1 10.1.1 有限样本空间与随机事件（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“有限样本空间与随机事件”核心知识点，从随机现象切入，通过取球、掷骰子等试验抽象出随机试验的定义及特点，进而明确样本点、样本空间概念，再以样本空间子集定义随机事件、必然事件、不可能事件，构建从具体到抽象的知识支架。 该资料以生活实例（如抛掷硬币、彩票中奖）导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过列表法、树状图法确定样本点，结合母题探究（放回与不放回取球对比）发展数学思维，用集合表示事件强化数学语言表达。课中助力教师引导有序探究，课后通过跟踪训练和即时练帮助学生巩固，查漏补缺。

10．1　随机事件与概率 10．1.1　有限样本空间与随机事件 新课导入 学习目标 　　抛掷一枚硬币出现正面、买一次彩票中一等奖、小明早晨上学迟到等常见的这类现象，就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫做随机现象．本节课我们来探究随机事件． 1.了解随机试验、样本点、样本空间的定义. 2.了解必然事件、不可能事件与随机事件的含义． 3.理解随机事件与样本点的关系． 做一个试验：一个盒子中有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从中任取一个小球． 思考1　可能的结果有哪些？ 提示：取出的球可能是1号、2号、3号或4号，共4个结果． 思考2　所有结果可否用一个集合来表示？ 提示：可以用集合{1，2，3，4}表示． [知识梳理] 1．随机试验 (1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． (2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2．样本点和样本空间 类别 定义 表示 样本点 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 ω 样本 空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 Ω 有限 样本 空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} [例1] 从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字． (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)写出“第1次取出的数字是2”这个试验相应的样本空间． 【解】　(1)“不放回地取两次”的数字构成的有序数对如下表： 第一次 第二次 0 1 2 0 × (0，1) (0，2) 1 (1，0) × (1，2) 2 (2，0) (2，1) × 所以这个随机试验的样本空间为Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}． (2)由(1)得“第1次取出的数字是2”这个试验相应的样本空间为{(2，0)，(2，1)}． 母题探究　本例中“不放回地取两次”变为“有放回地取两次”，对应问题的结果如何呢？ 解：(1)“有放回地取两次”的数字构成的有序数对如下表： 第一次 第二次 0 1 2 0 (0，0) (0，1) (0，2) 1 (1，0) (1，1) (1，2) 2 (2，0) (2，1) (2，2) 所以这个随机试验的样本空间为Ω＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}． (2)由(1)得若有放回地取两次，“第1次取出的数字是2”这个试验相应的样本空间为{(2，0)，(2，1)，(2，2)}． 确定样本点的三种方法 (1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本点归纳为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果，可以用树状图表示． [跟踪训练1] 连续抛掷3枚硬币，观察落地时这3枚硬币朝上的面的情况，试写出这个试验的样本空间． 解：画树状图如图所示． 因此这个试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}． 抛掷一枚骰子，观察其正面向上的点数，得到样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}． 思考1　事件A＝“点数为偶数”一定发生吗？ 提示：不一定，可能发生也可能不发生． 思考2　事件B＝“点数不超过6点”一定发生吗？ 提示：一定发生． 思考3　事件C＝“点数为0”会发生吗？ 提示：不会． [知识梳理] 随机 事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能 事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)“明天会下雨”是随机事件．(　　) (2)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是必然事件.(　　) (3)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件．(　　) (4)“抛掷一枚质地均匀的硬币三次，三次都正面向上”是不可能事件．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是(　　) A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 解析：选CD.对于A，因为25件同类产品中，有2件次品，则有23件正品，故从中任取3件产品，其中3件都是正品是可能的，是随机事件，不符合题意； 对于B，当从中任取的3件产品中有“2件正品1件次品”或“1件正品2件次品”时都表示至少有1件次品，故是随机事件，不符合题意； 对于C，因为25件同类产品中只有2件次品，故“3件都是次品”是不可能事件，符合题意； 对于D，因为25件同类产品中，有2件次品，故要从中任取3件产品不可能全是次品，即其中至少1件是正品，“至少有1件正品”是必然事件，符合题意． 3．