第4章 平行四边形（复习讲义）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学《平行四边形》复习讲义通过“基础目标-进阶目标-拓展目标”的递进式框架构建知识体系，结合“常见结论与易错点”表格系统梳理多边形、平行四边形性质与判定、旋转、中位线等核心内容，清晰呈现概念内涵、公式推导及易错点分析，形成完整知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计与核心素养培养，如“平行四边形的动点求t”题型培养推理意识，“平面直角坐标系网格作图”强化几何直观，“新定义问题”发展创新意识。基础巩固与能力提升题组满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可明确重难点，提升综合应用能力。

第4章 平行四边形 （复习讲义） 一、基础目标 1. 多边形：能复述多边形的定义、顶点、边、内角、外角、对角线等基本概念；会识别凸多边形与凹多边形；能运用多边形内角和公式（）和外角和定理（）计算任意多边形的内角和、外角和及单个内（外）角度数。 2. 平行四边形及其性质：能复述平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形）；会用符号表示平行四边形（如(\parallelogram ABCD)）；能直接应用平行四边形的性质解决基础问题：①对边平行且相等；②对角相等、邻角互补；③对角线互相平分。 3. 图形的旋转：能复述旋转的定义（绕定点按某个方向旋转一定角度）、旋转中心、旋转角等概念；会判断旋转前后图形的对应点、对应线段、对应角；能识别简单平面图形（如三角形、平行四边形）旋转后的图形。 4. 平行四边形的判定定理：能复述平行四边形的4个判定定理：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；会直接应用判定定理判断一个四边形是否为平行四边形。 5. 三角形的中位线：能复述三角形中位线的定义（连接三角形两边中点的线段）；会应用三角形中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半）计算中位线长度或第三边长度。 6. 反证法：理解反证法的基本思想，即从命题结论的反面出发，经过正确推理，得出与已知条件或已知事实相矛盾的结果，从而证明原结论成立；能识别适合使用反证法的命题类型，并在几何证明中初步应用该方法完成简单推理。 二、进阶目标 1. 多边形：会推导多边形内角和公式（从三角形内角和出发，通过分割多边形为三角形）；能结合方程思想解决多边形边数与内（外）角的关系问题（如“一个多边形的内角和是外角和的2倍，求边数”）；会计算多边形对角线的总条数（公式）。 2. 平行四边形及其性质：能综合运用平行四边形的性质解决几何证明题，如“已知(\parallelogram ABCD)中，(AC)与(BD)交于点(O)，求证”；会结合勾股定理、全等三角形等知识计算平行四边形的边长、对角线长或面积（如已知一边长和两条对角线长，判断能否构成平行四边形）。 3. 图形的旋转：理解旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角、对应线段相等、对应角相等）；会利用旋转性质解决简单几何问题，如“将绕点(A)旋转得到，求证是等边三角形”；能画出已知图形绕某点旋转特定角度后的图形。 4. 平行四边形的判定定理：会选择合适的判定定理解决证明问题（如已知一组对边平行，优先证对边相等或另一组对边平行）；能结合全等三角形证明平行四边形的判定定理（如“求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形”）；会用反证法或举反例说明一个四边形不是平行四边形。 5. 三角形的中位线：会推导三角形中位线定理（通过构造平行四边形或全等三角形）；能综合运用中位线定理解决中点四边形问题（如“顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形”）；会结合平行四边形性质与中位线定理证明线段平行或倍分关系（如“在中，(D)、(E)、(F)分别是(AB)、(BC)、(AC)的中点，求证四边形(ADEF)是平行四边形”）。 三、拓展目标 1. 多边形：能探究多边形内角中锐角、直角的个数问题（如“多边形中最多有几个内角是锐角”）；会解决含参数的多边形内角和问题（如“一个多边形除一个内角外，其余内角和为，求这个内角的度数及多边形边数”）。 2. 平行四边形及其性质：能运用平行四边形的对称性解决动态几何问题（如“在(\parallelogram ABCD)中，点(P)在对角线(AC)上运动，求证”）；会结合函数思想解决平行四边形中的最值问题（如“在平面直角坐标系中，已知(A(0,0))、(B(4,0))，点(C)在(y)轴上，求以(A)、(B)、(C)、(D)为顶点的平行四边形的第四个顶点(D)的坐标”）。 3. 图形的旋转：能利用旋转进行图形变换与构造，解决较复杂的几何证明题（如“在正方形(ABCD)中，将绕点(A)顺时针旋转得到，求证”）；会分析旋转过程中图形的不变量与变量，解决动态几何中的计算问题（如旋转过程中线段长度、角度的变化规律）。 4. 平行四边形的判定定理：能综合运用平行四边形的性质与判定解决开放性问题（如“给定线段(AB)，在平面内找一点(C)，使以(A)、(B)、(C)、(D)为顶点的四边形是平行四边形，求点(C)的位置”）；会结合几何变换（平移、旋转）判定平行四边形（如“将沿(BC)方向平移得到，求证四边形(ABED)是平行四边形”）。 5. 三角形的中位线：能探究三角形中位线与面积的关系（如“三角形三条中位线围成的三角形面积是原三角形面积的”）；会运用中位线定理解决跨章节综合问题（如结合相似三角形、圆的知识证明线段关系）；能设计与中位线相关的实际应用问题（如测量无法直接到达的两点间距离）。 章节 常见结论 易错点 1. 多边形 1. n边形的内角和公式：(n-2)×180° 2. 任意多边形的外角和都等于360° 3. n边形从一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，将n边形分成(n-2)个三角形 4. n边形共有n(n-3)/2条对角线 1. 运用内角和公式时，易忽略“n≥3”且n为整数的条件 2. 混淆内角和与外角和，误认为多边形的外角和随边数增加而增大 3. 计算对角线数量时，忘记除以2，导致重复计算 4. 在解决实际问题时，对“多边形”的定义理解不清，忽略“在同一平面内”和“封闭图形”这两个条件 2. 平行四边形及其性质 1. 平行四边形的对边平行且相等 2. 平行四边形的对角相等，邻角互补 3. 平行四边形的对角线互相平分 4. 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 5. 平行四边形的面积等于底乘以高 1. 错误地认为平行四边形的对角线相等或互相垂直（矩形、菱形的特性） 2. 运用性质时，忽略“平行四边形”这个前提条件，直接将性质应用于一般四边形 3. 计算面积时，误将邻边相乘当作面积（应是底乘对应底上的高） 4. 对“中心对称图形”的性质理解不深，不能正确找出对称点 3. 图形的旋转 1. 图形旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等 2. 旋转对称图形的定义：一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合 3. 平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点 1. 混淆旋转角的概念，误将对应线段的夹角当作旋转角（应是对应点与旋转中心连线的夹角） 2. 在描述旋转时，容易遗漏旋转中心、旋转方向或旋转角度中的某个要素 3. 对旋转后图形的位置判断不准确，特别是涉及多个图形或复杂图形旋转时 4. 不能正确利用旋转的性质解决几何证明或计算问题，如构造旋转全等 4. 平行四边形的判定定理 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 1. 误用“一组对边平行，另一组对边相等”来判定平行四边形（可能是等腰梯形） 2. 判定时，条件不完整，如仅由“一组对边平行”或“一组对边相等”就判定为平行四边形 3. 对“对角线互相平分”理解错误，误记为“对角线相等”或“对角线互相垂直” 4. 在证明时，不能灵活选择合适的判定定理，导致证明过程繁琐或错误 5. 三角形的中位线 1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 3. 一个三角形有三条中位线，它们围成的三角形与原三角形相似，相似比为1:2，面积比为1:4 1. 混淆三角形的中位线与中线的概念（中线是连接顶点与对边中点的线段） 2. 在应用中位线定理时，忽略“中位线”的前提，错误地将非中点连线当作中位线使用 3. 对中位线定理的结论记忆不准确，如只记住平行关系而忘记数量关系，或反之 4. 不能利用中位线定理进行线段长度的转化或位置关系的证明 6. 反证法 1. 反证法的步骤：假设命题的结论不成立（即假设结论的反面成立）；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确 2. 适宜用反证法证明的命题类型：否定性命题、唯一性命题、“至少”或“至多”类命题等 1. 假设时，不能正确找出结论的反面，导致假设错误（如“a＞b”的反面是“a≤b”，而不是“a＜b”） 2. 推理过程中，不能严格按照逻辑规则进行，导致矛盾的得出不具有说服力 3. 得出矛盾后，不能正确分析矛盾产生的原因是由于假设错误，从而无法肯定原命题结论 4. 对哪些命题适合用反证法理解不清，滥用或不用反证法 题型一 中心对称图形与对称中心 【例1】中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ． 题型二 多边形中的对角线问题 【例2】如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2-1】从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【变式2-2】从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，分割得到2024个三角形，则这个多边形的边数为 ． 题型三 多边形中的内、外角问题 【例3】一个九边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】某正多边形的一个内角的度数是它一个外角的度数的三倍，则这个正多边形的内角和为 度． 题型四 反证法中的假设 【例4】用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 【变式4-1】已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】用反证法说明命题“若，则”是假命题，可举反例“ 、 ”． 题型五 平行四边形的性质 【例5】如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【变式5-1】如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E， ，，，则的长为（　　） A．4.8 B． C． D． 【变式5-2】如图，平行四边形的对角线交于点，且，若它的对角线的和是32，则的周长为 ． 题型六 三角形的中位线 【例6】如图，的边，，上的中点分别是D，E，F，且，，则四边形的周长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式6-1】如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 【变式6-2】如图，已知，在中，是边上的中线，，，，，点是边上一动点，连接，若，则 ． 