3 10.1.3 古典概型（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦古典概型，系统讲解其两大特征（有限性、等可能性）、概率计算公式及“放回”与“不放回”问题应用。通过“试验估计概率耗时”的问题导入，衔接旧知，引导学生思考建模需求，搭建知识过渡支架。 其亮点在于以“思考-探究-例题-训练”为主线，通过彩票摇号等实例抽象古典概型特征（数学眼光），用列举法分析掷骰子、抽牛奶等问题培养推理能力（数学思维），小结“四步法”助学生规范表达概率计算过程（数学语言）。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

10．1.3　古典概型 1 新课导入 学习目标 　　我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值．能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？ 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率. 3.掌握利用概率的计算公式求古典概型概率的方法． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 4 一　古典概型的特征 思考　我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？ 提示：样本空间的样本点只有有限个，每个样本点发生的可能性相等． 返回导航 [知识梳理] 1．事件的概率 对随机事件发生___________大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用______表示． 2．古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有______； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性______． 可能性 P(A) 有限个 相等 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)“种下一粒花生，观察它是否发芽”的试验是古典概型．(　　) (2)“在区间(0，5)内任取一点，求此点小于2的概率”是古典概型．(　　) (3)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等.(　　) (4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．(　　) × × √ √ 返回导航 2．(多选)下列试验中是古典概型的是(　　) A．抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面朝上的情况 B．从甲、乙、丙三个学生中任选两人发言，甲是否被选中 C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点 D．射击运动员向一靶心进行射击，观察其环数 √ √ 返回导航 解析：对于A，正面和反面朝上的概率相同，是古典概型； 对于B，甲、乙、丙每个学生被选到的概率相等且样本点有限，是古典概型； 对于C，样本点有无限个，不是古典概型； 对于D，样本点有：命中10环，9环，…，0环，个数虽然有限，但每个样本点发生的概率不相等，不是古典概型． 返回导航 3．袋中有大小质地相同的5个白球和3个红球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球． (1)摸出的球有多少种不同的结果？如果把每个球的编号看作是一个样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？ 解：由于共有8个球，且每个球有不同的编号，故共有8种不同的结果． 又因为所有球大小质地相同，因此，每个球被摸到的可能性相等，即以球的编号为样本点的概率模型是古典概型． 返回导航 (2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？ 解：由于8个球共有2种颜色，因此共有2个样本点，即“摸中白球”与“摸中红球”． 因为所有球的大小质地相同，白球个数与红球个数不一样多，所以一次摸球时，“摸中白球”的可能性与“摸中红球”的可能性不相等，故以颜色为样本点的概率模型不是古典概型． 返回导航 判断一个试验是不是古典概型的步骤 (1)明确试验及其结果； (2)判断所有结果(即样本点)是否有限； (3)判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言． 返回导航 二　古典概型的计算 思考　在掷骰子的试验中，记事件A＝“点数为偶数”，事件A包含哪些样本点？事件A发生的概率是多少？ 返回导航 返回导航 [例1] (对接教材例8)同时掷两枚质地均匀的骰子，求： (1)所得点数之和为7的概率； 返回导航 (2)所得点数之和小于5或大于10的概率． 返回导航 求解古典概型“四步”法 返回导航 √ 返回导航 (2)5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为________． 返回导航 三　古典概型中“放回”与“不放回”问题 [例2] 从2名男生(记为B1和B2)和3名女生(记为G1，G2和G3)组成的总体中，依次不放回抽取2名学生． (1)求抽到的2人为1名男生和1名女生的概率； 【解】　从5名学生中，依次不放回地抽取2名学生的样本空间Ω＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B1，G3)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B2，G3)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G1，G3)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G3)，(G3，B1)，(G3，B2)，(G3，G1)，(G3，G2)}，共包含20个样本点． 返回导航 返回导航 (2)求抽到的2人全为女生的概率． 返回导航 母题探究　本例条件“依次不放回”变为“依次有放回”抽取2名学生，求抽到的2人为1名男生和1名女生的概率． 解：依次有放回抽取2名学生的样本空间Ω＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B1，G3)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B2，G3)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G1，G3)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)，(G2，G3)，(G3，B1)，(G3，B2)，(G3，G1)，(G3，G2)，(G3，G3)}，共包含25个样本点． 返回导航 返回导航 (2)无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的． 试验方法 样本点 一次取出两个球 ab 一次取一个球，不放回，取两次 (a，b)，(b，a) 一次取一个球，放回，取两次 (a，b)，(b，a)，(a，a)，(b，b) 解决“放回”与“不放回”问题的注意点 (1)计算样本点时要关注试验的方法，以取出标号为a，b的两个球为例： 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (2)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为________． 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 32 √ 返回导航 2．(多选)下列是古典概型的有(　　) A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B．同时掷两枚质地均匀的骰子，点数和为7的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 √ √ √ 返回导航 解析：古典概型的特点：①样本空间的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等． 