3 6.2.3 向量的数乘运算（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦向量的数乘运算，涵盖概念、几何意义、运算律及共线定理。通过蚂蚁匀速运动的位移实例导入，从具体情境抽象出数乘概念，搭建从向量加法到数乘运算的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实情境，用“数学思维”类比实数运算律，借“数学语言”表述共线定理。通过即时练辨析概念，例题与跟踪训练强化运算，小结系统梳理知识，助力学生深化理解，便于教师高效教学。

6．2.3　向量的数乘运算 1 新课导入 学习目标 一只蚂蚁做匀速直线运动，如果它向东运动1秒的位移对应的向量记为a，那么它向东运动3秒的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的向量的数乘运算． 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义． 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算． 3．理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线的问题． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 提示：a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a的长度的3倍，与a的方向相反． 返回导航 [知识梳理] 文字表述 规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的数乘，记作_____ 规定 长度 |λa|＝_____ 方向 当λ>0时，λa的方向与a的方向_____ 当λ<0时，λa的方向与a的方向_____ 当λ＝0时，λa＝_____ 向量 λa |λ||a| 相同 相反 0 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若λ＝0，则λa＝0.(　　) (2)若λa＝0，则λ＝0且a＝0.(　　) (3)对于非零向量a，向量3a与向量－2a方向相反．(　　) (4)对于非零向量a，－8a的模是4a的模的－2倍.(　　) × × √ × 返回导航 2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　) A．a与λ2a的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C．|λa|＝λ|a| D．|－λa|＝－λ|a| 解析：因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故A正确； 当λ<0时，a与－λa的方向相同，故B错误； 当λ<0时，λ|a|<0，故C错误； 当λ>0时，－λ|a|<0，故D错误． √ 返回导航 3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 返回导航 向量的数乘运算的两个注意点 (1)数乘向量仍是向量． (2)判断两向量的关系时，应注意方向和大小． 返回导航 提示：ab＝ba(交换律)，(ab)c＝a(bc)(结合律)，a(b＋c)＝ab＋ac(分配律). 返回导航 [知识梳理] 1．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa)＝________； (2)(λ＋μ)a＝________； (3)λ(a＋b)＝________． 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. (λμ)a λa＋μa λa＋λb 返回导航 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________． λμ1a±λμ2b 返回导航 角度1　计算与化简 [例1] 化简下列向量运算； (1)4(a＋b)－3(a－b)－8b； 【解】　4(a＋b)－3(a－b)－8b＝4a＋4b－3a＋3b－8b＝a－b. (2)3(a－2b＋c)＋4(c－a－b)； 【解】　3(a－2b＋c)＋4(c－a－b)＝3a－6b＋3c－4a－4b＋4c＝－a－10b＋7c. 返回导航 返回导航 向量线性运算的基本方法 (1)向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 用已知向量表示未知向量的一般步骤   注意　用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系． 返回导航 [跟踪训练1] (1)若向量a＝－i＋2j＋4k，b＝3i－2j－k，则2a－3b＝(　　) A．11i－2j＋5k B．－11i－2j＋5k C．－11i＋10j＋11k D．11i－10j－11k 解析：因为a＝－i＋2j＋4k，b＝3i－2j－k，所以2a－3b＝2(－i＋2j＋4k)－3(3i－2j－k)＝－11i＋10j＋11k. √ 返回导航 返回导航 思考　引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 提示：实数与向量的积与原向量共线． 返回导航 [知识梳理] 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_______． 提醒　定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. b＝λa 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)(对接教材例8)已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋6e2，且a∥b，则k＝________． －9 返回导航 利用向量共线求参数的方法 首先引入参数，利用共线得到两个向量的关系式，再根据已知向量不共线得到对应系数相等，通过解方程组求参数． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 3 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 1．(教材P16T2改编)已知向量a，b，化简4a＋3b＋2(a－b)＝(　　) A．3a－2b B．2a－4b C．6a＋b D．4a＋b 解析：4a＋3b＋2(a－b)＝4a＋3b＋2a－2b＝6a＋b. √ 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：向量的数乘及运算律、向量共线定理． 2．须贯通：用已知向量表示未知向量，通过向量的线性运算，借助向量共线定理，解决三点共线及求参数问题，体现了数形结合思想． 3．应注意：利用向量共线定理易忽略零向量这一特殊情况． 返回导航 eq \a\vs4\al(一　向量的数乘运算) 思考　已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？ 