10.2 事件的相互独立性（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“事件的相互独立性”，涵盖含义、乘法公式及应用。通过积事件概率关系的问题导入，衔接已学积事件概念，以抛硬币等思考问题为支架，引导学生发现P(AB)=P(A)P(B)的关系，逐步构建独立事件概念。 其亮点在于结合实例探究（如取球、密码破译问题）和对比互斥与独立事件，培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识）。采用定义法与直接法判断独立性，分步骤解题，课堂巩固题型多样。小结明确知识要点，助力学生系统掌握，提升逻辑推理和应用能力，为教师提供清晰教学流程和丰富例题资源。

10．2　事件的相互独立性 1 新课导入 学习目标 　　我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生．因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关．那么，这种关系会是怎样的呢？下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题． 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义. 2．掌握相互独立事件概率的乘法公式． 3．能运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 4 一　相互独立事件的判断 思考　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 返回导航 [知识梳理] P(A)P(B) B 返回导航 提醒　如果三个事件A，B，C两两互斥，那么概率加法公式P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)成立，但当三个事件A，B，C两两独立时，等式P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)不一定成立． 返回导航 √ √ √ √ 返回导航 2．有4个大小、质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回地随机取两次，每次取一个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则(　　) A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 √ 返回导航 返回导航 返回导航 3．判断下列事件是否为相互独立事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； 解：“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件． 返回导航 (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，现采用不放回的方式取球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． 返回导航 两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件． 返回导航 返回导航 返回导航 (2)至多一人译出密码的概率． 返回导航 母题探究　在本例条件下，求： (1)两人都译不出密码的概率； 返回导航 (2)恰有一人译出密码的概率． 返回导航 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤 (1)用恰当的字母表示题中有关事件； (2)根据题设条件，分析事件间的关系； (3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相乘的事件之间必须满足相互独立)； (4)利用乘法公式计算概率． 返回导航 [跟踪训练1] (1)在某次英语四级考试中，若甲、乙通过考试的概率分别为0.7，0.8，两人是否通过这次考试相互独立，则甲、乙都通过这次考试的概率为(　　) A．0.24 B．0.48 C．0.52 D．0.56 解析：分别记甲、乙通过考试为事件A，B.由题知，A，B相互独立，且P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.8＝0.56. √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率． 返回导航 返回导航 求较复杂事件的概率的方法 (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示出来； (2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 返回导航 [跟踪训练2] 翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检的概率分别是0.4，0.5，0.75，他们能通过文考的概率分别是0.6，0.5，0.3，若甲、乙、丙后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙都能进入政审这一关的概率； 解：由题意可知，甲、乙分别能进入政审这一关的概率P1＝0.4×0.6＝0.24，P2＝0.5×0.5＝0.25， 所以甲、乙都能进入政审这一关的概率P＝P1×P2＝0.24×0.25＝0.06. 返回导航 (2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率． 解：甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的情况有：甲乙或甲丙或乙丙，所以恰好有两个人通过复检的概率P＝0.4×0.5×(1－0.75)＋0.4×(1－0.5)×0.75＋(1－0.4)×0.5×0.75＝0.425. 返回导航 1．互斥事件与独立事件的区别与联系 从互斥事件和独立事件的概念我们可以看出，互斥事件即互不相容，是不可能同时发生的事件，交集为空，但会相互产生影响(比如A发生，B就一定不发生了)；独立事件A和B的发生互不影响，可能会同时发生，简单地说就是互斥必相互影响，独立必相容． 拓视野 互斥事件与独立事件 返回导航 2．互斥事件与独立事件的运算性质 已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，则有 返回导航 返回导航 [典例] (多选)如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，设事件A＝{1，2，7，8}，事件B＝“得到的点数为偶数”，事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是(　　) √ √ 返回导航 返回导航 √ √ 返回导航 解析：对于A，A和B可以同时发生，故A正确； 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 37 √ 返回导航 2．(多选)已知随机事件A与B相互独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则(　　) A．A发生的概率为0.6 B．B发生且A不发生的概率为0.2 C．A或B发生的概率为0.9 D．A与B同时发生的概率为0.2 √ √ 返回导航 P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，D正确． 返回导航 返回导航 4．(教材P252T2改编)设一个口袋中有4张除所标数字不一样外，其余都相同的卡片，在这4张卡片上依次标有110，101，011，000.从这袋中任取一张卡片，用Ai，i＝1，2，3表示事件：取到卡片第i位上的数字为1.求证：事件A1，A2，A3是两两独立的，但P(A1A2A3)≠P(A1)P(A2)P(A3). 返回导航 返回导航 1．已学习：事件的相互独立性含义、相互独立事件概率的计算及综合应用． 2．须贯通：判断两个事件是否相互独立有两种方法：一是根据事件的含义判断事件A发生与否对事件B发生的概率是否有影响；二是根据定义判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． 3．应注意：事件的互斥性与独立性之间的关系． 返回导航 提示：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点．而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}．由古典概型概率公式，得P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，于是P(AB)＝P(A)P(B). 