线段所组成的图形． 多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． 师：我们知道，三角形中有三条线段，多边形中不止有三条线段．其定义中还加了一个条件：“在平面内”，这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点、五点甚至更多的点就有可能在同一平面内，也有可能不在同一平面内，（如上图（4））而我们在初中阶段主要探讨的是平面几何，所以应在前面加上条件“在平面内”． 在定义中应抓住几点：①在同一个平面内；②若干条线段；③首尾顺次相接；④封闭图形． 师：三角形的基本元素及表示方法： 生：顶点，边，内角和外角． 师：请学生联想多边形． 3 A B C D 如图，这两个多边形有什么不同？ A B D C 凸多边形与凹多边形 4．凸多边形和凹多边形概念 如图，这两个多边形有什么不同？ 4 A B C D 　　画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形． 画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形； 5 A B D C 　　画CD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形． 　　初中阶段我们讨论的多边形指的都是凸多边形． 而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画CD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形． 注意：初中阶段我们讨论的多边形指的都是凸多边形． 6 　　1．大家知道三角形的内角和是多少度吗？ 三角形的内角和是180° 　　2．大家想知道任意一个四边形的内角和吗？今天 就让我们来进一步探讨四边形的内角和与外角和． 师：1．大家知道三角形的内角和是多少度啊？ 生：180°． 师：2．大家想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和与外角和． 设计意图：通过复习旧知识三角形的内角和，提出问题，使学生通过已有知识向新知识的迁移，过渡自然，同时能极大的调动学生的好胜心和积极性． 7 1．四边形内角和 （1）长方形、正方形的内角和等于多少度？ 猜想一下任意一个四边形的内角和又是多少呢？ 360° 360° 1．四边形内角和 师：（1）长方形、正方形的内角和等于多少度？猜想一下任意一个四边形的内角和又是多少呢？ 生：360°，360° 8 3 （2）你能利用三角形内角和定理证明你的猜想吗？ 证明：连接AC， ∠BAD ＋∠B ＋∠BCD ＋∠D ＝（∠1＋∠B ＋∠3）＋（∠2 ＋∠4＋∠D）， ＝180° ＋180°＝360° ． A B C D 4 2 1 师：（2）你能利用三角形内角和定理证明你的猜想吗？师生共同分析，探讨，请一名学生上黑板完成解题过程，其他同学独立完成，最后教师出示多媒体答案展示．学生修正自己的错误． 证明：连接AC， ∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D ＝（∠BAC＋∠BCA＋∠B）＋（∠DAC＋∠DCA＋∠D）， ＝180°＋180°＝360°． 9 （3）你还能想到其他方法证明吗？ 　　方法二： 　　在四边形内任找一点，作该点与四个顶点 的连线，可将四边形分为4个三角形． 　　由图知，四边形的内角和为： 　　180°×4－360°＝360°． A B C D O 师：思维拓展：（3）你还能想到其他方法证明吗？ 学生分组讨论，然后由代表发言，教师总结，展示以下证明． 方法二：在四边形内任找一点，作该点与四个顶点的连线，可将四边形分为4个三角形．由图知，四边形的内角和为：180°×4－360°＝360° 10 　　方法三： 　　在四边形一边上找一点，作该点与另两个顶点的连线，可将四边形分为3个三角形． 　　由图知，四边形的内角和为： 　　180°×3－180°＝360°． A B C D O 方法三：在四边形一边上找一点，作该点与另两个顶点的连线，可将四边形分为3个三角形．由图知，四边形的内角和为：180°×3－180°＝360° 11 　　方法四： 　　在四边形外部找一点，作该点与另四个顶点的连线． 　　由图知，四边形的内角和为： 　　180°×3－180°＝360°． A B C D O 方法四：在四边形外部找一点，作该点与另四个顶点的连线．由图知，四边形的内角和为：180°×3－180°＝360° 12 2、多边形及其内角和 13 　　观察图片，你能从中抽象出由一些线段围成的图形吗？ （一）情境导入 观察下面的图片，你能从中抽象出由一些线段围成的图形吗？ 师：多媒体展示以下图片． 14 　　在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。记住“五边形ABCDE” 1．多边形的基本概念 　　要点：①在同一个平面内；②若干条线段； ③首尾顺次相接；④封闭图形． A D C B E 1．多边形的概念 师：三角形是怎么定义的： 生：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．师：你能仿照三角形的定义给出四边形、五边形……的定义吗？多边形呢？ 生：在平面内，由不在同一直线上的四（五……）条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四（五……）边形． 教师画出或多媒体展示四（五……）条线段所组成的图形． 多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． 师：我们知道，三角形中有三条线段，多边形中不止有三条线段．其定义中还加了一个条件：“在平面内”，这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点、五点甚至更多的点就有可能在同一平面内，也有可能不在同一平面内，（如上图（4））而我们在初中阶段主要探讨的是平面几何，所以应在前面加上条件“在平面内”． 在定义中应抓住几点：①在同一个平面内；②若干条线段；③首尾顺次相接；④封闭图形． 师：三角形的基本元素及表示方法： 生：顶点，边，内角和外角． 师：请学生联想多边形． 15 　　等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形． 