显然A，B，D符合古典概型的特征，所以A，B，D是古典概型； C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型． 返回导航 3．(教材P241T3改编)从1～9这9个数字中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是________． 返回导航 4．(教材P245习题10.1T1改编)抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为x，黄色骰子与地面接触的面上的数字为y， (1)求“xy为偶数”的概率； 返回导航 返回导航 (2)求“|x－y|≤1”的概率． 返回导航 1．已学习：古典概型的定义、古典概型的概率公式． 2．须贯通：利用古典概型的概率公式计算时，其关键是求出试验的样本空间所包含的样本点总数及所求事件所包含的样本点个数，常用列举法、列表法或树状图法． 3．应注意：在列举试验的样本点时，注意有放回和无放回的区别，做到不重不漏． 返回导航 提示：A＝{2，4，6}, P(A)＝＝. [知识梳理] 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 【解】　同时掷两枚骰子这个试验的样本空间为Ω＝{(x，y)|x，y∈{1，2，3，4，5，6}}，n(Ω)＝6×6＝36 ， 点数之和为7的情况为(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6个样本点， 所以所得点数之和为7的概率为P＝＝. 【解】　所得点数之和小于5的情况为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点， 点数之和大于10的情况为(5，6)，(6，5)，(6，6)，共3个样本点， 所以所得点数之和小于5或大于10的概率为P＝＝. [跟踪训练1] (1)从两名男生(记为B1和B2)，一名女生(记为G)中任意抽取两人参加志愿者活动，则抽到的两人都是男生的概率为(　　) A． B． C． D．1 解析：从两名男生(记为B1和B2)，一名女生(记为G)中任意抽取两人，样本空间Ω＝{B1B2，B1G，B2G}，全是男生包含的样本点有B1B2，所以抽到的两人都是男生的概率为. 解析：记2袋已经过了保质期的牛奶为A，B，3袋未过保质期的牛奶为a，b，c， 从5袋牛奶中任取2袋，样本空间Ω＝{AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc}，共包含10个样本点， 其中全是未过保质期的牛奶包含ab，ac，bc，共3个样本点， 所以所求概率为. 设事件A＝“抽到的2人为1名男生和1名女生”，则事件A＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B1，G3)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B2，G3)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G3，B1)，(G3，B2)}，共包含12个样本点． 由古典概型的概率计算公式得P(A)＝＝， 即抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. 【解】　设事件B＝“抽到的2人全为女生”，则事件B＝{(G1，G2)，(G1，G3)，(G2，G1)，(G2，G3)，(G3，G1)，(G3，G2)}，共包含6个样本点， 由古典概型的概率计算公式得P(B)＝＝， 即抽到的2人全为女生的概率为. 设事件C＝“抽到的2人为1名男生和1名女生”，则事件C＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B1，G3)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B2，G3)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G3，B1)，(G3，B2)}，共包含12个样本点． 由古典概型的概率计算公式得P(C)＝， 即依次有放回抽取2名学生，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. [跟踪训练2] (1)(多选)袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是(　　) A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 解析：设黄、红、白球分别记为1，2，3，有放回地取球3次， 有(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，3，1)，(2，1，1)，(3，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(1，2，2)，(1，3，3)，(2，1，3)，(3，1，2)，(2，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(2，3，1)，(2，2，1)，(3，3，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，(2，2，3)，(2，3，2)，(3，2，2)，(3，3，2)，(3，2，3)，(2，3，3)，共27种等可能结果， 其中取出的3个球颜色相同的结果有(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，其概率为＝，故A错误； 取出的3个球颜色不全相同的结果有(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，3，1)，(2，1，1)，(3，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(1，2，2)，(1，3，3)，(2，1，3)，(3，1，2)，(2，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(2，3，1)，(2，2，1)，(3，3，1)，(2，2，3)，(2，3，2)，(3，2，2)，(3，3，2)，(3，2，3)，(2，3，3)，共24种，其概率为＝，故B正确； 取出的3个球颜色全不相同的结果有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，3，1)，共6种，其概率为＝，故C正确； 取出的3个球无红球的结果有(1，1，1)，(1，1，3)，(1，3，1)，(3，1，1)，(1，3，3)，(3，1，3)，(3，3，1)，(3，3，3)，共8种，其概率为，故D错误． 解析：方法一 (按无序处理)：从6张卡片中无放回随机抽取2张，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)6种情况，故概率为＝. 方法二(按有序处理): 从6张卡片中无放回随机抽取2张，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(5，4)，(6，4)，(6，5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(6，2)，(6，4)12种情况，故概率为＝. 1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：从三人中任选两名代表，所有的情况共有甲乙、甲丙和乙丙3种， 其中甲被选中的有2种，所以甲被选中的概率为. 解析：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，故这个数平方的个位数字为1的概率为. 解：由题意知，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共包含16个样本点． 设事件A＝“xy为偶数”，则A＝{(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共包含12个样本点． 所以P(A)＝＝，即“xy为偶数”的概率为. 解：由(1)知，样本空间Ω包含16个样本点． 设事件B＝“|x－y|≤1”，则B＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，共包含10个样本点．所以P(B)＝＝，即“|x－y|≤1”的概率为. $