解析：因为b与a的方向相反，可设a＝λb(λ<0)，所以|a|＝|λ||b|，所以5＝7|λ|，所以λ＝± eq \f(5,7)，又因为λ<0，所以λ＝－ eq \f(5,7). － eq \f(5,7) eq \a\vs4\al(二　向量的线性运算) 思考　实数的乘法满足哪些运算律？ (3) eq \f(1,3)[ eq \f(1,2)(2a＋8b)－(4a－2b)]. 【解】　 eq \f(1,3)[ eq \f(1,2)(2a＋8b)－(4a－2b)]＝ eq \f(1,6)(2a＋8b)－ eq \f(1,3)(4a－2b)＝ eq \f(1,3)a＋ eq \f(4,3)b－ eq \f(4,3)a＋ eq \f(2,3)b＝－a＋2b. 角度2　用已知向量表示未知向量 [例2] (对接教材例6)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD且DC＝2AB，E为BC上一点且BE＝2EC，设 eq \o(DC,\s\up16(→))＝a， eq \o(DA,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(DE,\s\up16(→))＝(　　) A． eq \f(5,6)a＋ eq \f(1,2)b B． eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,2)b C． eq \f(5,6)a＋ eq \f(1,3)b D． eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b 【解析】　 eq \o(DE,\s\up16(→))＝ eq \o(DC,\s\up16(→))＋ eq \o(CE,\s\up16(→))＝ eq \o(DC,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(CB,\s\up16(→))＝ eq \o(DC,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3)( eq \o(DB,\s\up16(→))－ eq \o(DC,\s\up16(→)))＝ eq \o(DC,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3)( eq \o(DA,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(DC,\s\up16(→)))＝ eq \f(2,3) eq \o(DC,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(DC,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up16(→))＋ eq \f(1,6) eq \o(DC,\s\up16(→))＝ eq \f(5,6) eq \o(DC,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up16(→))＝ eq \f(5,6)a＋ eq \f(1,3)b. (2)已知C为线段AB上一点，且AC＝2CB，若O为直线AB外一点，用 eq \o(OA,\s\up16(→))， eq \o(OB,\s\up16(→))表示 eq \o(OC,\s\up16(→))，则 eq \o(OC,\s\up16(→))＝_________________． 解析：如图， eq \o(OC,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \f(2,3)( eq \o(OB,\s\up16(→))－ eq \o(OA,\s\up16(→)))＝ eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(OB,\s\up16(→)). eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(OB,\s\up16(→)) eq \a\vs4\al(三　向量共线定理) 角度1　证明向量共线、三点共线 [例3] (对接教材例7)已知 eq \o(AB,\s\up16(→))＝2a＋10b， eq \o(BC,\s\up16(→))＝－2a＋8b， eq \o(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)，且a，b不共线，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【解析】　因为 eq \o(AB,\s\up16(→))＝2a＋10b， eq \o(BC,\s\up16(→))＝－2a＋8b， eq \o(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)，且a，b不共线，所以 eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b.因为 eq \o(AB,\s\up16(→))＝2a＋10b，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))＝2 eq \o(BD,\s\up16(→))，即 eq \o(BD,\s\up16(→))与 eq \o(AB,\s\up16(→))共线且有公共点B，则A，B，D三点共线． 判断向量共线或三点共线的方法 (1)判断向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一实数λ，使得b＝λa(a≠0). (2)一般来说，要判断A，B，C三点共线，只需看是否存在实数λ，使得 eq \o(AB,\s\up16(→))＝λ eq \o(AC,\s\up16(→))(或 eq \o(BC,\s\up16(→))＝λ eq \o(AB,\s\up16(→))等)即可． 角度2　利用向量共线求参数 [例4] (1)如图，在△ABC中， eq \o(AN,\s\up16(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(NC,\s\up16(→))，P是BN上一点．若 eq \o(AP,\s\up16(→))＝m eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(2,11) eq \o(AC,\s\up16(→))，则实数m的值为(　　) A． eq \f(9,11) B． eq \f(2,11) C． eq \f(3,11) D． eq \f(1,11) 【解析】　由题意可得 eq \o(AC,\s\up16(→))＝5 eq \o(AN,\s\up16(→))，则 eq \o(AP,\s\up16(→))＝m eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(2,11)×5 eq \o(AN,\s\up16(→))＝m eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(10,11) eq \o(AN,\s\up16(→)).因为B，P，N三点共线，所以m＋ eq \f(10,11)＝1，即m＝ eq \f(1,11). 