章末综合检测(四)统计（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了统计的核心知识，涵盖抽样方法（普查、分层抽样）、数据描述（百分位数、众数、中位数、方差、极差）及数据可视化（频率分布直方图）等内容，通过知识框架将各知识点逻辑串联，帮助学生构建完整的统计知识体系。 其亮点在于以实际情境（如学生身高调查、满意度统计）设计问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过分层题型（选择、填空、解答）满足不同水平学生需求，如分层抽样计算、方差最小值求解等题目，助力学生巩固统计应用，也为教师提供精准复习的教学支持。

章末综合检测(四) 1 √ (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．在以下调查中，适合用普查的是(　　) A．调查一批小包装饼干的卫生是否达标 B．调查一批袋装牛奶的质量 C．调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求 D．调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间 解析：普查适用总体数量较少以及破坏性不大的情况，显然A，B，C的调查对象不适用，对于D，一个班级的学生人数相对较少，适用普查方式． 4 5 6 7 8 1 9 10 12 11 2 3 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 √ 2．城市森林公园有各种树木共30 000棵，其中松树3 000棵，为了调查树木的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树的数量为(　　) A．30 B．25 C．20 D．15 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 √ 3．某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温(单位：℃)，分别为13，9，13，10，8，8，15，14，则该组数据的第80百分位数为(　　) A．10 B．13 C．13.5 D．14 解析：根据题意将数据从小到大排列为8，8，9，10，13，13，14，15， 所以8×0.8＝6.4，故第80百分位数为14. 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 解析：对于A，由题图可知，甲的中位数大于90，乙的中位数小于90， 所以甲的中位数大于乙的中位数，故A不正确； 对于B，由题图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，故B正确； 对于C，由题图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，故C正确； 对于D，由题图可知，甲成绩的波动小于乙成绩的波动，所以甲的成绩比乙的成绩稳定，故D正确． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 根据中位数的概念可知，中位数可能变小，也可能变大，故D错误． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 √ 7．为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中得出的信息不正确的是(　　)   A．样本中A层次身高的女生少于男生 B．样本中B层次身高的人数最多 C．样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D．样本中E层次身高的男生有6人 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 解析：对于A，样本中女生人数为4＋12＋10＋8＋6＝40，则样本中男生人数为60， 样本中A层次身高的男生人数为60×15%＝9，女生人数为4， 所以样本中A层次身高的女生少于男生，A正确； 对于B，因为男生中B层次身高的比例最大，女生中B层次身高的比例最大， 所以样本中B层次身高的人数最多，B正确； 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 对于D，样本中E层次身高的男生有60×5%＝3(人)，D不正确． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 √ 8．已知数据a，b，c的方差为1，对∀x∈R，(x－a)2＋(x－b)2＋(x－c)2的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 √ 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．某次比赛后，通过数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则(　　) A．该组数据的极差为26 B．该组数据的众数为18 C．该组数据的75%分位数为19 D．若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 解析：该组数据的极差为32－7＝25，故A错误； 该组数据的众数为出现频数最多的18，故B正确； 因为7×75%＝5.25，所以该组数据的75%分位数为20，故C错误； 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据波动变小，所以方差变小，故D正确． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 √ 10．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制(满分100分)，统计满意度绘制成如图所示的频率分布直方图，图中b＝3a，则下列结论正确的是(　　)   A.a＝0.01 B．满意度计分的众数为75分 C．满意度计分的75%分位数是85 D．