5 8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直的性质定理，通过复习上节课面面垂直的判定方法（线面垂直推面面垂直），提出“面面垂直能否得到线面垂直”的问题，构建“判定-性质”的知识支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以思考问题引导直观感知（数学眼光），通过文字、符号、图形语言呈现性质定理（数学语言），结合例题与跟踪训练实现线线、线面、面面垂直的转化（数学思维）。课堂小结强调转化思想与定理条件，助力学生提升空间观念和推理能力，也为教师提供系统高效的教学资源。

第2课时　平面与平面垂直的性质 1 新课导入 学习目标 　　我们上一节课学习了平面与平面垂直的判定方法，知道由“线面垂直”可以得到“面面垂直”，那么若已知“面面垂直”是否可以得到“线面垂直”呢？这就是我们本节课要研究的平面与平面垂直的性质． 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明． 2.能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 4 一　平面与平面垂直的性质 思考1　如果两个平面α，β互相垂直，直线l在平面β内， 那么直线l与平面α有怎样的位置关系？ 提示：可能平行，可能相交，也可能在平面α内． 思考2　在思考1条件下，当直线l满足什么条件时，它与平面α垂直． 提示：当直线 l与两平面的交线垂直时，它与平面α垂直． 返回导航 垂直 a⊥β 返回导航 [例1] (对接教材例10)如图所示，在三棱锥P­-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AB，∠PAC为锐角．证明：AB⊥AC. 返回导航 【证明】　过点P作AC的垂线，垂足为D.   则PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，PD⊂平面APC，故PD⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC，所以PD⊥AB， 又PA⊥AB，PA∩PD＝P，PD，PA⊂平面PAC， 所以AB⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，故AB⊥AC. 返回导航 利用面面垂直的性质定理的注意点 (1)两个平面垂直． (2)直线必须在其中一个平面内． (3)直线必须垂直于两平面的交线． 返回导航 [跟踪训练1] 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD.求证：EF⊥BF. 证明：由四边形ABCD是正方形，得AB⊥BC， 又平面FBC⊥平面ABCD， 平面FBC∩平面ABCD＝BC， AB⊂平面ABCD，则AB⊥平面FBC， 又BF⊂平面FBC，所以AB⊥BF， 又EF∥AB， 所以EF⊥BF. 返回导航 二　与面面垂直有关的计算 [例2] 如图，在四面体P-ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________． 13 返回导航 返回导航 平面与平面垂直的性质定理的主要应用就是过一个平面内一点作另一个平面的垂线，因此涉及已知条件中含平面与平面垂直的计算问题时，主要是利用性质定理作出平面的垂线，将问题转化为直角三角形中的计算问题． 返回导航 [跟踪训练2] 如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段AN的长为________，线段MN的长为________. 返回导航 返回导航 三　垂直关系的相互转化 [例3] 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.   (1)若AB⊥BC，求证：平面A1BC⊥平面AA1B1B； 【证明】　因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC. 又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面AA1B1B， 所以BC⊥平面AA1B1B. 又BC⊂平面A1BC， 所以平面A1BC⊥平面AA1B1B. 返回导航 (2)若平面A1BC⊥平面AA1B1B，求证：AB⊥BC. 【证明】　如图，过A作AD⊥A1B于点D.   因为平面A1BC⊥平面AA1B1B，平面A1BC∩平面AA1B1B＝A1B， AD⊂平面AA1B1B， 所以AD⊥平面A1BC. 返回导航 又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC. 因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以AA1⊥BC. 又AD，AA1⊂平面AA1B1B，AA1∩AD＝A， 所以BC⊥平面AA1B1B. 又AB⊂平面AA1B1B，所以AB⊥BC. 返回导航 空间中垂直关系的转化 在解决空间中关于垂直的问题时，要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终得到论证，其转化关系如下： 返回导航 [跟踪训练3] 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M和N分别是AD和BC的中点．求证：   (1)PM⊥MN； 证明：因为△PAD是正三角形，M是AD的中点，所以PM⊥AD， 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊂平面PAD， 所以PM⊥平面ABCD，因为MN⊂平面ABCD，所以PM⊥MN. 返回导航 (2)平面PMN⊥平面PBC. 证明：因为PM⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PM⊥BC， 因为四边形ABCD是正方形，则AD∥BC且AD＝BC， 因为M，N分别是AD，BC的中点，则AM∥BN且AM＝BN， 又因为AB⊥AD，所以四边形ABNM为矩形，则MN⊥BC， 因为PM∩MN＝M，PM，MN⊂平面PMN，所以BC⊥平面PMN， 因为BC⊂平面PBC，所以平面PMN⊥平面PBC. 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 22 1．(教材P162T3改编)已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，m⊥l，则“α⊥β”是“m⊥n”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 返回导航 解析：充分性：若α⊥β，因为α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，所以m⊥β， 又n⊂β，所以m⊥n，则充分性成立； 必要性：当n∥l时，α与β不一定垂直， 则必要性不成立． 所以“α⊥β”是“m⊥n”的充分不必要条件． 返回导航 2．(多选)(教材P162练习T2改编)平面α垂直于平面β，且α∩β＝l，下列命题正确的是(　　) A．平面α内一定存在直线平行于平面β B．平面α内已知直线必垂直于平面β内无数条直线 C．平面α内任一条直线必垂直于平面β D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β √ √ 返回导航 解析：对于A，因为l⊂平面β，则平面α内只要是平行于l的直线，都平行于平面β，故A正确； 对于B，在平面β内作直线l的垂线m，则m⊥平面α，即m垂直于平面α的任意直线，故平面α内已知直线必垂直于直线m，以及与m平行的无数条直线，故B正确； 对于C，平面α内垂直于两平面交线l的直线才垂直于平面β，故C错误； 对于D，过平面α内，且在交线l外的一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β，故D错误． 返回导航 3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到α，β的距离分别是1，2，则点P到l的距离为________． 返回导航 返回导航 4．如图，在三棱锥P­ABC中，O为AC的中点，平面POB⊥平面ABC，AB＝BC.证明：PA＝PC. 证明：因为AB＝BC，O为AC的中点， 所以AC⊥OB， 又因为平面POB⊥平面ABC，平面POB∩平面ABC＝OB, AC⊂平面ABC， 所以AC⊥平面POB， 因为PO⊂平面POB，所以AC⊥PO， 又O为AC的中点，所以△PAC是等腰三角形，所以PA＝PC. 返回导航 1．已学习：平面与平面垂直的性质定理． 2．须贯通：掌握垂直关系的转化思想；线线垂直是垂直关系的基础． 3．应注意：面面垂直性质定理的条件和结论． 返回导航 [知识梳理] 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面________ 符号语言 ⇒________ 图形语言 【解析】　取AB的中点E，连接PE，EC. 因为∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， 所以AB＝10，所以CE＝5. 因为PA＝PB＝13，E是AB的中点， 所以PE⊥AB，又AE＝5， 所以PE＝12. 因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABC. 因为CE⊂平面ABC，所以PE⊥CE， 则在Rt△PEC中，PC＝＝13. 　 解析：因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，AD⊂平面ABCD， 所以AD⊥平面DCEF，又DF⊂平面DCEF，所以AD⊥DF， 所以在△ADN中，∠ADN＝90°，因此AN＝＝； 取CD的中点G，连接MG，NG， 因为四边形ABCD，DCEF是边长为2的正方形， 所以MG＝2，NG＝，MG∥AD， 所以MG⊥平面DCEF，又NG⊂平面DCEF，所以MG⊥NG， 所以MN＝＝. 解析：如图，过点P作PA⊥β于点A，作PB⊥α于点B，PA，PB两条相交直线确定的平面与l相交与O ，连接BO，PO，AO， 因为PA⊥l，PB⊥l，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAOB，所以l⊥平面PAOB，因为α⊥β， 所以AO⊥OB，所以四边形PAOB为矩形， 又因为PO⊂平面PAOB，所以l⊥PO, 所以PO的长就是点P到直线l的距离． 所以PO＝＝＝. $