题型七 平行四边形与图象结合 【例7】如图1，在正六边形中，点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，若点的运动时间为（单位：秒），的长度为，与的函数关系图象如图2所示，为段图象的最低点，则的值为（    ）    A．3 B．2 C． D．1 【变式7-1】如图1，点是的中线上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图象，其中点是函数图象的最低点，则的值为（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 【变式7-2】如图1，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为 ． 题型八 最值问题 【例8】如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的面积为 C．周长的最小值为16 D．的最小值为 【变式8-1】如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式8-2】在四边形中，对角线和交于点O，且，，，则的最小值是 ． 题型九 平面直角坐标系网格作图 【例9】如图，在平面直角坐标系中有三个点，，，是三角形的边上一点，三角形经过平移后得到三角形，点的对应点为． (1)画出平移后的三角形，并写出点，的坐标 (2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，同时点在轴上，直接写出点的坐标； (3)求四边形的面积． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于原点中心对称的，请画出，并直接写出点的坐标． (2)利用无刻度直尺在网格中确定一点，使得交于点． 【变式9-2】如图，三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的坐标； (2)在轴上找一点，使得的值最小，直接写出点的坐标． 题型十 平行四边形的判定 【例10】如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【变式10-1】如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【变式10-2】已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 题型十一 平行四边形的动点求t 【例11】如图，在中，，对角线相交于点O，．点P从A点出发沿方向匀速运动，速度为1，连接并延长交于点Q，设点P的运动时间为t（）． (1)当______时，； (2)当四边形的面积为面积的时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t，使点O在线段的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【变式11-1】如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)___________ (2)当___________时，点运动到的角平分线上； (3)请用含的代数式表示的面积： (4)当时，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值． 【变式11-2】如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于； (3)当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 题型十二 平行四边形的新定义 【例12】我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形． (1)如图，已知完美等邻边四边形，，，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质； (2)在四边形中，若，且平分时，求证：四边形是完美等邻边四边形． 【变式12-1】【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______________． (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是________． (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． ②如图3，若，求四边形的面积． 【变式12-2】我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形． (1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度． (2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC． ①求证：四边形ABDE为等邻角四边形； ②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由． (3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由． (4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 题型十三 一次函数中的平行四边形 【例13】如图，在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点．直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点．    (1)直接写出点B和点D的坐标； (2)若点是直线在第四象限内的一个动点，设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系； (3)在（2）的条件下，当时，在平面直角坐标系内存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，已知直线：交x轴于点A，交y轴于点B，．直线：与直线相交于点M，交x轴于点，交y轴于点D． (1)求出直线、的解析式． (2)若点P是射线CD上在y轴右侧的一个动点，设点P的横坐标是m，的面积是w，求w与m之间的函数关系． (3)当时，在平面直角坐标系第一象限内内存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标． 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接． (1)求直线的表达式； (2)若是直角三角形，求点的坐标； (3)若直线与的边有两个交点，求的取值范围． 基础巩固通关测 1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．平分 D．是等边三角形 4．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，D是的中点，过点A，B分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 6．在平面直角坐标系xOy中，点关于原点的对称点是 ． 7．从正八边形的一个顶点出发，能画出的对角线的条数是 条． 8．如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，若是的中点，连接，则 ． 9．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 ． 10．如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为 ． 11．如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是___________图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征． 12．如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑． (1)再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)； (2)再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形． 13．如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 14．一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ 15．知识回顾：已知，如图（1）中，点E是边的中点，点F是边的中点，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点M，N分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 能力提升进阶练 1．如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（    ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④ 3．已知四边形是平行四边形，，的平分线，分别交边于点E，F．若，，则的长为（　　） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或7 4．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 5．如图，在中，，，是平面上一动点，连接，的中点， 连接， 当， 的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为 ． 7．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为 ． 8．如图，中，是边上的中点，点分别在上，且，，若，则的长为 ． 9．如图，已知中，，若，，点是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当为直角三角形时，则的长为 ． 10．如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时， ， ． 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（每个小正方形的边长均为个单位长度）． (1)先将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到． (2)请画出关于原点成中心对称的． (3)连接、，则四边形的形状为 ． 12．如图1，已知平行四边形，是的角平分线，交于点． (1)求证：． (2)如图2所示，点是平行四边形的边所在直线上一点，若，且，，求的面积． 13．图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 14．如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)请求出点的坐标； (2)已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； (3)已知直线：恰好将分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式． 15．