1 8.4.1 平面（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面的概念、基本事实及推论，通过“自行车脚撑停稳”的生活实例导入，衔接点线面位置关系，为空间几何后续学习搭建直观认知支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过思考问题、即时练及跟踪训练，强化文字、图形、符号语言转化，如共面问题证明中用纳入平面法培养逻辑推理。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建空间观念，也为教师提供结构化教学资源。

8．4　空间点、直线、 平面之间的位置关系 8．4.1　平　面 1 新课导入 学习目标 同学们在生活中都有 这样的常识，停自行车时， 要打开脚撑．结合数学知 识谈谈为什么打开脚撑后自行车就能停稳呢？ 1.了解平面的概念，点、线、面之间的关系． 2．了解平面的基本事实及推论． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 4 提示：无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等． 返回导航 [知识梳理] 1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周____________的． 无限延展 返回导航 2．平面的画法及表示法 我们常用矩形的直观图，即________________表示平面． 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向，如图1；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向，如图2.   图1中的平面可表示为________、________________、________________或者________________． 平行四边形 平面α 平面ABCD 平面AC 平面BD 返回导航 3．点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面． 文字语言 图形语言 符号语言 A在l上   A___l A在l外   A_____l A在α内   A_____α ∈ ∉ ∈ 返回导航 文字语言 图形语言 符号语言 A在α外   A_____α l在α内   l_____α l在α外   l_____α ∉ ⊂ ⊄ 返回导航 文字语言 图形语言 符号语言 l，m相交于A   l∩m＝A l，α相交于A   l∩α＝A α，β相交于l   α∩β＝l 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)平行四边形是一个平面．(　　) (2)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.(　　) (3)一个平面可以将空间分成两部分．(　　) (4)平面只能用希腊字母表示，如：平面α，平面β，平面γ.(　　) × √ √ × 返回导航 2．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　)   A.平面MN B．平面NQ C.平面α D．平面MNPQ 解析：表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面NQ.由题可知A错误，B，C，D正确． √ 返回导航 3．如图所示，A是点，m，n是直线，α，β是平面，则其中点、线、面的位置关系，用符号语言表示正确的是(　　)  A.α∩β＝m，n⊂α，A⊂α，A⊂β B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A D.α∩β＝m，n∈α，A∈α，A∈β 解析：点和面、点和线的关系用“∈”或“∉”表示，故A错误； 线面关系用“⊂”或“⊄”表示，故B，D错误； 根据题图有α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故C正确． √ 返回导航 平面概念的理解 (1)平面是原始概念，只能加以描述； (2)三角形、平行四边形、圆等都是平面图形，可以表示平面； (3)要注意符号语言的意义如点与直线、点与平面的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示． 返回导航 二　平面的基本事实及推论 思考1　我们知道，两点确定一条直线，要确定一个平面需要几个点呢？过空间一点有几个平面？两个点呢？三个点呢？ 提示：不共线的三个点；无数个平面；无数个平面；如果三点共线，则有无数个平面，如果三点不共线，有唯一的一个平面． 返回导航 思考2　如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？如果直线与平面有两个公共点，直线在平面内吗？ 提示：不在；在． 思考3　我们把三角尺的一个顶点直立在桌面上，则该三角尺所在的平面与桌面所在的平面是否只有一个公共点？ 提示：不是． 返回导航 [知识梳理] 1．三个基本事实 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实1 过_______一条直线上的三个点，______________一个平面   A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 不在 有且只有 返回导航 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实2 如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内   A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒_______ 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的______________   P∈α，且P∈β⇒__________，且_______ 两个点 l⊂α 公共直线 α∩β＝l P∈l 返回导航 2.