3 9.2.3 总体集中趋势的估计（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦总体集中趋势的估计，核心知识点包括众数、中位数、平均数的定义、计算及用样本估计总体的方法。承接前期样本分布规律学习，构建从分布特征到集中趋势参数的知识脉络，为统计分析奠定基础。 资料以问题导入引发思考，如通过厂家产品寿命案例培养用数学眼光观察现实世界的能力。结合实例计算与推理，如销售部销售量分析，发展数学思维。利用频率分布直方图估计参数，强化数学语言表达。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，查漏补缺。

9．2.3　总体集中趋势的估计 新课导入 学习目标 　　前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律．但有时候，我们可能更关注总体取值在某一方面的特征．例如，对于某县今年小麦的平均每公顷的产量；对于国民的平均身高、平均寿命等，这就是我们这节课所探讨的问题． 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数). 2．会求样本数据的众数、中位数、平均数． 3．理解集中趋势参数的统计含义． 思考　现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10 乙：4，6，6，6，8，9，12，13 丙：3，3，4，7，9，10，11，12 三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？ 提示：三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品．其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年． [知识梳理] 1．众数：一组数据中出现次数最多的数． 2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数). 3．平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)一组数据的平均数一定大于这组数据中的最小数据．(　　) (2)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(　　) (3)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　　) (4)一组数据的众数、中位数、平均数都可以是一个或多个．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(多选)某校“爱我中华”知识竞赛中，随机抽取30名选手，其得分情况如图所示．设得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则(　　) A．m＝5 B．n＝5 C.m> D．n< 解析：选BD.由题图可知，30名选手得分的中位数为第15个数和第16个数的平均数，即中位数m＝＝5.5，A错误；由题图可知，5出现的次数最多，所以众数n＝5，B正确；因为平均数＝×(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97，所以n<m<，故C错误，D正确．故选BD. 3．(2025·成都期末)已知一组数据1，2，0，－1，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为________． 解析：这组数据的平均数为1，则×(1＋2＋0－1＋x＋1)＝1，解得x＝3.将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1，则这组数据的中位数是(1＋1)÷2＝1. 答案：1 4．(2025·咸阳期末)某地气象局测得该地连续10天的最高气温分别为36，37，35，37，39，a，37，37，38，38(单位：℃)，若该组数据的平均数与众数相等，则a＝________． 解析：因为37出现4次，其余出现次数不超过3次，可知众数为37，由题意可得， ＝37， 解得a＝36. 答案：36 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大的顺序排列，再根据数据的个数是奇数还是偶数而定；众数是出现次数最多的数据，可以是一个，也可以是多个． 思考　平均数、众数、中位数都是反映一组数据的集中趋势，当该组数据增加或减少一个数据时，三者都会发生变化吗？ 提示：不一定．当该组数据增加或减少的一个数等于原来的平均数时，平均数不会变化；当该组数据增加的一个数等于众数时，众数不会变化；当该组数据增加的一个数等于中位数时，中位数不会变化． [知识梳理] 1．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关． 2．一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图1)，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(图2)，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”(图3)，那么平均数小于中位数．也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边． 3．一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数． [例1] (对接教材例5)某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17 乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57 (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 【解】　(1)甲群市民年龄的平均数为 ＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁，平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征． (2)乙群市民年龄的平均数为 ＝15(岁)，中位数为5.5岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差． 众数、中位数、平均数应用的关注点 (1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大． (2)中位数是样本数据所占频率的等分线，不受极端值的影响，当一组数据中存在极端值时，可用中位数描述这组数据的集中趋势． (3)众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征． [跟踪训练1] 某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下： 销售量/件 1 800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 (1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数； (2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额． 解：(1)平均数是 ＝320(件)； 题表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是210，因而中位数是210；而210出现了5次，次数最多，所以众数是210. (2)不合理． 因为15人中有13人的销售额不到320件，320件虽是所给一组数据的平均数，它却不能很好地反映销售人员的一般水平．销售额定为210件合理些，因为210件既是中位数，又是众数，且是大部分人能达到的定额． [例2] 某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，发现得分均在区间[30，90]内．现将100个样本数据按[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]分成6组，并整理得到如下频率分布直方图． (1)请估计样本数据的中位数(精确到0.1)； (2)请估计样本数据的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，精确到0.1). 【解】　(1)因为从左至右的前4组数据的频率之和为0.05＋0.1＋0.1＋0.2＝0.45，从左至右的前5组数据的频率之和为0.45＋0.3＝0.75，所以样本数据的中位数位于区间[70，80)内，设中位数为x，则0.45＋(x－70)×0.030＝0.5，所以x＝≈71.7. (2)样本数据的平均值为(35×0.005＋45×0.010＋55×0.010＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.025)×10＝68.5. 母题探究1　在本例条件下，请估计样本数据的众数． 解：由本例题图可知，该样本数据的众数约为＝75. 母题探究2　在本例条件下，学校决定表彰成绩排名前30%的学生，学生甲的成绩是76，请估计甲能否得到表彰，并说明理由． 解：表彰成绩排名前30%的学生，即可认为被表彰的最低成绩为学生成绩从小到大排列后的70%分位数，由本例(1)可知，成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.75，则被表彰的最低成绩为70＋×10≈78.333 3>76，所以估计学生甲不能得到表彰． 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与横轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． [跟踪训练2] (多选)为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班各随机抽查20名学生的物理成绩(均为整数)，得到如图所示的数据图(用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值).关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论错误的是(　　) A.甲班物理成绩的众数小于乙班物理成绩的众数的估计值 B.乙班物理成绩的第75百分位数为79 C.甲班物理成绩的中位数为74 D.甲班物理成绩的平均数大于乙班物理成绩的平均数的估计值 解析：选ABC.对于A，由题图知甲班物理成绩的众数为79，乙班物理成绩的众数的估计值为75，故A错误；对于B，因为10×(0.020＋0.025＋0.030)＝0.75，所以乙班物理成绩的第75百分位数为80，故B错误；对于C，甲班物理成绩从小到大排序的第10个、第11个数都是79，故中位数为79，故C错误；因为甲班物理成绩的平均数为×(57×2＋58＋59＋67＋68×2＋69×2＋79×6＋87＋88×2＋89＋98)＝74.8，乙班物理成绩的平均数的估计值为(55×0.020＋65×0.025＋75×0.030＋85×0.020＋95×0.005)×10＝71.5，故D正确．故选ABC. 1．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是(　　) A.极差 B．平均数 C.中位数 D．众数 解析：选C.根据中位数的定义，从小到大排序中间位置的数在去掉最大值与最小值前、后均不变，故C正确；其他三个量均有可能发生变化．故选C. 2．(多选)已知一组数据为－2，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，那么下列说法正确的是(　　) A.数据的中位数是6 B.数据的平均数是6 C.x＝6 D.x＝8 解析：选ABC.因为众数为6，所以x＝6，将这组数据按从小到大的顺序排列：－2，6，6，8，12，易知中位数为6，平均数为＝6.故选ABC. 3．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图所示．估计样本数据的50%分位数为________． 解析：依题意，产品数量在[45，55)的频率为0.020×10＝0.2，前两组的频率和为(0.020＋0.040)×10＝0.6，所以50%分位数应位于[55，65)内，由55＋10×＝62.5.所以估计样本数据的50%分位数为62.5. 答案：62.5 4．(教材P217T9改编)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下： 职务 董事长 副董 事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数(结果保留整数)； (2)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 解：(1)平均数是4 000＋ ≈4 000＋1 333＝5 333(元). 中位数是4 000元，众数是4 000元． (2)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司职工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平． 1．已学习：众数、中位数和平均数的定义及计算，总体集中趋势的估计． 2．须贯通：用频率分布直方图来估计总体的集中趋势． 3．应注意：平均数易受极端值影响． 学科网（北京）股份有限公司 $