如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，． (1)求直线的解析表达式； (2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值； (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 14 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 平行四边形 （复习讲义） 一、基础目标 1. 多边形：能复述多边形的定义、顶点、边、内角、外角、对角线等基本概念；会识别凸多边形与凹多边形；能运用多边形内角和公式（）和外角和定理（）计算任意多边形的内角和、外角和及单个内（外）角度数。 2. 平行四边形及其性质：能复述平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形）；会用符号表示平行四边形（如(\parallelogram ABCD)）；能直接应用平行四边形的性质解决基础问题：①对边平行且相等；②对角相等、邻角互补；③对角线互相平分。 3. 图形的旋转：能复述旋转的定义（绕定点按某个方向旋转一定角度）、旋转中心、旋转角等概念；会判断旋转前后图形的对应点、对应线段、对应角；能识别简单平面图形（如三角形、平行四边形）旋转后的图形。 4. 平行四边形的判定定理：能复述平行四边形的4个判定定理：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；会直接应用判定定理判断一个四边形是否为平行四边形。 5. 三角形的中位线：能复述三角形中位线的定义（连接三角形两边中点的线段）；会应用三角形中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半）计算中位线长度或第三边长度。 6. 反证法：理解反证法的基本思想，即从命题结论的反面出发，经过正确推理，得出与已知条件或已知事实相矛盾的结果，从而证明原结论成立；能识别适合使用反证法的命题类型，并在几何证明中初步应用该方法完成简单推理。 二、进阶目标 1. 多边形：会推导多边形内角和公式（从三角形内角和出发，通过分割多边形为三角形）；能结合方程思想解决多边形边数与内（外）角的关系问题（如“一个多边形的内角和是外角和的2倍，求边数”）；会计算多边形对角线的总条数（公式）。 2. 平行四边形及其性质：能综合运用平行四边形的性质解决几何证明题，如“已知(\parallelogram ABCD)中，(AC)与(BD)交于点(O)，求证”；会结合勾股定理、全等三角形等知识计算平行四边形的边长、对角线长或面积（如已知一边长和两条对角线长，判断能否构成平行四边形）。 3. 图形的旋转：理解旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角、对应线段相等、对应角相等）；会利用旋转性质解决简单几何问题，如“将绕点(A)旋转得到，求证是等边三角形”；能画出已知图形绕某点旋转特定角度后的图形。 4. 平行四边形的判定定理：会选择合适的判定定理解决证明问题（如已知一组对边平行，优先证对边相等或另一组对边平行）；能结合全等三角形证明平行四边形的判定定理（如“求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形”）；会用反证法或举反例说明一个四边形不是平行四边形。 5. 三角形的中位线：会推导三角形中位线定理（通过构造平行四边形或全等三角形）；能综合运用中位线定理解决中点四边形问题（如“顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形”）；会结合平行四边形性质与中位线定理证明线段平行或倍分关系（如“在中，(D)、(E)、(F)分别是(AB)、(BC)、(AC)的中点，求证四边形(ADEF)是平行四边形”）。 三、拓展目标 1. 多边形：能探究多边形内角中锐角、直角的个数问题（如“多边形中最多有几个内角是锐角”）；会解决含参数的多边形内角和问题（如“一个多边形除一个内角外，其余内角和为，求这个内角的度数及多边形边数”）。 2. 平行四边形及其性质：能运用平行四边形的对称性解决动态几何问题（如“在(\parallelogram ABCD)中，点(P)在对角线(AC)上运动，求证”）；会结合函数思想解决平行四边形中的最值问题（如“在平面直角坐标系中，已知(A(0,0))、(B(4,0))，点(C)在(y)轴上，求以(A)、(B)、(C)、(D)为顶点的平行四边形的第四个顶点(D)的坐标”）。 3. 图形的旋转：能利用旋转进行图形变换与构造，解决较复杂的几何证明题（如“在正方形(ABCD)中，将绕点(A)顺时针旋转得到，求证”）；会分析旋转过程中图形的不变量与变量，解决动态几何中的计算问题（如旋转过程中线段长度、角度的变化规律）。 4. 平行四边形的判定定理：能综合运用平行四边形的性质与判定解决开放性问题（如“给定线段(AB)，在平面内找一点(C)，使以(A)、(B)、(C)、(D)为顶点的四边形是平行四边形，求点(C)的位置”）；会结合几何变换（平移、旋转）判定平行四边形（如“将沿(BC)方向平移得到，求证四边形(ABED)是平行四边形”）。 5. 三角形的中位线：能探究三角形中位线与面积的关系（如“三角形三条中位线围成的三角形面积是原三角形面积的”）；会运用中位线定理解决跨章节综合问题（如结合相似三角形、圆的知识证明线段关系）；能设计与中位线相关的实际应用问题（如测量无法直接到达的两点间距离）。 章节 常见结论 易错点 1. 多边形 1. n边形的内角和公式：(n-2)×180° 2. 任意多边形的外角和都等于360° 3. n边形从一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，将n边形分成(n-2)个三角形 4. n边形共有n(n-3)/2条对角线 1. 运用内角和公式时，易忽略“n≥3”且n为整数的条件 2. 混淆内角和与外角和，误认为多边形的外角和随边数增加而增大 3. 计算对角线数量时，忘记除以2，导致重复计算 4. 在解决实际问题时，对“多边形”的定义理解不清，忽略“在同一平面内”和“封闭图形”这两个条件 2. 平行四边形及其性质 1. 平行四边形的对边平行且相等 2. 平行四边形的对角相等，邻角互补 3. 平行四边形的对角线互相平分 4. 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 5. 平行四边形的面积等于底乘以高 1. 错误地认为平行四边形的对角线相等或互相垂直（矩形、菱形的特性） 2. 运用性质时，忽略“平行四边形”这个前提条件，直接将性质应用于一般四边形 3. 计算面积时，误将邻边相乘当作面积（应是底乘对应底上的高） 4. 对“中心对称图形”的性质理解不深，不能正确找出对称点 3. 图形的旋转 1. 图形旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等 2. 旋转对称图形的定义：一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合 3. 平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点 1. 混淆旋转角的概念，误将对应线段的夹角当作旋转角（应是对应点与旋转中心连线的夹角） 2. 在描述旋转时，容易遗漏旋转中心、旋转方向或旋转角度中的某个要素 3. 对旋转后图形的位置判断不准确，特别是涉及多个图形或复杂图形旋转时 4. 不能正确利用旋转的性质解决几何证明或计算问题，如构造旋转全等 4. 平行四边形的判定定理 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 1. 误用“一组对边平行，另一组对边相等”来判定平行四边形（可能是等腰梯形） 2. 判定时，条件不完整，如仅由“一组对边平行”或“一组对边相等”就判定为平行四边形 3. 对“对角线互相平分”理解错误，误记为“对角线相等”或“对角线互相垂直” 4. 在证明时，不能灵活选择合适的判定定理，导致证明过程繁琐或错误 5. 三角形的中位线 1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 3. 一个三角形有三条中位线，它们围成的三角形与原三角形相似，相似比为1:2，面积比为1:4 1. 混淆三角形的中位线与中线的概念（中线是连接顶点与对边中点的线段） 2. 在应用中位线定理时，忽略“中位线”的前提，错误地将非中点连线当作中位线使用 3. 对中位线定理的结论记忆不准确，如只记住平行关系而忘记数量关系，或反之 4. 不能利用中位线定理进行线段长度的转化或位置关系的证明 6. 反证法 1. 反证法的步骤：假设命题的结论不成立（即假设结论的反面成立）；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确 2. 适宜用反证法证明的命题类型：否定性命题、唯一性命题、“至少”或“至多”类命题等 1. 假设时，不能正确找出结论的反面，导致假设错误（如“a＞b”的反面是“a≤b”，而不是“a＜b”） 2. 推理过程中，不能严格按照逻辑规则进行，导致矛盾的得出不具有说服力 3. 得出矛盾后，不能正确分析矛盾产生的原因是由于假设错误，从而无法肯定原命题结论 4. 对哪些命题适合用反证法理解不清，滥用或不用反证法 题型一 中心对称图形与对称中心 【例1】中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点，其横坐标和纵坐标均互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：． 【变式1-2】如图，已知与成中心对称，则对称中心是点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键． 根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 题型二 多边形中的对角线问题 【例2】如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据从n边形的一个顶点最多能引出条对角线求解即可． 【详解】解：从该九边形的一个顶点最多能引出条对角线， 故选：． 【变式2-1】从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的性质，熟练掌握多边形的性质是解题关键．从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形，据此解答即可得． 【详解】解：∵十边形的边数为10， ∴分成三角形的个数是（个）． 故选：C． 【变式2-2】从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，分割得到2024个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查多边形的性质，根据多边形从一个顶点出发连接其他顶点形成三角形的性质，三角形个数等于边数减2解答即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，则， 解得． 故答案为：2026． 题型三 多边形中的内、外角问题 【例3】一个九边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握内角和公式是解决问题的关键． 根据多边形的内角和公式：且为整数，进行计算即可． 【详解】解：多边形内角和公式为， 九边形的边数， 代入公式得： ． 故选：C． 【变式3-1】如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接CD，设AD与BC交于点O，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根据各角的关系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论． 