等边三角形 正方形 正五边形 正六边形 正多边形 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，下面是正多边形的一些例子． 16 正多边形必须具备两个条件： ①各个角都相等；②各条边都相等． 例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形． 再如：菱形各条边都相等，它却不是正四边形． 正多边形必须具备两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等． 例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形．再如，菱形各条边都相等，它却不是正四边形．如下图： 设计意图：通过复习三角形的有关知识，自然过渡到多边形，培养学生联想，类比的思想方法，使学生学会化复杂为简单的转化转化技巧． 17 　　例1 同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，你知道吗？ D C A B 例1 同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，你知道吗？ 18 　　按图（1）所示方式去截，不经过线段AB和AD，还剩5个角，即得到一个五边形． D C A B （1） 按图（1）所示方式去截，不经过线段AB和AD，还剩五个角，即得到一个五边形． 19 　　按图（2）所示方式去截，经过点D（或点B），不经过线段AB（或线段AD），还剩4个角，即得到一个四边形． D C A B （2） 按图（2）所示方式去截，经过点D，不经过线段AB，还剩4个角，即得到一个四边形． 20 　　例2 （1）四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？ 　　（2）从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？ 　　（3）从n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？ 例2 四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？从n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？ 21 　　解析：此题可应用不完全归纳法，从特例引入进行归纳和小结．如图所示． 解析：此题可应用不完全归纳法，从特例引入，进行归纳和小结．如图所示． 22 多边形的边数 四边形 五边形 六边形 … N边形 从一个顶点作 对角线的条数 … 从一个顶点作对角线所得三角形的个数 … 2 3 2 3 4 1 n－2 n－3 答案：四边形的1条对角线分四边形为两个三角形．从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分为3个三角形．从n边形的一个顶点出发可以画（n－3）条对角线，它们把n边形分成（n－2）个三角形． 设计意图：通过例题，加深学生对多边形概念及内角、外角、对角线等基本知识的理解，熟练掌握并能灵活应． 23 　　1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是（ 　 ） 　　A．十三边形 　　　　 B．十二边形 　　C．十一边形 　 　　 D．十边形 　　2．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（ 　） 　　A．5 B．6 C．7 D．8 A C （四）课堂练习 1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是（ ）． A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形 2．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）． A．5 B．6 C．7 D．8 24 　　4．过十边形的一个顶点可作出 条对角线；所以，十边形共有 条对角线． 　　3．下图中是凸多边形的有（ 　 ） 　　A．①③⑤ B．①③ C．②④⑤ D．②④ B 7 35 3．如图是凸多边形的有（ ）． A．①③⑤ B．①③ C．②④⑤ D．②④ 4．过十边形的一个顶点可作出 条对角线；所以，十边形共有 条对角线． 答案：1．A． 2．C． 3．B． 4．7，35． 25 　　1．多边形及有关概念． 　　2．区别凸多边形和凹多边形． 　　3．正多边形的概念． 　　4．从n边形的一个顶点出发引 条对角线； n边形的对角线有 条． （五）课堂小结 1．多边形及有关概念． 2．区别凸多边形和凹多边形． 3．正多边形的概念． 4．n边形从一个顶点出发引（n－3）条对角线，n边形的对角线有n(n-3)/2 条． 设计意图：复习巩固本节课所学习的内容，加深学生理解概念，形成知识网络，强化记忆！ 26 　　与三角形类似，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角． 　　多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5都是这个五边形ABCDE的外角． E D C B A 5 4 3 2 1 E D C B A 与三角形类似，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角．多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1，∠2，∠3都是五边形ABCDE的外角． 27 （3）多边形相邻的内角和外角之间有什么关系？ 　　图中，∠1，∠2，∠3是这个五边形的外角，因为∠1＋∠BAE＝∠2＋∠AED＝∠3＋∠ABC＝180°，所以可知：相邻的内角与外角之间的关系是互补并且相邻，所以是邻补角． 5 4 3 2 1 E D C B A 3）多边形相邻的内角和外角之间有什么关系？ 图中，∠1，∠2，∠3是这个五边形的外角，因为∠1＋∠BAE＝∠2＋∠AED＝∠3＋∠ABC＝180°，所以可知：相邻的内角与外角之间的关系是互补并且相邻，所以是邻补角． 28 多边形内角：多边形相邻两边组成的角 E D C B A 边 顶点 外角 内角 5 4 3 2 1 A B C D E 　类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形以及n边形的内角和各是多少吗？ 　　如图，从五边形的一个顶点出发，可以作　　条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于180°×　　＝ 　　　°． 2 3 3 540 2．类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形以及n边形的内角和各是多少吗？ 填空： （1）从五边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将五边形分为________个三角形，五边形的内角和等于180°×________． 30 A B D E F 　　如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×____＝______°． 3 4 4 720 C （2）从六边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于180°×________． 31 　　如图，从n 边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将n边形分为 个三角形，这 个三角形的内角和就是n边形的内角和，所以，n 边形的内角和等于__________________ ． （n -3） （n -2） 180°×（n -2） （n -2） （3）从n边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°×________． 答案：（1）2，3，3＝540°．（2）3，4，4＝720°．（3）n－3，n－2，（n－2）． 这样就得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n－2）×180°． 设计意图：通过连接对角线等方法，将求多边形内角和知识转化为求多个三角形内角和问题，使学生学会数学研究中的一种重要思想：化复杂为简单，化陌生为熟悉的化归思想．化归思想在初高中数学学习中，使用频率还是很高的，在平时的学习中，要对学生多训练，多培养．同时通过分组讨论，培养学生的合作能力，也培养了学生的发散思维． 32 解：如图，四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝ 180°． ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝（4－2）×180° ＝360°， ∴∠B ＋ ∠D ＝360°－（∠A ＋∠C）＝180°． 　　【例1】如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补． D C B A （三）例题精析 师：展示例题，引导学生思考，讨论，得出结论． 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另外一组对角有什么关系呢？ 解：如图，四边形ABCD中， ∠A＋∠C＝180°． ∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4－2）×180°＝360°， ∴∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）＝360°－180°＝180°． 如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补． 33 　　练一练：已知两个多边形的内角和为1 800°，且两个多边形的边数比为2∶5，求这两个多边形的边数． 　　解：设这两个多边形的边数分别为2x，5x，根据多边形的内角和公式和题意，得 　　（2x－2）×180°＋（5x－2）×180°＝1800°， 　　解得x＝2． 　　∴2x＝4，5x＝10． 　　∴这两个多边形的边数分别为4和10． 巩固练习 已知两个多边形的内角和为1800°，且两个多边形的边数比为2:5，求这两个多边形的边数． 解：设这两个多边形的边数分别为2x，5x，根据多边形的内角和公式和题意，得 （2x－2）×180°＋（5x－2）×180°＝1800°，解得x＝2． ∴2x＝4，5x＝10． ∴这两个多边形的边数分别为4和10． 34 　　【例2】在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少呢？如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1 ＋∠2 ＋∠3 ＋∠4 ＋∠5 ＋∠6的值． 例2 在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少呢？ 如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的值． 分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？ 35 解：∵ ∠1 ＋∠BAF＝180°， ∠2 ＋∠ABC＝180°， ∠3 ＋∠BCD＝180°， ∠4 ＋∠CDE＝180°， ∠5 ＋∠DEF＝180°， ∠6 ＋∠EFA＝180°， 6 5 4 3 2 1 F E D C B A 解：∵∠1＋∠BAF＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°， ∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEF＝180°，∠6＋∠EFA＝180°， ∴∠1＋∠BAF＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEF＋∠6＋∠EFA＝6×180°． 又∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA＝(6－2)×180°, ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝6×180°－(6－2)×180°＝360°． 这就是说，六边形的外角和为360°． 设计意图：让学生理解文字语言，并会将文字语言转化为图形语言和符号语言，进一步巩固多边形的内角和公式，利用公式解决具体问题． 36 　　∴∠1 ＋∠BAF ＋∠2 ＋∠ABC ＋ ∠3 ＋ ∠BCD ＋∠4 ＋∠CDE ＋∠5 ＋∠DEF ＋∠6 ＋∠EFA＝6×180°． 　　又∠BAF ＋∠ABC ＋∠BCD ＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA ＝4×180°， 　　∴∠1 ＋∠2 ＋∠3 ＋∠4 ＋∠5 ＋∠6=6×180°－ （6 －2）×180°＝360° 　　这就是说，六边形的外角和为360°． 解：∵∠1＋∠BAF＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°， ∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEF＝180°，∠6＋∠EFA＝180°， ∴∠1＋∠BAF＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEF＋∠6＋∠EFA＝6×180°． 又∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA＝(6－2)×180°, ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝6×180°－(6－2)×180°＝360°． 这就是说，六边形的外角和为360°． 设计意图：让学生理解文字语言，并会将文字语言转化为图形语言和符号语言，进一步巩固多边形的内角和公式，利用公式解决具体问题． 37 如果把六边形换成n边形可以得到同样的结论： 因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°， 所以n边形内角和加外角和等于180°· n， 所以n边形的外角和等 180°· n-（n-2）·180°=360°． 多边形的外角和等于360°． 师：问题升华：实现由特殊到一般的转化． 如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果： 因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，又因为n边形的内角和为（n－2）×180°所以，n边形的外角和为：n·180°－（n－2）·180°＝360°． 多边形的外角和等于360°． 38 　　如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向． A 我们也可以这样理解多边形外角和等于360°． 我们也可以这样理解多边形外角和等于360°． 如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向．在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°． 39 　　在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°． 我们也可以这样理解多边形外角和等于360°． 如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向．在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°． 40 　　练一练：如图，五边形公园中，∠1＝90°，张老师沿公园边由A点经B→C→D→E→F散步，则张老师共转了（ ）． A．440° B．360° C．260° D．270° 　　解析：该问题中张老师没转过与∠1相邻的这个外角，所以用五边形的外角和减去它， 　　即360°－（180°－90°）＝270°， 　　所以张老师共转了270°，故应选D． D 如图，五边形公园中，∠1＝90°，张老师沿公园边由A点经B→C→D→E→A散步，则张老师共转了（ ）． A．440° B．360° C．260° D．270° 解：该问题中张老师没转过与∠1相邻的这个外角，所以用五边形的外角和减去它，即360°－（180°－90°）＝270°，所以张老师共转了270°，故应选D． 41 　　1．已知一个多边形各个内角都是150°，求这个多边形的边数． 【解法二】设此多边形的边数为n，则： （180°－150°）·n＝360°，解得：n＝12． 【解法一】设此多边形的边数为n，则： （n－2）×180°＝150°n，解得：n＝12． 所以这个多边形的边数为12． （四）课堂练习 1．已知一个多边形各个内角都是150°，求这个多边形的边数． 解：【解法一】设此多边形的边数为n，则： （n－2）×180°＝150°n，解得：n＝12． 【解法二】设此多边形的边数为n，则： （180°－150°）·n＝360°，解得：n＝12． 所以这个多边形的边数为12． 42 解：设边数为n，这个内角为x，则0°＜x＜180°． 根据题意，得（n－2）·180°＝x＋2030°， ∵（n－2）·180°是180°的倍数， ∴x＋2030°必是180°的倍数． 　　2．小佳在计算某个多边形的内角和时，由于粗心她漏掉一个内角，求得的内角和为2030°，你能否求得这个多边形的边数？ 例 小佳在计算某个多边形的内角和时，由于粗心她漏掉一个内角，求得的内角和为2030°，你能否求得这个多边形的边数？ 解：设边数为n，这个内角为x，则0°＜x＜180°． 根据题意，得（n－2）·180°＝x＋2030°， ∵（n－2）·180°是180°的倍数， ∴x＋2030°必是180°的倍数． 43 ∵2030°÷180°＝11…50 ° ， ∴x＝180°－50°＝130°． ∴（n－2）·180°＝2030°＋130°． ∴（n－2）＝12． ∴n＝14． 答：这个多边形的边数为14． ∵2030°÷180°＝11…50， ∴x＝180°－50°＝130°． ∴（n－2）·180°＝2030°＋130°． ∴（n－2）＝12． ∴n＝14． 答：这个多边形的边数为14． 设计意图：通过强化训练，加强学生对多边形内角和公式及外角和的理解及掌握，使学生学会活学活用的能力． 44 1．多边形内角和公式： n边形的内角和为 （n-2）180°； 2．多边形外角和定理： 多边形外角和等于360°． （五）课堂小结 （1）多边形的内角和公式（n－2）×180°． （2）多边形的外角和等于360°． 设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，回顾探究多边形内角和公式及外角和的过程，强调从特殊到一般的探究问题的方法．通过把多边形问题转化为熟悉的三角形问题，再次体会化归思想的作用． 45 谢谢观看 $