3 8.5.3 平面与平面平行（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“平面与平面平行”，涵盖判定定理、性质定理及综合应用。以中国国家馆为导入实例，通过矩形硬纸片、三角尺与桌面的位置关系等思考问题，引导学生从直观到抽象，构建“线线平行-线面平行-面面平行”的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言。通过实物操作（转动硬纸片）培养几何直观，借助三棱柱、正方体模型引导学生抽象定理条件，性质定理证明以问题链发展推理能力，知识梳理用表格整合文字、符号、图形语言。例题与跟踪训练强化平行关系转化，助力学生掌握方法，也为教师提供清晰教学路径。

8．5.3　平面与平面平行 1 新课导入 学习目标 上海世界博览会的 中国国家馆被永久保留， 中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉． 1.了解空间中平面与平面的平行关系． 2．归纳出平面与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 4 一　平面与平面平行的判定定理 思考1　如图1，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都与桌面平行(转动一下硬纸片，仍可保持a，b都与桌面平行)，直观感受一下，硬纸片与桌面平行吗？   提示：不一定平行． 返回导航 思考2　如图2，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都与桌面平行，直观感受一下，三角尺与桌面平行吗？   提示：平行． 返回导航 [知识梳理] 文字语言 如果一个平面内的两条_____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ________________________________⇒β∥α 图形语言   相交直线 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α 返回导航 [例1] 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱B1C1，A1B1，AB的中点． 求证：平面A1C1G∥平面BEF. 【证明】　因为E，F分别为棱B1C1，A1B1的中点， 所以EF∥A1C1. 因为A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G， 所以EF∥平面A1C1G. 返回导航 又F，G分别为棱A1B1，AB的中点，AB綉A1B1， 所以A1F綉BG，所以四边形A1GBF为平行四边形， 所以BF∥A1G. 因为A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G， 所以BF∥平面A1C1G， 又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF， 所以平面A1C1G∥平面BEF. 返回导航 利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤 返回导航 [跟踪训练1] 如图，不在同一条直线上的三点A，B，C在平面α上，点A′，B′，C′在平面β上，且AA′∥BB′∥CC′，AA′＝BB′＝CC′.求证：平面α∥平面β. 证明：连接AB，A′B′(图略)，因为AA′∥BB′，AA′＝BB′，所以四边形ABB′A′为平行四边形，则AB∥A′B′， 又A′B′⊂β，AB⊄β，所以AB∥平面β，连接BC，B′C′(图略)，同理得BC∥平面β， 由已知得AB⊂α，BC⊂α，且AB∩BC＝B， 所以平面α∥平面β. 返回导航 二　平面与平面平行的性质定理 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β. 思考1　直线a与平面β的位置关系如何？ 提示：平行． 思考2　直线a与直线b的位置关系如何？ 提示：平行或异面． 思考3　在什么条件下可使a∥b? 提示：当a与b不异面，即a与b在同一平面内时，a∥b. 返回导航 [知识梳理] 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_______ 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒_______ 图形语言   平行 a∥b 返回导航 [例2] (对接教材例5)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：   (1)NC1∥AM； 【证明】　因为平面AB1M∥平面BC1N， 平面AB1M∩平面ACC1A1＝AM， 平面BC1N∩平面ACC1A1＝NC1， 所以NC1∥AM. 返回导航 (2)N为AC的中点． 返回导航 平面与平面平行的性质定理的解题步骤 返回导航 [跟踪训练2] 如图，BF∥平面ADE，CF∥AE.求证：AD∥BC.   证明：因为CF∥AE，CF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CF∥平面ADE. 因为BF∥平面ADE，BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF， 所以平面ADE∥平面BCF. 又平面ADE∩平面ABCD＝AD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，所以AD∥BC. 返回导航 三　平行关系的综合应用 [例3] 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱AA1上，点F在棱CC1上，点G在棱BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是棱B1C1上一点． (1)求证：E，B，F，D1四点共面； 【证明】　在DD1上取一点N，使得DN＝1， 连接CN，EN，则AE＝DN，CF＝ND1， 因为CF∥ND1，所以四边形CFD1N是平行四边形， 返回导航 所以D1F∥CN， 同理，四边形DNEA是平行四边形， 所以EN∥AD，且EN＝AD， 又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC， 所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN∥BE， 所以D1F∥BE，所以E，B，F，D1四点共面． 返回导航 (2)若平面A1GH∥平面BED1F，求证：H为B1C1的中点． 【证明】　因为平面A1GH∥平面BED1F，平面BB1C1C∩平面A1GH＝HG，平面BB1C1C∩平面BED1F＝BF， 所以BF∥HG. 所以∠B1GH＝∠FBG＝∠CFB. 返回导航 返回导航 空间中各种平行关系相互转化 返回导航 证明：由四边形ABCD为菱形，得AB∥CD， 又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，则AB∥平面PCD，又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，则AB∥l，所以l∥CD. 返回导航 (2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论． 