【详解】解：连接CD，设AD与BC交于点O ∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，， ∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540° ∴∠ODC＋∠OCD=72° ∵∠AOB=∠COD ∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72° 故选B． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是解决此题的关键． 【变式3-2】某正多边形的一个内角的度数是它一个外角的度数的三倍，则这个正多边形的内角和为 度． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和，掌握正多边形的每一个外角都相等是解题的关键．设这个正多边形的一个外角的度数为度，则一个内角的度数为度，根据内角与外角互补的关系列方程求解，再计算边数，最后利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的一个外角的度数为度，则一个内角的度数为度． 由内角与外角互补，得，解得， 一个外角度数为度， 正多边形的边数． 这个正多边形的内角和为． 故答案为：． 题型四 反证法中的假设 【例4】用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不大于”的反面是“每一个内角都大于”． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不大于”， ∴其反面为“所有内角都大于”， 即应假设“三角形中每一个内角都大于”． 故选：D． 【变式4-1】已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反证法，反证法需假设结论的反面成立，即假设． 【详解】解：∵要证明， ∴用反证法时，应假设 故选C． 【变式4-2】用反证法说明命题“若，则”是假命题，可举反例“ 、 ”． 【答案】 1 【分析】本题考查反证法，平方运算性质等．根据平方运算的性质，若两个数的平方相等，则这两个数可能相等或互为相反数，因此举互为相反数的例子即可证明命题为假． 【详解】解：∵取，，则，，故，但， ∴命题“若，则”是假命题， 故答案为：，1． 题型五 平行四边形的性质 【例5】如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 【变式5-1】如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E， ，，，则的长为（　　） A．4.8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理和平行四边形的性质，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 故选：C． 【变式5-2】如图，平行四边形的对角线交于点，且，若它的对角线的和是32，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 由平行四边形的性质得出，，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，． ， ． 的周长． 故答案为：20． 题型六 三角形的中位线 【例6】如图，的边，，上的中点分别是D，E，F，且，，则四边形的周长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线的定义和性质；由三角形中位线的性质可得，，相加即可求解. 【详解】解：∵的边，，上的中点分别是D，E，F，且，， ∴、为的中位线， ∴， ∴四边形的周长为. 故选：C． 【变式6-1】如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵点是上一定点，是定点，的长度不变， ∴的长度不改变， 故选：C． 【变式6-2】如图，已知，在中，是边上的中线，，，，，点是边上一动点，连接，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，当点Q为的中点时，此时是的中位线，此时满足，，当时，则是等边三角形，据此分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点Q为的中点时， ∵是边上的中线， ∴此时是的中位线， ∴此时满足，， ∴，， 如图所示，当时，则是等边三角形， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 题型七 平行四边形与图象结合 【例7】如图1，在正六边形中，点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，若点的运动时间为（单位：秒），的长度为，与的函数关系图象如图2所示，为段图象的最低点，则的值为（    ）    A．3 B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质得到，根据图象可知：运动秒时，点到达点，进而得到，当点在点处时，对应函数图象上的点坐标为，得到，根据，求出的值，再根据段图象表示点在上运动，为最低点，即此时最小，得到时，取得最小值，进行求解即可． 【详解】∵正六边形， ∴，， 连接，则：，      ∴， 由对称性可知：， ∴， ∴． 由题意，可知点表示运动秒时，点到达点， ∴． 当点在点处时，对应函数图象上的点坐标为， ∴． 又∵， ∴，解得． ∴正六边形的边长为2． 段图象表示点在上运动，为最低点，即此时最小， 当时，取得最小值，最小值， 故选C． 【点睛】本题考查动点的函数图象，正六边形的性质．熟练掌握正六边形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【变式7-1】如图1，点是的中线上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图象，其中点是函数图象的最低点，则的值为（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】B 【分析】如图所示，取BC中点E，取CD中点F，连接EF，AE，先根据图2可知AE=25，AF=26，然后证明EF为△BCD的中位线，得到，同理可证QF是△PDC的中位线，得到，由此可知Q在EF上，则当AQ⊥EF时，AQ有最小值，由此求出EF的长从而求出BD的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取BC中点E，取CD中点F，连接EF，AE， 由图2可知，当时，， ∴当BP=0时，AQ=25，即当P与B重合时，AQ=25， ∵此时P与B重合，Q为PC的中，即Q为BC的中点， ∴AE=25， 同理当P与D重合时，即PD=m时，AF=AQ=26， ∵E、F分别为BC，CD的中点， ∴EF为△BCD的中位线， ∴， 同理可证QF是△PDC的中位线， ∴， ∴点Q在EF上， ∴当AQ⊥EF时，AQ的值最小，即此时的y值最小， 过点A作于，连接并延长交PD于，由图2可知， ∴，， ∴EF=17， ∴BD=34， ∴点P与点D重合时，BP取得最大值m， ∴m=BD=34， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，动点的函数图象，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理等等，正确读懂函数图象作出辅助线是解题的关键． 【变式7-2】如图1，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，如图1，过A点作于E，连接，由图2可得，当点P与点B重合时，，当P与E重合时，，当点P到达点C时，，据此先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图1，过A点作于E，连接， 根据图2知：当点P与点B重合时，， 当P与E重合时，， ∴， ∴， 当点P到达点C时，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型八 最值问题 【例8】如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的面积为 C．周长的最小值为16 D．的最小值为 【答案】D 【分析】延长、交于点，过点作直线，由等边三角形的性质可得，，证明四边形为平行四边形，得出为中点，从而可得在直线上运动，证明为等边三角形，得出，连接，则，，求出，从而可得点到直线的距离都为，再由三角形的面积公式即可判断B错误；作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，由勾股定理即可判断D正确；由得出当、、共线时，最小，最小值为的长度，即可判断A错误；过点作于，过点作于，由等边三角形的性质可得，，求出，即可判断C错误． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作直线， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵为中点， ∴为中点， ∵在线段上运动， ∴在直线上运动， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴点到直线的距离都为， ∴的面积为，故B错误； 作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，此时最小值为，故D正确； ∵， ∴， ∴当、、共线时，最小，最小值为的长度， ∴的最小值为，故A错误； 如图，过点作于，过点作于， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为，故C错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式8-1】如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N，则∠ANB=90°， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 故选：C． 【变式8-2】在四边形中，对角线和交于点O，且，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，构造平行四边形是解题关键．以为邻边构造，再利用含的得，，再利用勾股定理得，最后利用三角形三边关系计算即可． 【详解】解：以为邻边构造，过C作， ， ∴， ， ， ， ， ， 最小值， 故答案为：． 题型九 平面直角坐标系网格作图 【例9】如图，在平面直角坐标系中有三个点，，，是三角形的边上一点，三角形经过平移后得到三角形，点的对应点为． (1)画出平移后的三角形，并写出点，的坐标 (2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，同时点在轴上，直接写出点的坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为，点的坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查了作图—平移变换，平行四边形的性质，利用网格求面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再结合平移的性质作图即可得出三角形，再结合图形写出坐标即可得出结果； （2）根据平行四边形的性质作出点，再写出坐标即可得出结果； （3）利用割补法计算面积即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是三角形的边上一点，三角形经过平移后得到三角形，点的对应点为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 如图，三角形即为所求作， ， 由图可得： 点的坐标为，点的坐标为； （2）解：如图：点即为所作， ， 由图可得：点的坐标为； （3）解：如图：连接，， ∴． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于原点中心对称的，请画出，并直接写出点的坐标． (2)利用无刻度直尺在网格中确定一点，使得交于点． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)图见解析 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，中心对称图形的画法，平移的性质，正确掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据关于原点对称点的坐标特征，将点、、的横纵坐标分别乘以，得到对应点、、的坐标，然后顺次连接即可． （2）将点往右平移4格得到点，再向上一格得到点，将点往下4格，得到点，连接，可证明，那么，接着推出，然后再把向左平移2个单位，再向下3个单位长度，得到点，此时，连接交点，则，根据全等三角形的性质与判定，结合平行线的性质即可确定． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为． （2）解：如图所示，点即为所求． 【变式9-2】如图，三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的坐标； (2)在轴上找一点，使得的值最小，直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)画图见解析， 【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ，，． （2）解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则， P点坐标为． 题型十 平行四边形的判定 【例10】如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式10-1】如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出，进而得出，同理可得，即可得出四边形为平行四边形． 【详解】证明：，为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ． 又为等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，得出是解题关键． 【变式10-2】已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再证明即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十一 平行四边形的动点求t 【例11】如图，在中，，对角线相交于点O，．点P从A点出发沿方向匀速运动，速度为1，连接并延长交于点Q，设点P的运动时间为t（）． (1)当______时，； (2)当四边形的面积为面积的时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t，使点O在线段的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或0.7 (2) (3)存在， 【分析】（1）当时，由中心对称知，，，当时， 由，得 ，当，不平行时，过O作于点H，由的面积可得，得，由，得，可得 （2）过点O作于点H，知，由得，由，得，解得 （3）由线段垂直平分线性质得，由 ，，可得，可得时点O在线段的垂直平分线上． 【详解】（1）解：当时， ∵是中心对称图形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 由中心对称知，， ∴， ∵点P匀速运动的速度为1，运动时间为t， ∴， ∵， ∴； 当，不平行时， 过O作于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或0.7 （2）过点O作于点H， 由（1）知，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 （3）若点O在线段的垂直平分线上， 则为的垂直平分线， ∴， 由（1）知，，， 在中， ∴， 解得或（舍去） ∴时，点O在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查平行四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形的判定与性质，中心对称性质，勾股定理，三角形面积公式，线段垂直平分线性质，是解题的关键． 【变式11-1】如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)___________ (2)当___________时，点运动到的角平分线上； (3)请用含的代数式表示的面积： (4)当时，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或或或 【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案； （2）作的角平分线交于，求出，据此列方程并解方程即可得到答案； （3）根据题意分3种情况讨论求解即可； （4）分四种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 故答案为： （2）如图，作的角平分线交于， ， 四边形是长方形， ∴， ， ， ， ， ， ，解得． 当时，点运动到的角平分线上； 故答案为：； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点在上运动时， ，； ②当点在上运动时， ，； ③当点在上运动时， ，； 综上，； （4）解：当时，点在，、边上运动，根据题意分情况讨论： ①当点到与距离相等时， 则点在角平分线上， 由（2）可知，； ②当点到与距离相等时，则点在角平分线上，过点作于点Q， ∵， ∴， ∴ ∴ 在中， 即 解得 ∴， ③当点到与距离相等时，则点在角平分线上，过点作于点F，于点G，如图， 同理可得， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴ 在中， 即， 解得 ④当点到与距离相等时，点在角平分线上， ∴ ∴为等腰三角形， ∴ ∴ 综上所述：或或或时，点到四边形相邻两边距离相等． 【点睛】此题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、列函数关系式等知识，正确画出图形和分类讨论是关键． 【变式11-2】如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于； (3)当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)或15秒 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）由题意已知，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，然后利用时间、路程、速度的关系求解即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点P、Q分别沿运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即，因为Q、P点的速度已知，的长度已知，用t可分别表示的长，即可求得时间t； （3）当时，点P向点C运动，使是等腰三角形，可分三种情况，即；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴ ∴P从B运动到C，即：，， ∴，解得：， ∴当秒时，四边形是平行四边形； （2）解：若点P、Q分别沿运动时，，，， ∴，解得：（秒）； 若点P返回时，，， ∴，解得：（秒）． 故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等； （3）解：如图：当时，作于H，则，， ∵， ∵， ∴，解得： 秒； 当时，， ∵， ∴，解得（秒）； 当时，， ∵， ∴，即， ∵， ∴方程无实根， 综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形． 题型十二 平行四边形的新定义 【例12】我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形． (1)如图，已知完美等邻边四边形，，，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质； (2)在四边形中，若，且平分时，求证：四边形是完美等邻边四边形． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据四边形内角和为，可得结论； （2）作，，垂足分别为M，N，根据角平分线的性质可得，再证明，利用法证明，即可解决问题． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理，以及角平分线的性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：性质是． （2）证明：作，，垂足分别为M，N， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是等邻边四边形； 又， ∴等邻边四边形是完美等邻边四边形． 【变式12-1】【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______________． (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是________． (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． ②如图3，若，求四边形的面积． 【答案】(1)∠DFE (2)∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180° (3)①见解析；② 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可求解； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①如图2，延长BA，CD交于点G，先证明△ABE≌△ACG，得AG=AE，BE=CG．再证△AGF≌△AEF，得GF=EF．由点C关于直线BE对称点为点F得EF=EC则GF=EC．即可得出结论；②如图3，连接AD，过A作AE⊥AD与DB延长交于点E，根据“边垂角”的定义DE得∠ACD+∠ABD=180°．可得∠ABE=∠ACD，证明△ABE≌△ACD（ASA）．根据全等三角形的性质得AD=AE，∠E=45°，BE=CD，则，过点A作AM⊥BD于M，根据等腰直角三角形的性质得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：∠DAE的“边垂角”为∠DFE． 故答案为：∠DFE； （2）解：若∠AQB是∠APB的“边垂角”，分两种情况： 如图： ∵∠AQB是∠APB的“边垂角”， ∴AQ⊥PA，BQ⊥PB， ∴∠AQB+∠1=90°，∠APB+∠2=90°， ∵∠1=2， ∴∠AQB=∠APB； 如图： ∵∠AQB是∠APB的“边垂角”， ∴AQ⊥PA，BQ⊥PB， ∴∠PAQ=90°，∠PBQ=90°， ∵∠PAQ+∠AQB+∠APB+∠PBQ=360°， ∴∠AQB+∠APB=180°， 综上，∠AQB与∠APB的数量关系是∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°； 故答案为：∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°； （3）①证明：延长BA，CD交于点G， ∵∠ACD是∠ABD的“边垂角”， ∴∠ABE+∠AEB=90°，∠ACD+∠DEC=90°． ∵∠AEB=∠DEC， ∴∠ABE=∠ACF． ∴∠BAE=∠CAG=90°． ∵AB=AC， ∴△ABE≌△ACG（ASA）， ∴AG=AE，BE=CG．   ∵∠FAC=45°． ∴∠GAF=90°-∠FAC=45°， ∴∠GAF=∠FAE=45°． ∴AF=AF． ∴△AGF≌△AEF（SAS）， ∴GF=EF． ∵点C关于直线BE对称点为点F， ∴EF=EC． ∴BE=CG=CF+FG=CF+EF=CF+CE ∴BE=CF+CE； ②如图，连接AD，过A作AE⊥AD与DB延长交于点E， ∵∠ACD是∠ABD的“边垂角”， ∴∠ACD+∠ABD=180°． ∵∠ABE+∠ABD=180°， ∴∠ABE=∠ACD， ∵∠DAC+∠BAD=∠BAD+∠EAB=90°， ∴∠BAE=∠CAD． ∵AB=AC， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． ∴AD=AE，∠E=45°，BE=CD，   ∴， 过点A作AM⊥BD于点M， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查新定义、四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解“边垂角”的定义，熟练运用全等三角形的判定与性质． 【变式12-2】我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形． (1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度． (2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC． ①求证：四边形ABDE为等邻角四边形； ②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由． (3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由． (4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 【答案】(1)55° (2)①见解析；②△BCD是等边三角形，理由见解析 (3)在点P的运动过程中，PM+PN＝CE，理由见解析 (4)（6+2）dm 【分析】（1）由∠A=130°，∠B=120°知不可能还有内角与∠A、∠B相等（否则内角和大于360°），则∠C=∠D，即得∠D=55°； （2）①由ED//BC得∠EDB=∠DBC，根据对角线BD平分∠ABC得∠ABD=∠DBC，故∠ABD=∠EDB，即证四边形ABDE为等邻角四边形；②设∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°，由∠A+∠C+∠E=300°得3x+y=240，在△BCD中，x+2y=180，可解得，即∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°，故△BCD是等边三角形； （3）过P作PGCE于G，由图象可得：四边形PMEG是矩形，再证明△PGC≌△CNP，得CG=PN，即有PM+PN＝EG+CG=CE； （4）作BHAD，由(3)中的结论可得：ED+EC=BH，设DH=xdm，利用BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2，解得x，求得BH，进而求出ED+EC，再根据斜中线定理求得△DEM与△CEN的周长之和． 【详解】（1）解：∵∠A=130°，∠B=120°， 根据“等邻角四边形”定义可知： ∠C=∠D， ∴∠D=(360°−130°−120°)÷2=55°； （2）①证明：∵ED//BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠EDB， ∴四边形ABDE为等邻角四边形， ②解：△BCD是等边三角形，理由如下： 由①知：∠EDB=∠DBC=∠ABD， 设∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°， ∵∠A+∠C+∠E=300°， 五边形ABCDE内角和为(5﹣2)×180°=540°， ∴∠EDC+∠ABC=540°－300°=240°，即：3x+y=240， 在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠C=180°，即x+2y=180， 由联立方程组， 解得， ∴∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°， ∴△BCD是等边三角形； （3）解：在点P的运动过程中，PM+PN=CE，理由如下： 过P作PGCE于G，如图： ∵PMAB，CEAB，PGCE， ∴∠PME=∠MEG=∠EGP=90°， ∴四边形PMEG是矩形， ∴PM=EG，ME//PG，AB//PG， ∴∠B=∠GPC， ∵∠B=∠NCP， ∴∠GPC＝∠NCP， ∵PNCD， ∴∠PGC=∠CNP=90°， ∵CP=PC， ∴△PGC≌△CNP（AAS）， ∴CG=PN， ∴PM+PN＝EG+CG=CE， 即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于CE； （4）作BHAD，垂足为H，如图： 由(3)中的结论可得：ED+EC=BH， 设DH=xdm， 则AH=AD+DH=(3+x)dm， ∵BH⊥AF， ∴∠BHA=90°， ∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2， ∵AB＝2，AD＝3，BD＝， ∴()2﹣x2＝(2)2﹣(3+x)2， 解得：x＝1， ∴BH2＝BD2﹣DH2， ＝37﹣1＝36， ∴BH＝6dm， ∴ED+EC＝6， ∵∠ADE＝∠BCE＝90°， 且M、N分别为AE、BE的中点， ∴DM＝AM＝EM＝AE，CN＝BN＝EN＝BE， ∴△DEM与△CEN的周长之和 DE+DM+EM+CN+EN+EC ＝DE+AE+BE+EC ＝DE+AB+EC ＝DE+EC+AB ＝6+2， ∴△DEM与△CEN的周长之和为(6+2)dm． 【点睛】本题考查多边形综合应用，涉及新定义等邻角四边形的证明，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 题型十三 一次函数中的平行四边形 【例13】如图，在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点．直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点．    (1)直接写出点B和点D的坐标； (2)若点是直线在第四象限内的一个动点，设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系； (3)在（2）的条件下，当时，在平面直角坐标系内存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或或． 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积的计算方法，平行四边形的性质，解（2）掌握三角形的面积的计算方法，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题． （1）利用轴上的点的坐标特征即可得出结论； （2）先求出点的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论； （3）分三种情况利用对角线互相平分的四边形是平行四边形和线段的中点坐标的确定方法即可得出结论． 【详解】（1）解：点是直线与轴的交点坐标， ， 点是直线与轴的交点坐标， ； （2）解：如图1，直线与相交于，   ， ，， ， 点是直线在第四象限内的一个动点， ， ， （3）解：如图2，    由（2）知，， 当时，， ， ， ①当是对角线时，取的中点，连接并延长取一点使， 设， ，， 的中点坐标为， ， ，， ，， ， ②当为对角线时，同①的方法得，； ③当为对角线时，同①的方法得，； 即：满足条件的点的坐标为或或． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，已知直线：交x轴于点A，交y轴于点B，．直线：与直线相交于点M，交x轴于点，交y轴于点D． (1)求出直线、的解析式． (2)若点P是射线CD上在y轴右侧的一个动点，设点P的横坐标是m，的面积是w，求w与m之间的函数关系． (3)当时，在平面直角坐标系第一象限内内存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）由得，分别将B、C的坐标代入直线、即可得出结论； （2）先求出点M的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论； （3）根据求出，可得（3，－2），根据平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点B是直线：与y轴的交点坐标， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点是直线：与x轴的交点坐标， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）如图1， 直线、的解析式联立得， ， 解得， ∵直线AB与CD相交于M， ∴， ∵直线的解析式为，交y轴于点D． ∴， ∵， ∴， ∵点P是射线CD上在y轴右侧的一个动点， ∴； （3）如图， 由（2）知，， 当时，， ∴， ∵点P在射线CD上，点P的横坐标是m， ∴当m＝3时，＝﹣2， ∴， ∵点E在第一象限内，以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形，，，， ∴点E为点P向右移动5个单位，向上移动（个）单位得到， ∴． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算方法，平行四边形的性质，熟练掌握三角形求面积的方法以及平行四边形的性质是解决本题的关键． 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接． (1)求直线的表达式； (2)若是直角三角形，求点的坐标； (3)若直线与的边有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）根据题意得出，将，，代入，即可求解； （2）作的平行线，交轴分别为，根据题意，得出点在上运动，进而分两种情况讨论，①当时，得出，求得直线的解析式为，进而联立直线，即可求解；②当，则则，根据中点坐标公式，即可求解； （3）点是线段上一点，又直线的表达式为得出，，由（2）可得是的中点，得出，直线经过点时，得出，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵，点的坐标为． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将，，代入 得， 解得： ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，作的平行线，交轴分别为， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 又∵， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线； ∴点在上运动， ①当时，，过点作于点， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴点的坐标为； ②当，则， ∴， ∵，， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：∵点是线段上一点，又直线的表达式为， ∴，， ∴， ∴直线过定点， 由（2）可得是的中点， ∴，即， 当直线与的边有两个交点， ∴直线经过点时，则， 解得：（舍去）或， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数综合应用，中位线的性质，一次函数的平移，等腰三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 基础巩固通关测 1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，当一个图形绕着某点旋转180度后能与原图重合，那么它是中心对称图形．根据中心对称图形的概念一一判断即可． 【详解】解：A、绕着某点旋转180度轴能与原图重合，是中心对称图形，故符合题意； B、C、D绕着某点旋转180度轴不能与原图重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系下点的特征，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点成中心对称点的特征． 关于原点成中心对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数，由此求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴点B的坐标为． 故选：B． 3．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．平分 D．是等边三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质，等角对等边，掌握角平分线性质是解题的关键． 由题意可知，结合可得，进而得到，则即可判断B正确，而ACD无法判断． 【详解】的平分线交于点，交的延长线于点， 是的平分线， ， 又， ， ， ，故B正确；而ACD无法判断． 故选：B． 4．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查中位线的性质．根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 5．如图，在中，，D是的中点，过点A，B分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质，理解题意是解决本题的关键． 先根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】解：，，， ， 点是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 故选：B． 6．在平面直角坐标系xOy中，点关于原点的对称点是 ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标规律，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标均互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点为， 因此点关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为， 故对称点为． 故答案为 7．从正八边形的一个顶点出发，能画出的对角线的条数是 条． 【答案】5 【分析】本题主要考查多边形对角线，从边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为条． 【详解】正八边形有个顶点，从一个顶点出发，能画出的对角线条数为条． 故答案为： 8．如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，若是的中点，连接，则 ． 【答案】 【详解】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【解答】解：∵，， ∴． ∵，平分， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 9．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题的关键． 设多边形的边数为n，则内角和为，外角和为，根据内角和是外角和的4倍，建立方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得： ， 解得， 故答案为：10． 10．如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】如图所示，作点关于的对称点，且点在上，则，当在同一条直线上时，有最小值，证明四边形是平行四边形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴点在上， ∴，则，当在同一条直线上时，有最小值， ∵点关于的对称点，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称—最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形的性质，对称—最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 11．如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是___________图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征． 【答案】(1)中心对称 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称的性质，轴对称图形，解决问题的关键是掌握中心对称的性质． （1）按照轴对称或中心对称的性质判断即可． （2）按照中心对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：从图中看出，都是中心对称图形． 故答案为：中心对称． （2）解：如图所示（答案不唯一）： 12．如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑． (1)再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)； (2)再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查轴对称作图和中心对象作图，选择合适的对称轴或对称中心是解题的关键． （1）先根据题意选择合适的对称轴作图即可； （2）先根据题意选择合适的对称中心作图即可． 【详解】（1）解：如下图所示，即为所求作的图形， （2）如下图所示，即为所求作的图形， 13．如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定． 根据中心对称的性质得出，，进而证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：和关于点O对称， ， 四边形是平行四边形． 14．一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ 【答案】该多边形的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理和外角和的性质；设这个多边形的边数为，然后根据多边形内角和定理、外角和的性质以及题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得： 解得． 答：该多边形的边数为9． 15．知识回顾：已知，如图（1）中，点E是边的中点，点F是边的中点，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点M，N分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 【答案】知识回顾：，；知识应用：， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据三角形的中位线的性质可得结论； 知识应用：连接并延长交的延长线于点G，证明，可得，，再结合三角形的中位线的性质可得结论． 【详解】解：知识回顾： ∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴，； 故答案为：，． 知识应用：，，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∵， ∴． 能力提升进阶练 1．如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， ∴每次轴对称变换重复一轮， ∵， ∴经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为， 故选：． 2．已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（    ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法，结合已知，逐一分析各附加条件是否足以证明四边形为平行四边形． 【详解】解：如图， ∵， ①若，四边形可能为等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误． ②若， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故②正确． ③若， ∵， ∴，， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故③正确． ④若，该条件不足以证明平行四边形，可能存在反例（如等腰梯形），故④错误． ∴正确条件为②和③， 故选：C． 3．已知四边形是平行四边形，，的平分线，分别交边于点E，F．若，，则的长为（　　） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或7 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定．通过角平分线和平行线得到，，再根据点E和F在上的位置关系分类讨论，求出的长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴，，， ，， ，的平分线，分别交边于点E，F， ，， ，， ，， 如图所示，当点E靠近点D，点F靠近点C时，顺序为D、E、F、C， ∴； 当点F靠近点D，点E靠近点C时，顺序为D、F、E、C， ∴． 综上所述，的长为5或7． 故选：D． 4．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 5．如图，在中，，，是平面上一动点，连接，的中点， 连接， 当， 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，添加辅助线，利用三角形的中位线性质求解是解答的关键．取的中点F，连接，，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当B、F、E共线时取等号，进而得到答案． 【详解】解：取的中点F，连接，，如图， ∵是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线，又， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，当B、F、E共线时取等号，如图 ∴的最小值为， 故选：C． 6．如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，掌握“连接三角形两边中点的线段是中位线”的判定方法是解题关键． 先根据平行四边形的性质求出，再由中位线的判定与性质得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴． 故答案为：3． 7．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，如图，，代入函数关系式，可得，则，所以，线段扫过的面积为平行四边形的面积． 【详解】解：∵，，点A、B的坐标分别为、， ∴，， 将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，如图， 根据平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形， 把代入直线， 解得，即， ∴， ∴平行四边形的面积； 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的判定，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 8．如图，中，是边上的中点，点分别在上，且，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，由等边对等角可得，进而由直角三角形两锐角互余可得，即得，得到，即得到，，再根据线段的和差关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 又∵是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，已知中，，若，，点是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当为直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质． 先在中，求得，得到，，然后再分当时和时的情况，然后根据折叠和勾股定理的知识即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 以为折痕将折叠得到， ，， 如图，当时，过点作的延长线于点． ， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，不合题意，舍去， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：； 如图，，，当时，点与点重合． ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 10．如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时， ， ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得，由折叠得，从而得，所以；由平行四边形的性质得，，，，由折叠得，，，可证明，得；过点作于点，分别求出，，从而可求出即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴； 由折叠得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵, ∴， 又， ∴， ∴； 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8；． 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（每个小正方形的边长均为个单位长度）． (1)先将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到． (2)请画出关于原点成中心对称的． (3)连接、，则四边形的形状为 ． 【答案】(1)画图见详解 (2)画图见详解 (3)平行四边形 【分析】（1）根据“上加下减纵坐标，左减右加横坐标”的平移规律，确定平移后各顶点坐标，进而画出平移后的图形； （2）利用“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的性质，得到对称点坐标，再画出中心对称图形； （3）通过观察图形中线段的平行且相等关系，结合平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）进行判断． 【详解】（1）解：由题意画图，如图所示； （2）解：由题意画图，如图所示； （3）解：如图所示， 由图可得，且， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的图形平移、中心对称变换，以及平行四边形的判定，熟练掌握图形变换的坐标规律和特殊四边形的判定方法是解题关键． 12．如图1，已知平行四边形，是的角平分线，交于点． (1)求证：． (2)如图2所示，点是平行四边形的边所在直线上一点，若，且，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要运用平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形面积公式来解题． （1）通过平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义和等角对等边证明； （2）利用平行四边形性质和等腰三角形性质得出角度关系，进而判断为直角三角形，通过勾股定理求出的长度，最后根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， 在平行四边形中，， ， ， ， （2）解：由（1）可知，且， ， ， 为等腰三角形， 设，， ，， 又， ， ， ， 即为直角三角形， ， 过点作， ，，， ， ． 13．图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图，应用与设计作图．掌握平行四边形、等腰三角形、筝形的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的轴对称性质，结合面积画图即可； （2）可画一个平行四边形即可； （3）利用勾股定理及等腰梯形或筝形的性质画图即可． 【详解】（1）如答图①，即为所求．（答案不唯一） （2）如答图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）如答图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 14．如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)请求出点的坐标； (2)已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； (3)已知直线：恰好将分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平行四边形的性质和平移的性质即可求解； （2）设，分情况进行讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可； （3）连接，交于，利用中点坐标公式求出中点，再利用待定系数法可表示出和的关系． 【详解】（1）解：点坐标是，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点坐标是， ∴； （2）解：∵点是线段上一个动点， ∴设， ①当时，三角形是等腰三角形，根据勾股定理得， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ②当时，三角形是等腰三角形， 则点在的垂直平分线上， ∴， ③时，根据勾股定理得， ∴， ∴（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 综上所述，或； （3）解：如图，连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点坐标是，点坐标是， ∴， ∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴直线过， ∴ ∴， 即与的函数关系式为． 15．如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，． (1)求直线的解析表达式； (2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值； (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)N点坐标为或或 【分析】（1）首先求出，然后得到，然后代入求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，设直线与y轴的交点为F，求出，然后根据求出，作D点关于x轴的对称点，连接与x轴交于E点，连接，则，得到当、E、P三点共线时，的值最小，最小值为的长度，然后利用勾股定理求出的最小值为，然后求出直线的解析式为，进而求出点E的坐标； （3）首先求出直线的解析式为，然后设，，然后分三种情况讨论，分别根据平行四边形的对角线互相平分列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A， ∴当时， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴将代入得， 解得， ∴直线的解析表达式为； （2）解：联立直线和直线得， ， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与y轴的交点为F， 将代入得， ∴， ∵直线交y轴于点B， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 作D点关于x轴的对称点，连接与x轴交于E点，连接，则， ∴， ∴， 当、E、P三点共线时，的值最小，最小值为的长度 ∵，， ∴， ∴的最小值为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时， 解得 ∴； （3）解：将直线向上平移3个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 设，， ∵，，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 综上所述：N点坐标为或或． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，三角形面积，一次函数的平移和几何综合，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 6 / 87 学科网（北京）股份有限公司 $