满意度计分的平均分是76 √ √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 对于D, 满意度计分的平均分为55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝76.5，D错误． 解析：对于A，由题图可得(a＋0.015＋0.035＋b＋a)×10＝1，即b＋2a＝0.05，因为b＝3a，所以a＝0.01，A正确； 对于B，满意度计分的众数为75分，B正确； 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 11．某同学投掷一枚质地均匀的骰子5次，并将每次向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．若这5个点数的平均数为2，方差小于4，则关于这5个点数，下列结论正确的有(　　) A．极差小于4 B．一定不会出现6 C．众数可能为1 D．中位数可能为3 √ √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 12．有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现用按比例分层随机抽样的方法从这批产品中抽出16件进行质量分析，则抽取的一等品有________件． 4 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 章末综合检测 15 16 14 17 18 19 13 13．若样本数据16，24，14，10，20，30，14，a的第30百分位数为a，则a的取值集合是________． 解析：将数据16，24，14，10，20，30，14按升序排列可得10，14，14，16，20，24，30，因为8×0.3＝2.4，可知第30百分位数为第3位数， 若a≤14，则第30百分位数为14， 即a＝14，符合题意； 若a＞14，则第30百分位数为14，即a＝14，不符合题意． 综上所述，a的取值集合是{14}． {14} 13 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 14．为了解某公司员工的身体情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了90名男员工、50名女员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值．男、女员工的BMI值的中位数、平均数、标准差、方差和极差如表所示．   中位数 平均数 标准差 方差 极差 男员工 21.6 22.1 3.7 14.3 19.3 女员工 19.6 20.7 4 16.4 17.7 从以上数据可以估算出该公司全体人员的BMI值的平均数为________，方差为________．(以上结果精确到0.1) 21.6　 15.5 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)为了对某课题进行讨论研究，用分层随机抽样的方法从A，B，C三所高校的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据如表： 高校 相关人数 抽取人数 A x 1 B 36 y C 54 3 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 (1)求x，y；(6分) 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 (2)若从高校B相关的人中选2人在讨论会上发言，应采用什么抽样法？请写出合理的抽样过程．(7分) 解：由于总体中的个体数和样本量都较小，所以应采用抽签法．过程如下： 第一步，将36人进行编号，号码1，2，3，…，36； 第二步，将号码分别写在相同的纸片上，制成号签； 第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号签，并记录上面的编号； 第四步，与编号相对应的人即为所要的样本． 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 16．(本小题满分15分)某市大力开展人才引进工作．现组织公开招聘，共有100名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[50，100]内，将笔试成绩按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，得到如图所示的频率分布直方图． 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 (1)求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数(每组数据以区间中点值代表)；(7分) 解：因为(0.010＋0.020＋0.035)×10＝0.65＜0.75， 0．65＋0.025×10＝0.9＞0.75， 所以第75百分位数位于[80，90)，设为x， 则0.65＋0.025(x－80)＝0.75， 解得x＝84， 所以第75百分位数为84， 平均数为0.1×55＋0.2×65＋0.35×75＋0.25×85＋0.1×95＝75.5. 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 (2)若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线(四舍五入取整数).(8分) 解：设最低分数线为t，由题图可得， 分数在[80，100]的人数为(0.25＋0.1)×100＝35； 分数在[70，80)的人数为0.35×100＝35； 所以t∈[70，80)，则0.035(80－t)×100＋35＝60，解得x≈73， 所以可估计参加面试的最低分数线为73分． 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 17．(本小题满分15分)社会十分关注青少年的身体素质情况．某学校进行了身体素质情况测试，满分10分，已知得分均为正整数．