基本事实的推论 推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线_______一点，有且只有一个平面   A∉a⇒有且只有一个平面α，使A∈α，a⊂α 推论2 经过两条_______直线，有且只有一个平面   a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过两条_______直线，有且只有一个平面   a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 外 相交 平行 返回导航 角度1　共面问题 [例1] 直线a∥b，b∥c，直线l和a，b，c分别交于点A，B，C，求证：a，b，c，l共面．  【证明】　因为a∥b，所以a和b确定平面α. 因为A∈a，所以A∈α，同理B∈α. 由基本事实2得l⊂α.又因为b∥c， 所以b和c确定平面β.同理l⊂β. 故b⊂α且b⊂β，l⊂α且l⊂β， 由推论2得，α与β重合．所以a，b，c，l共面． 返回导航 证明点、线共面的常用方法 (1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内； (2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． (3)直接利用基本事实的三个推论． 返回导航 [跟踪训练1] 如图所示，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A，B，C.求证：直线AB，BC，AC共面． 证明：因为直线AB和AC相交于点A， 所以直线AB和AC可确定一个平面，记为α. 因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，所以BC⊂α. 因此，直线AB，BC，AC都在平面α内，即它们共面． 返回导航 角度2　共线问题 [例2] 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1上的点且D1F∩CE＝M. 求证：点D，A，M三点共线．  【证明】　因为D1F∩CE＝M，且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA， 同理M∈平面ABCD， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，所以M∈AD. 所以点D，A，M三点共线． 返回导航 证明三点共线的方法 返回导航 [跟踪训练2] 已知△ABC三边AB，BC，AC所在直线分别与平面α交于P，Q，R三点，求证：P，Q，R三点共线． 证明：因为A，B，C是不在同一直线上的三点， 所以过A，B，C三点有且只有一个平面β. 又因为AB∩α＝P，且AB⊂β，所以P∈α，P∈β， 设α∩β＝l，则P∈l. 同理可证Q∈l，R∈l， 所以P，Q，R三点共线． 返回导航 角度3　共点问题 [例3] 如图所示，已知四面体A-BCD中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形EFHG是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 返回导航 【证明】　因为四边形EFHG是梯形，所以其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点P， 因为EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又因为平面ABC∩平面ACD＝AC， 所以P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 返回导航 证明三线共点的步骤 返回导航 [跟踪训练3] 已知空间中三个平面两两相交于三条直线，且这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点． 证明：如图，因为β∩γ＝a，γ∩α＝b， 所以a⊂γ，b⊂γ，a⊂β，b⊂α， 因为a与b不平行，故a与b相交，设交点为P， 则P∈a且P∈b， 因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α， 又因为α∩β＝c，所以P∈c， 所以a，b，c交于同一点P， 故a，b，c三条直线必相交于一点． 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 30 1．若一直线a在平面α内，则正确的作图是(　　)   解析：B中直线a不应超出表示平面α的平行四边形； C中直线a不在平面α内； D中直线a与平面α相交． √ 返回导航 2．(多选)下列命题正确的是(　　) A.三角形是平面图形 B.四边形是平面图形 C.四边相等的四边形是平面图形 D.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c不一定共面 √ √ 返回导航 解析：对于A，根据平面的概念和相关的基本事实可知，三角形一定是平面图形，故A正确； 对于B，C，如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ACB1D1的四边均相等，但是四边形ACB1D1不是平面图形，故B，C错误； 对于D，若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能不共面，如图在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，直线BC与BB1共面，直线BC与DC共面，但直线BB1与DC不共面，故D正确． 返回导航 3．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______________． 解析：由点A在直线l上，得A∈l，由l在平面α外，得l⊄α. A∈l，l⊄α 返回导航 4．(教材P132T8改编)如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．   证明：因为AB∥CD，所以AB，CD共面，记为β. 则B∈β，D∈β，AC⊂β. 又E∈AC，所以E∈β. 由AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E， 可知B，E，D为平面α与平面β的公共点， 所以B，E，D均在平面α与平面β的交线上，即B，D，E三点共线． 返回导航 1．已学习：平面的概念、三个基本事实及推论． 2．须贯通：规范立体几何中三种语言，能熟练进行它们之间的相互转换；在处理点线共面、点共线及线共点问题时初步体会三个基本事实的作用． 3．应注意：(1)三种语言的相互转化； (2)三个基本事实及推论的条件． 返回导航 思考　 生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？ $