8.5.3 平面与平面平行-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件围绕“平面与平面平行”展开，涵盖判定定理、性质定理、相关计算及平行关系转化，以世博会中国国家馆为情境导入，衔接线面平行知识，搭建从具体到抽象的学习支架，培养直观想象与逻辑推理素养。 其亮点在于通过实例问题引发思考，结合三棱柱、正方体等模型训练逻辑推理，总结规律方法助学生构建知识网络。以数学思维分析问题，用数学语言规范证明，提升学生转化能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

8.5.3　平面与平面平行 1 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理（直观想象、逻辑推理）. 2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 　　上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层.展馆的每两层所在的平面都相互平行，下面我们将要学习判断的依据. 情景导入 知识点一　平面与平面平行的判定定理 01 知识点二　平面与平面平行的性质定理 02 提能点　线线、线面、面面平行的转化 04 目录 课时作业 05 知识点三　与性质定理有关的计算问题 03 4 知识点一 平面与平面平行的判定定理 01 PART 目 录 问题1　如图1，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在的直线，它们都 和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图2，c和d分别是三角尺相邻 两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 提示：三角尺所在的平面和桌面一定平行，硬纸片不一定平行. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那 么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 　　提醒：（1）平面内的两直线相交；（2）均平行于另一平面.两条件 缺一不可. 两条相交直线　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：（1）B，C，H，G四点共面； 证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面. 数学·必修第二册 目 录 （2）平面EFA1∥平面BCHG. 证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 平面与平面平行的判定方法 （1）定义法：两个平面没有公共点； （2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面； （3）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 数学·必修第二册 目 录 训练1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，CC1 的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1. 数学·必修第二册 目 录 证明：连接EF，∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，E，F分 别为DD1，CC1的中点， ∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF，ED1＝ CF，∴四边形ABFE，ED1FC为平行四边形，则 AE∥BF，EC∥D1F， ∵AE⊄平面BFD1，EC⊄平面BFD1，BF⊂平面BFD1， D1F⊂平面BFD1，∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1， ∵AE⊂平面AEC，EC⊂平面AEC，AE∩EC＝E， ∴平面AEC∥平面BFD1. 数学·必修第二册 目 录 知识点二 平面与平面平行的性质定理 02 PART 目 录 问题2　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？ 平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？ 提示：直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面. 当a与b不异面，即a与b在同一个平面内时，a与b平行. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那 么两条交线 ⁠ 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ ⁠ 图形语言 提醒：该定理涉及三个平面两条直线，可简记：若面面平行，则线线平行. 平行　 a∥b　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接PM，N是PM与DE的交点，连接CM，NF，求证：NF∥CM. 证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB. 又DE⊄平面 ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂ 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 应用面面平行性质定理的基本步骤 数学·必修第二册 目 录 训练2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F. （1）求证：四边形BFD1E为平行四边形； 解：证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1， 由面面平行的性质定理知BE∥FD1，同理BF∥D1E， ∴四边形BFD1E为平行四边形. 数学·必修第二册 目 录 （2）试确定点F的位置. 解：取BB1的中点M，连接MC1，ME，如图， ∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点， ∴ME􀰿A1B1， 又A1B1􀰿C1D1，∴ME􀰿C1D1， ∴四边形D1EMC1为平行四边形，∴D1E∥MC1， 又D1E∥BF，∴MC1∥BF，又C1F∥BM， ∴四边形MBFC1为平行四边形， ∴BM＝C1F，∴F为棱CC1的中点. 数学·必修第二册 目 录 知识点三 与性质定理有关的计算问题 03 PART 目 录 【例3】　如图，已知平面α∥β，P∉α，且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6， AC＝9，PD＝8，求BD的长. 解：因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为 α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD， 所以AB∥CD，所以 ＝ ，即 ＝ ，解得BD＝ ，故BD的长为 . 数学·必修第二册 目 录 变式　将本例改为：若点P位于平面 α，β之间（如图），其他条件不变， 试求BD的长. 解：与本例同理，可证得AB∥CD，所以 ＝ ，即 ＝ ，解得BD ＝24，故BD长为24. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 与面面平行的性质有关的计算的三个关键点 （1）根据已知的面面平行关系推出线线平行关系； （2）在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理推 出有关线段的关系； （3）利用所得关系计算求值. 数学·必修第二册 目 录 训练3　如图所示， 在棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周长是9，求△BCD的周长. 解：因为平面EFG∥平面BCD，平面EFG∩平面 ABC＝EG，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以EG∥BC，所以 ＝ ＝ ，同理 ＝ ＝ ，所以△EFG与△BDC的周长之比为1∶3， 而△EFG的周长是9，故△BCD的周长为9×3＝27. 数学·必修第二册 目 录 04 PART 提能点 线线、线面、面面平行的转化 目 录 【例4】　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形. （1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1； 证明：由题设知BB1􀰿DD1，所以四边形BB1D1D 是平行四边形，所以BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1， 所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1􀰿B1C1􀰿BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C. 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1. 又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1. 数学·必修第二册 目 录 （2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l. 证明：由（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面 ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD， 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种 平行关系不是孤立的，而是相互联系，可以相互转化.所以要解决平行关 系的综合问题，必须要灵活运用三种平行关系的相互转化. 数学·必修第二册 目 录 训练4　如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE. 求证： （1）MN∥平面PAD； 证明：如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ. 在△PCD中，N，Q分别是PC，DC的中点， 所以NQ∥PD， 又NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， 所以NQ∥平面PAD. 数学·必修第二册 目 录 因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形， 所以MQ∥AD，又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以MQ∥平面PAD. 因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面PAD. 因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD. （2）MN∥PE. 证明：由（1）知，平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE， 所以MN∥PE. 数学·必修第二册 目 录 1. 两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是 （　　） A. 两两相互平行 B. 两两相交于同一点 C. 两两相交但不一定交于同一点 D. 两两相互平行或交于同一点 √ 数学·必修第二册 目 录 2. （2025·周口月考）平面α与平面β平行的条件可以是（　　） A. α内有无穷多条直线都与β平行 B. 直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内 C. α内的任意直线都与β平行 D. 直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α 解析：　在A中，α内有无穷多条直线都与β平行，则α与β相交或平行，故 A错误；在B中，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，则α与β 相交或平行，故B错误；在C中，α内的任意直线都与β平行，则可得α∥β， 故C正确；在D中，直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α，则α与β相 交或平行，故D错误. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若 PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝ ⁠. 解析：∵平面α∥平面β，α∩平面PAB＝CD，β∩平面PAB＝AB， ∴CD∥AB，则 ＝ ，∴AB＝ ＝ ＝ . 　 数学·必修第二册 目 录 4. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分 别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF. 数学·必修第二册 目 录 证明：在△CEF中，因为点G，H分别是CE，CF的中点， 所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以GH∥平面AEF. 如图，设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为 OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF， 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）平面与平面的判定定理； （2）平面与平面的性质定理； （3）与性质定理有关的计算问题； （4）线线、线面、面面平行的转化. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 注意区分“两条相交直线”与“两条直线”、“无数条直线”与“任意 直线”的不同. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，m∥β，若使α∥β成立，则 需增加的条件是（　　） A. n是直线且n⊂α，n∥β B. n，m是异面直线且n∥β C. n，m是相交直线且n⊂α，n∥β D. n，m是平行直线且n⊂α，n∥β 解析：　要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，n，m是相交直线且n⊂α，n∥β，m⊂α，m∥β，由平面与平面平 行的判定定理可得α∥β.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，那么a与b的位置关 系可能是（　　） A. 平行或相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 平行、相交或异面 解析：当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，显然满足题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β，平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 在下列四个正方体中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平 面ABC∥平面DEF的是（　　） 解析：　B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF， BC∥平面DEF. 又AB∩BC＝B，且AB，BC⊂平面ABC，所以平面 ABC∥平面DEF. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　　） A. 1个或2个 B. 0个或1个 C. 1个 D. 0个 解析：　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使 β∥α；②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少 有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行 的平面.故满足条件的平面有0个或1个. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD 的中心，E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面 平行的是（　　） A. 平面ABB1A1 B. 平面BCC1B1 C. 平面BCFE D. 平面DCC1D1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　如图所示，分别取AB，DC的中点E1和F1， OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1，因为A1E＝BE1， A1E∥BE1，所以四边形A1E1BE为平行四边形，所以 A1E1∥BE. 根据线面平行的判定定理，可得A1E1∥平面 BCFE，同理可得E1F1∥平面BCFE，再根据面面平行的判定定理，可得平面A1E1F1D1∥平面BCFE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直 线，则下列命题中正确的是（　　） A. ⇒a∥b B. ⇒a∥b C. ⇒α∥β D. ⇒a∥b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　对于A，由基本事实4可知，A正确；对于B，两条直线都与同 一个平面平行，则这两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故B不 正确；对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可能平行， 也可能相交，故C不正确；对于D，由面面平行的性质定理可知，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 〔多选〕如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝ 2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则（　　） A. EF∥D1C B. EF＝ a C. CF＝ a D. 三棱锥A-EFC的体积为 a3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　如图，连接AC，A1B，因为在正方体中， 平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面EFCD1 ＝EF，平面CDD1C1∩平面EFCD1＝CD1，根据面面平 行的性质定理可得EF∥D1C，故A正确；易知 A1B∥D1C，所以EF∥A1B，又A1E＝2EA，所以AF＝ AB，故EF＝ A1B＝ a，故B错误；CF＝ ＝ a，故C错误；VA-EFC＝VE-AFC＝ × a× × a×a＝ a3，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ 依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB＝EF＝3，BC＝4，则DE＝ ⁠. 解析：如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG， AD，CF，设l与CD确定的平面为α1，因为α∩α1＝AD， β∩α1＝BG，且α∥β，所以AD∥BG，所以 ＝ ，同理可得，GE∥CF， ＝ ，所以 ＝ ，所以DE＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 如图，P是△ABC所在平面外一点，A'，B'，C'分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系为 ⁠. 平行　 解析：如图，连接PA'，PC'并延长，分别交BC，AB于点 M，N，连接MN. ∵A'，C'分别是△PBC，△PAB的重 心，∴PA'＝ PM，PC'＝ PN，∴A'C'∥MN. ∵MN⊂平面ABC，A'C'⊄平面ABC，∴A'C'∥平面ABC. 同理，A'B'∥平面ABC. 又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B'⊂平面A'B'C'， ∴平面A'B'C'∥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中 点. （1）求证：EF∥平面BCC1B1； 解： 证明：因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中 点，所以EF∥A1A. 因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B. 又因为EF⊄平面 BCC1B1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以EF∥平面BCC1B1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1，证明你的结论. 解：存在.证明如下：取BC1中点为G，连接GE， GF，又因为E为AC1的中点，所以GE∥AB. 因为EG⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1， 所以EG∥平面ABB1A1. 同理可证EF∥平面ABB1A1.又因为EF∩EG＝E，EF， EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1， 所以在线段BC1上存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中点， 点N在线段AB上，AB＝4BN. 若MN∥平面ADD'A'，则此棱台上下底面 边长的比值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　设E为CD的中点，G为EC的中点，连接MG，NG，C'E，则 NG∥AD，则平面MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分别交平面MNG和平 面ADD'A'于直线MG，DD'，则MG∥DD'.因为E为CD的中点，G为EC的 中点，M为CC'的中点，所以DD'∥C'E∥MG，所以DEC'D'为平行四边形， 棱台上下底面边长的比值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且 m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④ n∥β.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成下列四个命题，其中为 真命题的是（　　） A. ①②③⇒④ B. ①③④⇒② 解析： 　若①α∥β，②m∥n，③m∥α，且n⊄β，有④n∥β成立，A正 确；若①α∥β，③m∥α，④n∥β，则m，n可能相交、平行或异面，B错 误；若①α∥β，②m∥n，④n∥β，且m⊄α，所以有③m∥α成立，C正确；若②m∥n，③m∥α，④n∥β，则平面α，β可能相交、平行，D错误. C. ①②④⇒③ D. ②③④⇒① √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足 时，有MN∥平面B1BDD1. M在线段FH上　 解析：连接HN，FH，FN（图略）.∵HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF ＝H，BD∩DD1＝D，HN，HF⊂平面FHN，DB，DD1⊂平面 B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1.∵点M在四边形EFGH的边上及其内 部运动，平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴M∈FH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 求证：（1）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平 面平行； 证明：已知平面α，β，γ，且α∥β，γ∥β，如图所示， 在平面α，β，γ内各取一点A，B，C，过AB作两个平面， 与α的交线分别为a，b，与β的交线分别为c，d. 设过BC和c的平面与γ的交线为e，过BC和d的平面与γ的 交线为f，由两个平面平行的性质定理知a∥c，b∥d， c∥e，d∥f，∴a∥e，b∥f，∵a⊄γ，e⊂γ，b⊄γ，f⊂γ，∴a∥γ，b∥γ，又a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，∴α∥γ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 证明：已知点P∉平面α.假设过点P存在两个平面β，γ都平行于α，即 α∥β，α∥γ.如图所示， 设直线a⊂平面α，则P∉a， 由a和P确定一个平面设为σ， 则σ∩β＝b，σ∩γ＝c，则b∩c＝P， 由两平面平行的性质定理可得，a∥b，a∥c，则b∥c. 这与b∩c＝P矛盾，故假设错误，即经过平面外一点有且只有一个平面与 已知平面平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形 ABEF可沿AB任意翻折. （1）求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解：证明：在平面图形中，设MN与AB交于点G. 由于四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD＝AF，因此有AD∥BE且AD＝BE， ∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥DB. 又∵AM＝DN，∴四边形ADNM 为平行四边形，∴MN∥AD. 折叠之后，MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G， AD∩AF＝A，示意图如图1，∴平面FAD∥平面GNM. 又∵MN⊂平面GNM，∴MN∥平面FAD. ∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论 正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件 使上述结论成立，并给出理由. 解：这个结论不正确. 要使结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下： 当F，A，D共线时，由平面图形，易证得FD∥MN. 折叠后，当F，A，D不共线时，由（1）知平面MNG∥平 面FDA，可知要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质 定理，只要FD与MN共面即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可. 由平面图形知，若要DN和FM共面， 则DN与FM相交于点B（M，N分 别为AE，DB的中点才能实现），折叠后的图形如图2. ∵FM∩DN＝B， ∴可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面. 又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平 面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $