7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．已知复数z＝1－i，则(　　) A.z的实部为－1 B.z的虚部为－i C.z的虚部为－ D.z的虚部为1 解析：选C. 复数z＝1－i的实部为1，虚部为－，A，B，D错误，C正确． 2．已知复数z＝2a－4＋(a－2)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a＝(　　) A.－2 B．－3 C．2 D．3 解析：选C.因为z＝2a－4＋(a－2)i的实部与虚部相等， 所以2a－4＝a－2，解得a＝2. 3．已知x，y∈R，且3x＋i＝2＋yi，则x，y的值分别为(　　) A.1， B．4，1 C．，1 D．1，3 解析：选C .因为x，y∈R，且3x＋i＝2＋yi，则3x＝2，y＝1，解得x＝，y＝1. 4．若(2k2－3k－2)＋(k2－2k)i是纯虚数，则实数k＝(　　) A.0或2 B．2或－ C.－ D．2 解析：选C. 因为(2k2－3k－2)＋(k2－2k)i是纯虚数，所以解得k＝－. 5．已知b＋bi＝－a＋(a＋2)i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则以a，b为根的一个一元二次方程是(　　) A.x2－1＝0 B．x2＋x＝2 C.x2－x＝0 D．x2＋x＝0 解析：选A.因为b＋bi＝－a＋(a＋2)i，所以所以因此所选方程的两根为±1，仅有x2－1＝0符合要求． 6．(多选)下列命题中错误的是(　　) A.若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数 B.若z∈C，则z2≥0 C.若a∈R，则ai为纯虚数 D.复数z＝a2－b2＋(a＋)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0 解析：选ABC. 对于A，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数，故A错误； 对于B，当z＝i时，z2＝i2＝－1<0，故B错误； 对于C，当a≠0时，ai为纯虚数，故C错误； 对于D，z∈R，则a＋＝0，所以a≤0，故D正确． 7．若复数z＝m2－m－2＋(m2－1)i是实数，则实数m＝________． 解析：复数z＝m2－m－2＋(m2－1)i是实数，则有m2－1＝0，解得m＝±1. 答案：±1 8．已知(x＋y－3)＋(x－2)i＝0，则y＝________． 解析：由(x＋y－3)＋(x－2)i＝0，得解得 答案：1 9．已知z＝m2－4m＋mi3(m为实数)为纯虚数，则z的虚部为________． 解析：由题知复数z＝m2－4m－mi为纯虚数， 则 解得m＝4， 所以z＝－4i，则复数z的虚部为－4. 答案：－4 10．(13分)已知复数z＝a2－a－2＋(a2－3a－4)i(其中i为虚数单位，a∈R). (1)若复数z为纯虚数，求a的值；(6分) (2)若复数z>0，求a的值．(7分) 解：(1)由于z为纯虚数， 所以解得a＝2. (2)由于z与0可以比较大小，所以z为实数，且z>0，所以解得a＝4. 11．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，3) B.(－∞，－1)∪(3，＋∞) C.(－3，1) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：选B.由已知可得a2＞2a＋3， 即a2－2a－3＞0， 解得a＞3或a＜－1，因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞). 12．欧拉恒等式eiπ＋1＝0(其中i为虚数单位，e为欧拉常数)是欧拉公式eix＝cos x＋isin x的特例，即当x＝π时，eiπ＝cos π＋isin π＝－1，得eiπ＋1＝0.根据欧拉公式，ei表示的复数是(　　) A.＋i B．－＋i C.－－i D．－i 解析：选A.由题意，ei＝cos ＋isin＝＋i. 13．已知z1＝m－3＋(m2＋m－2)i，z2＝2m－4＋(m2＋m－2)i，且z1>z2，则实数m＝________． 解析：由题意知z1，z2均为实数， 则m2＋m－2＝0，即m＝1或m＝－2.又z1>z2， 则m－3>2m－4， 则m<1，故m＝－2. 答案：－2 14．(13分)已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠∅，求整数a，b的值． 解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，① 或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，② 或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③ 由①得a＝－3，b＝±2， 由②得a＝±3，b＝－2， ③中，a，b无整数解不符合题意． 综上所述，a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2. 15．(15分)已知复数z1＝2－m2＋(m－)i，z2＝μ＋sin θ＋(cos θ－)i，其中i是虚数单位，m，μ，θ∈R. (1)若z1为纯虚数，求m的值；(6分) (2)若z1＝z2，求μ的取值范围．(9分) 解：(1)因为z1为纯虚数，所以 解得m＝－. (2)由z1＝z2，得 因此μ＝2－cos2θ－sinθ＝sin2θ－sinθ＋1＝＋. 因为－1≤sin θ≤1， 所以当sin θ＝时，μmin＝； 当sin θ＝－1时，μmax＝3， 故μ的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $