6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝(　　) A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) 解析：选A.由题意，得b＝(2a＋b)－2a＝(3，2)－2(1，2)＝(1，－2). 2．已知向量a＝(2，1)，b＝(λ，λ－1)，且a∥b, 则λ＝(　　) A．－ B． C． D．2 解析：选D.因为a＝(2，1)，b＝(λ，λ－1)且a∥b，则2×(λ－1)－λ×1＝0，解得λ＝2. 3．若向量＝(1，6)，＝(1，－1)，＝(m，m＋1)，且A，C，D三点共线，则m＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选B.由A，C，D三点共线，得∥，又＝＋＝(2，5)，＝(m，m＋1)，得2(m＋1)－5m＝0，解得m＝. 4．已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则“＝”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若＝，则x1y2－x2y1＝0，即a∥b.当b＝0，即y2＝0时，满足a∥b，而＝无意义，所以“＝”是“a∥b”的充分不必要条件． 5．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　) A．(－，－) B．(－，－) C．(，) D．(，) 解析：选A.方法一：在平行四边形OABC中，＝＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3，得解得所以E(－，－). 方法二：在平行四边形OABC中，＝＝－＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1).＝3＝3(－)，化简得＝＝(－1，－1)＝.因为O为坐标原点，所以点E的坐标为. 6．(多选)下列各组向量中，可以用来表示向量a＝(－1，2)的是(　　) A．e1＝(1，1)，e2＝(1，2) B．e1＝(－1，1)，e2＝(－2，2) C．e1＝(－1，2)，e2＝(3，－6) D．e1＝(1，2)，e2＝(－3，－4) 解析：选ACD.对于A，因为1×2≠1×1，所以e1，e2不共线，可以表示向量a，A正确；对于B，因为－1×2＝1×(－2)，所以e1，e2共线，又向量a与e1不共线，B错误；对于C，因为a＝e1＋0×e2，可以表示向量a，C正确；对于D，因为1×(－4)≠2×(－3)，所以e1，e2不共线，可以表示向量a，D正确． 7．已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则a－2b＝________． 解析：因为a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，两式相加得2a＝(0，4)，即a＝(0，2)，b＝a＋b－a＝(2，1)， 所以a－2b＝(－4，0). 答案：(－4，0) 8．已知点A(3，－1)，B(3，2)，O为坐标原点，＝2＋λ(λ∈R)，若点P在x轴上，则λ的值为________． 解析：设点P(a，0)，则＝(a，0). 又＝(3，－1)，＝(3，2)， 则(a，0)＝(6，－2)＋(3λ，2λ)，则有解得 答案：1 9．若三点A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)(ab≠0)共线，则＋＝________． 解析：因为A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)三点共线，所以∥，＝(－a，b)，＝(2－a，2)，所以－2a＝b(2－a)，即2a＋2b＝ab，又ab≠0，所以＋＝1，所以＋＝. 答案： 10．(13分)已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1). (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(6分) (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.(7分) 解：(1)向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)， 若a＝mb＋nc，则 解得 (2)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 由(a＋kc)∥(2b－a)，得2(3＋4k)＝－5(2＋k)，解得k＝－. 11．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，－1)，c＝(－4，x)，若2a＋b，a－c反向共线，则实数x的值为(　　) A．3或－7 B．－7 C． D．3 解析：选B.因为向量a＝(1，－2)，b＝(x，－1)，c＝(－4，x)，所以2a＋b＝(2＋x，－5)，a－c＝(5，－2－x).因为2a＋b，a－c共线，所以(2＋x)×(－2－x)－(－5)×5＝0，解得x＝3或x＝－7.又2a＋b，a－c反向共线，代入验证可知x＝3时为同向共线，舍去．而x＝－7满足条件，所以x＝－7. 12．已知平面直角坐标系内点A(m＋1，－3m－1)，B(－2，m＋2)，m>0，O为坐标原点，若O，A，B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为________． 解析：因为A(m＋1，－3m－1)，B(－2，m＋2)， 所以＝(m＋1，－3m－1)，＝(－2，m＋2). 因为O，A，B三点共线， 所以∥，即(m＋1)(m＋2)＋2(－3m－1)＝0，解得m＝3或m＝0(舍去). 所以＝(4，－10)，＝(－2，5). 设线段AB上靠近点A的三等分点为C， 则＝＋＝＋(－)＝＋＝(2，－5)，所以C(2，－5). 答案：(2，－5) 13．(13分)已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且＝，＝. (1)求点E，F的坐标；(6分) (2)判断与是否共线．(7分) 解：(1)依题意得＝(2，2)，＝(－2，3). 设E(x1，y1)，F(x2，y2).由＝， 可知(x1＋1，y1)＝(2，2)， 即解得 所以点E的坐标为(－，). 由＝，可知(x2－3，y2＋1)＝(－2，3)， 即解得 所以点F的坐标为(，0). (2)由(1)可知＝(，0)－(－，)＝(，－)， 又＝(4，－1)， 所以＝(4，－1)＝， 故与共线． 14．(15分)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，若＝e1－e2，＝2e1＋λe2，＝e1＋e2，且A，P，C三点共线． (1)求实数λ的值；(5分) (2)若e1＝(1，0)，e2＝(0，1). (ⅰ)求；(3分) (ⅱ)若D(－2，4)，A，B，C，D恰好为平行四边形ABCD的四个顶点，求点A的坐标．(7分) 解：(1)＝＋＝e1－e2＋2e1＋λe2＝3e1＋(λ－1)e2，因为A，P，C三点共线，设＝t＝t(e1＋e2)＝te1＋te2，则解得 (2)(ⅰ)＝＋＝2e1＋4e2＋e1＋e2＝3e1＋5e2＝3(1，0)＋5(0，1)＝(3，5)，所以向量的坐标为(3，5). (ⅱ)设点A的坐标为(x，y)，因为A，B，C，D恰好为平行四边形ABCD的四个顶点， 则＝，＝(－2－x，4－y)，＝(3，5)， 即解得 所以点A的坐标为(－5，－1). 15．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在劣弧DG上，且∠PAG＝60°.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则6λ＋μ＝________． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， A(0，0)，D(0，2)，B(4，0)，C(4，4)，因为E，F分别为BC，CD的中点，所以E(4，2)，F(2，3)， 因为以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在劣弧DG上，且∠PAG＝60°， 所以P(2cos 60°，2sin 60°)，即P(1，)， 由＝λ＋μ(λ，μ∈R)， 得(1，)＝λ(4，2)＋μ(－2，3)， 所以 所以6λ＋μ＝＋1. 答案：＋1 学科网（北京）股份有限公司 $