这次身体素质情况测试中甲、乙两组学生成绩如表： 成绩/分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲组人数 0 0 1 1 1 3 0 1 0 1 乙组人数 1 0 0 1 0 0 2 1 1 2 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 (1)某同学说：“在这次身体素质情况测试中，我得了8分，也是我们组得分的80%分位数．”根据以上信息，判断该同学位于哪组并结合数据说明理由；(6分) 解：该同学在甲组，理由如下： 甲组数据从小到大排列为3，4，5，6，6，6，8，10， 乙组数据从小到大排列为1，4，7，7，8，9，10，10， 因为8×80%＝6.4，所以其80%分位数为第7位数字8，所以该同学在甲组． 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 (2)数据的数字特征能反映特点信息，例如方差能够反映数据的波动，众数能够反映一组数据的集中情况，因此，多个数字特征计算与全面分析更有参考价值．请分别计算甲、乙两组的众数与方差．(9分) 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 18．(本小题满分17分)某校高一年级共有学生410名，为了解该校高一年级学生的成绩情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取82名学生，其中女生48名，男生34名，统计他们的成绩． (1)该校高一学生中男、女生各有多少名？(7分) 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 (2)48名女生的成绩统计出平均分为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，求更正后的平均分和方差．(10分) 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 (1)求k的值；(3分) 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 (2)若B校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？(4分) 解：根据B校学生成绩的频率分布直方图，设所求的分数为x，则x∈[70，80]， 则(80－x)×0.006 25×2 000＝100， 解得x＝72， 所以应该奖励72分以上的学生． 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 (3)现在设置一个标准t来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于t的学生判为B校，大于t的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的频率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的频率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率，记为f(t).若t∈[50，70)，求总误判率f(t)的最小值，以及此时t的值．(10分) 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 章末综合检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 16 14 17 18 19 13 解析：分层随机抽样，即等比例抽样，设样本中松树的数量为x，则 eq \f(150,30 000)＝ eq \f(x,3 000)，解得x＝15，即样本中松树的数量为15. 解析：设中间一组的频数为x， 依题意有 eq \f(x,80)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,80)))，解得x＝16. 4．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的 eq \f(1,4)，且样本量为80，则中间一组的频数为(　　) A．0.25 B．16 C．20 D．0.5 5．已知甲、乙两名同学6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是(　　) A.甲的中位数小于乙的中位数 B．若甲、乙成绩的平均数分别为 eq \x\to(x)1， eq \x\to(x)2，则 eq \x\to(x)1＞ eq \x\to(x)2 C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 6．已知10个互不相同的样本数据x1，x2，…，x10的平均数为 eq \x\to(x)，则关于新样本数据x1，x2，…，x10， eq \x\to(x)，下列说法正确的是(　　) A．极差变大 B．平均数变大 C．方差变小 D．中位数变小 解析：因为极差是数据中最大值与最小值的差值，新样本数据x1，x2，…，x10， eq \x\to(x)的最大值和最小值与原样本数据x1，x2，…，x10的最大值和最小值相同，所以极差不变，故A错误； 因为x1，x2，…，x10的平均数为 eq \x\to(x)，所以新样本数据x1，x2，…，x10， eq \x\to(x)的平均数为 eq \f(x1＋x2＋…＋x10＋\x\to(x),11)＝ eq \f(10\x\to(x)＋\x\to(x),11)＝ eq \x\to(x)，故B错误； 设x1，x2，…，x10的方差为s2，则新样本数据的方差为 eq \f(1,11)[10s2＋( eq \x\to(x)－ eq \x\to(x))2]＝ eq \f(10,11)s2，所以方差变小，故C正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，男生D层次身高的有60×15%＝9(人)， 所以样本中D层次身高的学生人数占总人数的比例为 eq \f(8＋9,100)＝17%，C正确； 解析：设 eq \x\to(x)＝ eq \f(a＋b＋c,3)，依题意，(a－ eq \x\to(x))2＋(b－ eq \x\to(x))2＋(c－ eq \x\to(x))2＝3， 而(x－a)2＋(x－b)2＋(x－c)2＝3x2－2(a＋b＋c)x＋a2＋b2＋c2， 当且仅当x＝ eq \f(a＋b＋c,3)＝ eq \x\to(x)时，(x－a)2＋(x－b)2＋(x－c)2取最小值为3. 