【解析】　因为a∥b，所以∃λ∈R，使得b＝λa成立，即ke1＋6e2＝3λe1－2λe2. 因为e1，e2不共线，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝3λ，,6＝－2λ，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,k＝－9.)) 常用结论　(1)若O为直线AB外一点，且 eq \o(OA,\s\up16(→))＝x eq \o(OB,\s\up16(→))＋y eq \o(OC,\s\up16(→))，则A，B，C三点共线的充要条件是x＋y＝1. (2)若a与b不共线，则λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b的充要条件是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ1－λ2＝0，,μ2－μ1＝0.)) [跟踪训练2] (1)若点M满足向量2 eq \o(OM,\s\up16(→))＝3 eq \o(OA,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→))，则点M与AB的位置关系是(　　) A．点M为线段AB的中点 B．点M在线段AB的延长线上 C．点M在线段BA的延长线上 D．点M在线段AB上 解析：因为2 eq \o(OM,\s\up16(→))＝3 eq \o(OA,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→))， 即2( eq \o(OM,\s\up16(→))－ eq \o(OA,\s\up16(→)))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→))， 可得2 eq \o(AM,\s\up16(→))＝ eq \o(BA,\s\up16(→))， 所以点M在线段BA的延长线上． (2)已知e1，e2是平面内不共线的两向量， eq \o(AB,\s\up16(→))＝e1－ke2， eq \o(CB,\s\up16(→))＝3e1＋4e2， eq \o(CD,\s\up16(→))＝4e1＋e2，若A，B，D三点共线，则k＝________． 解析：由 eq \o(CB,\s\up16(→))＝3e1＋4e2， eq \o(CD,\s\up16(→))＝4e1＋e2， 得 eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(CD,\s\up16(→))－ eq \o(CB,\s\up16(→))＝e1－3e2， 由A，B，D三点共线，得 eq \o(AB,\s\up16(→))∥ eq \o(BD,\s\up16(→))， 所以∃λ∈R，使得 eq \o(AB,\s\up16(→))＝λ eq \o(BD,\s\up16(→))成立， 即e1－ke2＝λe1－3λe2， 因为e1，e2不共线， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝λ，,－k＝－3λ，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝1，,k＝3.)) 2．(多选)在平行四边形ABCD中， eq \o(AD,\s\up16(→))＝a， eq \o(AB,\s\up16(→))＝b， eq \o(AC,\s\up16(→))＝c，M是CD边上的中点，则 eq \o(AM,\s\up16(→))可以表示为(　　) A．c－ eq \f(1,2)b　B．c＋2b　C．a＋ eq \f(1,2)b　D．a－ eq \f(1,2)b 解析：易知 eq \o(AM,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(CM,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \o(AC,\s\up16(→)))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)c，且c＝a＋b，所以 eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)c＝ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)(a＋b)＝a＋ eq \f(1,2)b； eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)c＝ eq \f(1,2)(c－b)＋ eq \f(1,2)c＝c－ eq \f(1,2)b. 3．(教材P15T2改编)若非零向量 eq \o(P1P,\s\up16(→))＝ eq \f(3,4) eq \o(PP2,\s\up16(→))，且设 eq \o(P2P,\s\up16(→))＝λ eq \o(P1P2,\s\up16(→))，则实数λ＝________． 解析：因为 eq \o(P1P,\s\up16(→))＝ eq \f(3,4) eq \o(PP2,\s\up16(→))，所以 eq \o(P1P2,\s\up16(→))＋ eq \o(P2P,\s\up16(→))＝－ eq \f(3,4) eq \o(P2P,\s\up16(→))，所以 eq \o(P1P2,\s\up16(→))＝－ eq \f(7,4) eq \o(P2P,\s\up16(→))，所以 eq \o(P2P,\s\up16(→))＝－ eq \f(4,7) eq \o(P1P2,\s\up16(→))，因为 eq \o(P2P,\s\up16(→))＝λ eq \o(P1P2,\s\up16(→))，所以λ＝－ eq \f(4,7). － eq \f(4,7) 4．设两个非零向量e1，e2不共线，已知 eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e1＋ke2， eq \o(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2， eq \o(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值． 解：因为 eq \o(DB,\s\up16(→))＝ eq \o(CB,\s\up16(→))－ eq \o(CD,\s\up16(→))＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2， eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e1＋ke2. 又因为A，B，D三点共线， 所以存在λ∈R，使 eq \o(AB,\s\up16(→))＝λ eq \o(DB,\s\up16(→))， 所以2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＝－λ，,k＝4λ，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,k＝－8，)) 所以k＝－8. $