返回导航 连接BM，BD，设BD∩AC＝O，由四边形ABCD是菱形，得O为BD的中点，连接OE， 则BM∥OE，又OE⊂平面AEC，BM⊄平面AEC，所以BM∥平面AEC，又FM∩BM＝M，FM，BM⊂平面BFM，则平面BFM∥平面AEC，又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC. 返回导航 截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集(交线)叫做截线，与几何体棱的交集(交点)叫做截点． 拓视野 截面问题 返回导航 [典例] 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB中点，P为线段C1D1上一动点，过D，E，P的平面截正方体的截面图形不可能是(　　) A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 √ 返回导航 【解析】　对于B，当点P与D1重合时，如图1，   取A1B1中点H，连接DE，EH，HD1，因为E是AB中点，则EH∥DD1，且EH＝DD1， 所以四边形EHD1D为平行四边形， 又因为DD1⊥DE，所以平行四边形EHD1D为矩形，故排除B选项； 返回导航 对于C，当点P与C1重合时，如图2，   取BB1的中点为G，连接DE，EG，GC1，C1D，因为E是AB的中点，所以EG∥DC1， 截面四边形EGC1D为梯形，故排除C选项； 返回导航 对于D，当点P为C1D1中点时，如图3，   连接PB1，B1E，DE，DP，因为E是AB中点，所以PB1∥DE，且PB1＝DE，则四边形EB1PD是平行四边形． 返回导航 对于A，不管点P在线段C1D1的什么位置，截面图形都不可能是三角形． 返回导航 截面的作法 (1)直接法作截面：若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面． (2)平行线法作截面：若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 36 1．(教材P142T2改编)平面α内两条直线m，n都平行于平面β，则α与β的关系是(　　) A．平行　　　　　　 B．相交 C．重合 D．平行或相交 解析：若直线m与直线n为相交直线，根据平面与平面平行的判定定理可得α∥β，若m∥n，如图，α与β可能平行，也可能相交． √ 返回导航 √ √ 返回导航 解析：对于A，因为平面α∥平面β，CD⊂平面β，所以CD∥平面α，故A正确； 返回导航 对于C，若PB＝1，则PB＋AB＝PA，这与三角形三边关系定理相矛盾，故C错误； 返回导航 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过直线AC1的平面交直线BB1于点E，交直线DD1于点F，则四边形AEC1F的形状为________________． 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面AEC1F∩平面ABB1A1＝AE，平面AEC1F∩平面CDD1C1＝C1F，则AE∥C1F， 同理，由平面ADD1A1∥平面CBB1C1可得AF∥C1E， 所以四边形AEC1F为平行四边形． 平行四边形 返回导航 4．(教材P143练习T3改编)如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，CD，A′B′，C′D′的中点．求证：平面A′EFD′∥平面BCF′E′. 返回导航 证明：因为E，E′分别是AB，A′B′的中点， 所以A′E′綉BE， 所以四边形A′EBE′为平行四边形，所以A′E∥BE′. 又A′E⊄平面BCF′E′，BE′⊂平面BCF′E′， 所以A′E∥平面BCF′E′， 同理可证A′D′∥平面BCF′E′， 又A′D′∩A′E＝A′，A′D′，A′E⊂平面A′EFD′， 所以平面A′EFD′∥平面BCF′E′. 返回导航 1．已学习：平面与平面平行的判定定理、性质定理． 2．须贯通：应用面面平行的判定定理，只要找出一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行即可；应用面面平行的性质定理，一般是找到或作出与两个平行平面相交的辅助面，辅助面与两个平行平面相交，那么两条交线必定平行；面面平行的判定定理与性质定理体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化． 3．应注意：(1)平面与平面平行的条件是否充分；(2)证明面面平行一般要用判定定理． 返回导航 【证明】　在三棱柱ABC-A1B1C1中，有A1C1∥AC，且A1C1＝AC， 又因为NC1∥AM， 所以四边形ANC1M为平行四边形， 又M是A1C1的中点， 所以AN＝C1M＝A1C1＝AC， 所以N为AC的中点． 在Rt△BCF中，tan ∠CFB＝＝， 在Rt△HB1G中，tan ∠B1GH＝＝B1H， 所以B1H＝＝B1C1，即H为B1C1的中点． [跟踪训练3] 在底面是菱形的四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a, PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l. (1)证明：l∥CD； 解：存在．当F是PC的中点时，BF∥平面AEC， 如图，取PE的中点M，连接FM，当F为PC的中点时，得FM∥CE，又CE⊂平面AEC，FM⊄平面AEC，所以FM∥平面AEC.由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝PE＝ED，故E是MD的中点， 又因为B1P＝＝ ＝， B1E＝＝ ＝， 且C1D1＝B1C1＝AB＝BB1，所以B1P＝B1E， 所以平行四边形EB1PD是菱形，故排除D选项； [练习] 如图，已知正三棱柱木料ABC­A1B1C1各棱长都为2，O1，O分别为△A1B1C1和△ABC的中心，Q为线段O1O上的点，且＝，过A，B，Q三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为________． 解析：如图，连接CO，C1O1并延长分别交AB，A1B1于点D，D1，易知CD∥C1D1，连接DQ并延长交C1D1于点P，过点P作EF∥A1B1分别交B1C1，A1C1于点E，F，连接BE，AF.因为EF∥A1B1，所以EF∥AB，故梯形ABEF为所求截面．因为O1，O分别为△A1B1C1和△ABC的中心，＝，CD∥C1D1，所以O1P＝OD＝O1D1.又△A1B1C1是等边三角形， 所以O1D1＝C1D1，故D1P＝C1D1，即P是C1D1的中点，所以EF＝A1B1，易知四边形ABEF为等腰梯形，所以PD为等腰梯形的高．又正三棱柱ABC­A1B1C1各棱长都为2，所以EF＝1，BE＝＝，PD＝＝＝，所以S梯形ABEF＝(AB＋EF)×PD＝×3×＝. 2．(多选)如图所示，平面α∥平面β，AB⊂α，CD⊂β，且AB∥CD，PA＝2，AB＝1，CD＝3，则(　　) A．CD∥α B．AC＝4 C．PB＝1 D．＝ 对于B，设由P，C，D所确定的平面为γ， 因为平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝AB，平面β∩平面γ＝CD， 所以AB∥CD，所以＝，即＝，解得AC＝4，故B正确； 对于D，若＝，则＝，而由AB∥CD，可得＝， 但PB与PC长度关系不确定，故D错误． $