对于C，前三组的频率之和为0.1＋0.15＋0.35＝0.6＜0.75， 前四组的频率之和为0.6＋0.3＝0.9＞0.75，所以满意度计分的75%分位数m∈[80，90)， 所以m＝80＋ eq \f(0.75－0.6,0.9－0.6)×10＝85，C正确； 解析：设数据为xi∈{1，2，3，4，5，6}，i∈{1，2，3，4，5}，且x1≤x2≤x3≤x4≤x5， 因为平均数 eq \x\to(x)＝ eq \f(1,5) eq \i\su(i＝1,5,x)i＝2，方差s2＝eq \o\al(2,i) eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,5,x)－5×22)) ＜4，可得 eq \i\su(i＝1,5,x)i＝10， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(2,i)＜40. 对于A，C，若数据为1，1，1，2，5，则 eq \i\su(i＝1,5,x)i＝10， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(2,i)＝32＜40，符合题意，但极差为5－1＝4，众数为1，故A错误，C正确； 对于B，假设出现6，由平均数可知其余4个数据均为1，但 eq \i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(2,i)＝40，这与题意相矛盾，假设不成立，所以一定不会出现6，故B正确； 对于D，假设中位数为3，则x3＝3，1≤x1≤x2≤3≤x4≤x5，可得 eq \i\su(i＝1,5,x)i≥1＋1＋3＋3＋3＝11＞10，这与题意相矛盾，假设不成立，所以中位数不可能为3，故D错误． 解析：抽取的一等品的件数为 eq \f(16,10＋25＋5)×10＝4. 解析：根据题意，样本中有90名男员工、50名女员工，该公司全体人员的BMI值的平均数 eq \x\to(x)＝ eq \f(90×22.1＋50×20.7,140)＝21.6， 方差s2＝ eq \f(90,140)×[14.3＋(22.1－21.6)2]＋ eq \f(50,140)×[16.4＋(20.7－21.6)2]＝15.5. 解：由题意得， eq \f(x,54)＝ eq \f(1,3)， eq \f(36,54)＝ eq \f(y,3)，故x＝18，y＝2. 解：由题表易知甲组众数为6，乙组众数为7和10.由(1)知，甲组的平均数为 eq \x\to(x)甲＝ eq \f(3＋4＋5＋6＋6＋6＋8＋10,8)＝6， 方差为s eq \o\al(2,甲)＝ eq \f(1,8)×[(3－6)2＋(4－6)2＋(5－6)2＋3×(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2]＝4.25； 乙组的平均数为 eq \x\to(x)乙＝ eq \f(1＋4＋7＋7＋8＋9＋10＋10,8)＝7， 方差为s eq \o\al(2,乙)＝ eq \f(1,8)×[(1－7)2＋(4－7)2＋2×(7－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋2×(10－7)2]＝8.5. 解：该校高一学生中， 男生共有 eq \f(34,82)×410＝170(名)， 女生共有 eq \f(48,82)×410＝240(名). 解：甲少记30分，乙多记30分，则总分不变， 由此平均分不发生变化仍为70； 原方差s2＝ eq \f(1,48)(x eq \o\al(2,1)＋x eq \o\al(2,2)＋…＋x eq \o\al(2,46)＋502＋1002－48×702)＝75， 更正后方差s′2＝ eq \f(1,48)(x eq \o\al(2,1)＋x eq \o\al(2,2)＋…＋x eq \o\al(2,46)＋802＋702－48×702)＝ eq \f(1,48)(x eq \o\al(2,1)＋x eq \o\al(2,2)＋…＋x eq \o\al(2,46)＋502＋1002－48×702－1 200)＝s2－ eq \f(1,48)×1 200＝50. 19．(本小题满分17分)A校和B校是某市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2 000名A校学生和2 000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间[40，100]内，现分别对两校学生的成绩作统计分析：A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的Y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y＝\f(频率,组距)))满足函数关系Y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.1k×2n-1，1≤n≤3，,0.1k(8－n)，4≤n≤6，))(n为组数序号，n∈Z)；B校学生成绩的频率分布直方图如图所示，假定每组组内数据都是均匀分布的． 解：因为频率之和为1，故Y之和为0.1，0.1×(k＋2k＋4k＋4k＋3k＋2k)＝0.1， 解得k＝ eq \f(1,16). 解：因为t∈[50，70)，则当t∈[50，60)时， f(t)＝0.1×10× eq \f(1,16)＋0.1× eq \f(1,8)×(t－50)＋0.037 5×(60－t)＋0.006 25×10×2 ＝－ eq \f(1,40)t＋ eq \f(29,16)， 当t∈[60，70)时， f(t)＝0.1×10× eq \f(1,16)＋0.1×10× eq \f(1,8)＋0.1×(t－60)× eq \f(1,4)＋0.062 5＋0.006 25×(70－t) ＝ eq \f(3t,160)－ eq \f(13,16)， 由f(t)的单调性知，当t＝60时，f(t)最小，此时f(t)＝ eq \f(5,16)， 所以总误判率的最小值为 eq \f(5,16)，此时t＝60. $