相互独 立事件 相关内容 定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝_____________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立 性质 若事件A与B相互独立，那么A与_______，与_______，与也都相互独立 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1) 必然事件与任何一个事件相互独立．(　　) (2) 不可能事件与任何一个事件相互独立．(　　) (3) “P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　　) (4)若事件A与B相互独立，则事件与事件B也相互独立．(　　) 解析：由题意知，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共12个样本点．则P(甲)＝＝，P(乙)＝＝，P(丙)＝＝，P(丁)＝＝，P(甲乙)＝0，P(甲丙)＝＝，P(甲丁)＝＝，P(丙丁)＝0，对于A，P(甲)P(乙)＝×＝≠P(甲乙)＝0，故A错误； 对于B，因为P(甲)P(丙)＝×＝≠P(甲丙)＝，故B错误； 对于C，P(甲)P(丁)＝×＝＝P(甲丁)＝，故C正确； 对于D，P(丙)P(丁)＝×＝≠P(丙丁)＝0，故D错误． 解：“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． [例1] (对接教材例2)甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)两人都译出密码的概率； 【解】　记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝， P(B)＝. (1)“两人都译出密码”的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. 【解】　“至多一人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”，所以至多一人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－＝. 解：两人都译不出密码的概率为P()＝P()P()＝(1－P(A))×(1－P(B))＝×＝. 解：“恰有一人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有一人译出密码的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝. (2)某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为.若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为________． 解析：方法一：由题意，至少1位同学答对这道题分为甲同学答对，乙同学未答对；乙同学答对，甲同学未答对；甲、乙同学都答对3种情况，故其概率为×＋×＋×＝. 方法二：“至少1位同学答对这道题”的对立事件为“两人都未答对这道题”，故“至少1位同学答对这道题”的概率为1－×＝1－＝. [例2] 小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为，小王每轮猜对的概率为.在每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率； 【解】　设事件A1表示“小明两轮猜对1句诗词”，则P(A1)＝×＋×＝. 【解】　设事件A1，A2分别表示“小明两轮猜对1句、2句诗词”，事件B1，B2分别表示“小王两轮猜对1句、2句诗词”，则P(A1)＝×＋×＝， P(A2)＝＝， P(B1)＝×＋×＝， P(B2)＝＝. 设事件A＝“两轮活动中诗词挑战杯代表队猜对3句诗词”，则A＝A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立， 所以P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝×＋×＝， 即诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率是. 事件 表示 概率(A，B互斥) 概率(A，B相互独立) A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P()或P(A)＋P(B)－P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) 事件 表示 概率(A，B互斥) 概率(A，B相互独立) A，B都不发生 P() 1－[P(A) ＋P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪ B) P(A)＋P(B) P(A)P() ＋P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪ A∪B) 1 1－P(A)P(B) A．事件A与C互斥 B．P(A∪B)＝ C．事件B与C相互独立 D．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C) 【解析】　事件A＝{1，2，7，8}，事件B＝{2，4，6，8}，事件C＝{2，3，5，7}，P(A)＝P(B)＝P(C)＝，对于A，事件A，C有相同的样本点2和7，事件A与C不互斥，A错误； 对于B，P(AB)＝＝，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝，B正确； 对于C，P(BC)＝≠＝P(B)P(C)，事件B与C不相互独立，C错误； 对于D，P(ABC)＝＝P(A)P(B)P(C)，D正确． [练习]　(多选)有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽、蓝色水晶崽崽、粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有．现从中任选一个盲盒，设事件A＝“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，B＝“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，C＝“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则(　　) A．A与B不互斥 B．P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 C．P(A∪B)＝ D．A与B相互独立 对于B，因为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P(A)＋P(B)＋P(C)≠1，故B错误； 对于C，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，故C错误； 对于D，因为P(AB)＝，所以P(A)P(B)＝P(AB)，故D正确． 1．(教材P253T1改编)若P(B)＝，P(A)＝，P(B)＝，则事件，B的关系为(　　) A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 解析：因为P(A)＝， 所以P()＝1－P(A)＝， 由P(B)＝P()P(B) ＝ 可知事件，B相互独立． 解析：依题意，A与B相互独立，P(B)＝0.4，P()＝0.6，P(A)＝P(A)P()＝P(A)·0.6＝0.3，所以P(A)＝0.5，A错误； P()＝0.5，所以P(B)＝P()P(B)＝0.5×0.4＝0.2，B正确； A或B发生的概率为1－P()＝1－P()P()＝1－0.5×0.6＝0.7，C错误； 3．某个比赛中，甲、乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是________． 解析：恰好有一人通过的概率为×＋×＝. 证明：易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝＝， P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝， P(A1A3)＝P(A1)P(A3)＝， P(A2A3)＝P(A2)P(A3)＝， 所以事件A1，A2，A3两两独立； 又P(A1A2A3)＝0，P(A1)P(A2)P(A3)＝， 所以P(A1A2A3)≠P(A1)P(A2)P(A3). $