有以下5个事件：①空间中任意三点可以确定一个平面；②同一年出生的367个人中至少有两个人的生日在同一天；③6个人的生日在不同月份；④抛掷两次骰子，点数和不小于2；⑤两条异面直线所成的角为钝角．其中，________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件．(填序号) 解析：因为空间中不共线的三点可以确定一个平面，所以事件①可能发生也可能不发生，故①是随机事件； 因为每年有365天或366天，所以事件②一定发生，故②是必然事件； 事件③可能发生也可能不发生，故③是随机事件； 因为抛掷两次骰子，点数和的可能结果是2，3，…，12，所以事件④一定发生，故④是必然事件； 因为两条异面直线所成的角的取值范围是，所以事件⑤不可能发生，故⑤是不可能事件． 答案：①③　②④　⑤ 判断事件类型的关注点 (1)明确试验条件，因为必然事件、不可能事件、随机事件都是相对于一定条件而言的． (2)明确研究事件是一定发生，不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． [例2] (对接教材例4)甲、乙两人玩出拳游戏(锤、剪、布)，用(x，y)表示结果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳． (1)写出这个试验对应的样本空间Ω； (2)写出事件A＝“甲赢”的集合表示； (3)说出事件B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}所表示的含义． 【解】　(1)由题意可知，样本空间Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}． (2)由题意可知，事件A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}． (3)由题意可知，事件B表示“平局”． 巧用集合表示随机事件 (1)首先明确事件的含义，即事件的等价关系，并将事件包含的样本点写出来，再用集合表示事件． (2)用集合表示事件时，为了方便，往往把样本点用数字、字母、有序实数对等表示，体现了数学符号的简洁之美． [跟踪训练2] 在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义. (1)事件A＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}； (2)事件B＝{(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}； (3)事件C＝{(1，3)，(3，1)，(4，2)，(2，4)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)}． 解：(1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中， 故事件A的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3. (2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两个数的和为6的样本点都在事件B中， 故事件B的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，两次掷出的点数之和为6. (3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中， 故事件C的含义为连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2. 1．(教材P231T1(5)改编)“某运动员射击3次，中靶次数”的样本空间是(　　) A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{1，2，…，10} D．{0，1，2，…，10} 解析：选B.射击3次，中靶次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间为Ω＝{0，1，2，3}． 2．(多选)下列事件中，是随机事件的是(　　) A．下一个路口碰到红灯 B．在标准大气压下，水在4 ℃时结冰 C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D．若x∈R，则|x|不小于0 解析：选AC.对于A，下一个路口碰到红灯是随机事件； 对于B，在标准大气压下水在0 ℃时结冰，则水在4 ℃时结冰是不可能事件； 对于C，从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签是随机事件； 对于D，若x∈R，则|x|不小于0是必然事件． 3．同时抛掷3枚质地均匀的硬币，观察落地后硬币正面向上还是反面向上，整个试验中事件“恰有一枚硬币正面向上”包含的样本点为________________________． 解析：“恰有一枚硬币正面向上”这一事件包含(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)3个样本点． 答案：(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正) 4．(教材P231T3改编)一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，标号为1，2，3，2个黑球，标号为4，5，从中一次摸出2个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)用集合表示事件A＝“2个球都是白球”． 解：(1)由题知，这个试验的样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个． (2)“2个球都是白球”等价于3个白球中任取两个，则事件A＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}． 1．已学习：随机试验及样本空间、随机事件及必然事件、不可能事件的含义． 2．须贯通：随机事件是借助于集合来定义的，所以应类比集合中的子集、全集、空集的概念来理解随机事件、必然事件、不可能事件；找样本点的三种方法：列举法、列表法、树状图法． 3．应注意：要按照一定的顺序列举样本点，做到不重不漏． 学科网（北京）股份有限公司 $