2 9.2.2 总体百分位数的估计（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中总体百分位数的估计这一核心知识点，系统梳理百分位数的定义、计算步骤（排序、算i=n×p%、依i是否整数确定结果）及四分位数（第25、50、75百分位数），是中位数概念的延伸，为数据分析提供关键方法支架。 该资料以高校补考分数线情境导入，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过步骤化知识梳理和逻辑推理（如i是否整数的判断）发展数学思维，结合体重、学习时间等实例用数学语言解决问题。课中助力教师引导学生理解，课后帮助学生巩固练习、查漏补缺。

9．2.2　总体百分位数的估计 新课导入 学习目标 　　某高校的一次期末考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考，那么如何确定需要补考的分数线呢？ 1.理解百分位数的统计意义. 2.掌握求n个数据的第p百分位数的方法． 3.能在具体情境中运用百分位数解决问题． 思考1　请阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民用户月均用水量标准转化为数学问题具体指什么？ 提示：寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%. 思考2　你能制定一下具体方案吗？ 提示：把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间[13.6，13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分．一般地，我们取这两个数的平均数＝13.7. [知识梳理] 1．一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3．四分位数 第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 提醒　第50百分位数就是初中学过的中位数． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)第p百分位数一定是样本中的一个数．(　　) (2)若一组样本数据各不相等，则第75百分位数大于第25百分位数．(　　) (3)若一组样本数据的第10百分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.(　　) (4)一组数据中不同的百分位数一定不同．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．下列表述不正确的是(　　) A．50%分位数就是总体的中位数 B．对于任意一组数据，满足第p百分位数定义的值可能不唯一 C．一个总体的四分位数有4个 D．样本量越大，第p百分位数估计总体就越准确 解析：选C.一个总体的25%分位数，50%分位数，75%分位数是总体的四分位数，有3个，所以C不正确．　 3．某校高一年级共840名学生参加数学单元测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是85分，最多有________名学生的成绩大于85分． 解析：将840名学生的成绩按照由小到大的顺序排列，85分为第80百分位数，则小于或等于85分的人数占80%，因此成绩大于85分的学生最多占20%，人数为840×20%＝168，所以最多有168名学生的成绩大于85分． 答案：168 百分位数的特点 (1)第0百分位数、第100百分位数分别是数据中最小的数、最大的数． (2)一组数据的第p百分位数可能在这组数据中，也可能不在这组数据中． (3)一组数据的某些百分位数可能是同一个数． [例1] (对接教材例2)某中学从高一年级中抽取了30名男生，测量其体重，数据如下(单位：kg)： 62 60 59 59 59 58 58 57 57 57 56 56 56 56 56 56 55 55 55 54 54 54 53 53 52 52 51 50 49 48 (1)求这30名男生体重的25%，75%分位数； (2)估计本校高一男生体重的80%分位数． 【解】　(1)将题中数据按从小到大排序，可得 48 49 50 51 52 52 53 53 54 54 54 55 55 55 56 56 56 56 56 56 57 57 57 58 58 59 59 59 60 62 由25%×30＝7.5，75%×30＝22.5，则25%，75%分位数是第8，23项数据，分别为53，57. (2)由80%×30＝24，可知80%分位数为第24项与第25项数据的平均数，即×(58＋58)＝58. 据此可以估计本校高一男生体重的80%分位数约为58. (1)求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列． (2)一定要确定i＝n×p%的结果是否为整数． [跟踪训练1] (1)某平台向公众征集某电影的评分结果如表所示，根据表格信息我们可以估计其得分的60%分位数为(　　) 评分/分 1 2 3 4 5 人数占比/% 1 3.2 13.6 34.2 48 A．4 B．4.03 C．5 D．3 解析：选C.因为1%＋3.2%＋13.6%＋34.2%＝52%<60%， 52%＋48%＝100%>60%，所以60%分位数为5.故选C. (2)已知一组数据1，2，3，4，x的上四分位数是x，则x的取值范围为________． 解析：因为5×0.75＝3.75，且数据1，2，3，4，x的上四分位数是x，因此，数据由小到大依次为：1，2，3，x，4，故3≤x≤4.因此，实数x的取值范围是[3，4]. 答案：[3，4] [例2] 为了解学生的周末学习时间(单位：h)，高三年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息，回答下列问题． (1)求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数； (2)估计这40名学生周末学习时间的25%分位数． 【解】　(1)由题图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为(0.03＋0.015)×5＝0.225， 则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为40×0.225＝9. (2)学习时间在5小时以下的频率为0.02×5＝0.1<0.25， 学习时间在10小时以下的频率为0.1＋0.04×5＝0.3>0.25， 所以25%分位数在区间[5，10)内， 方法一：设25%分位数为x，则0.1＋(x－5)×0.04＝0.25，解得x＝8.75. 方法二：25%分位数为5＋5×＝8.75， 所以估计这40名学生周末学习时间的25%分位数为8.75. 频率分布直方图中第p百分位数的计算 (1)确定百分位数所在的区间[a，b). (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋×(b－a)或设第p百分位数为x，使得数据落在x左边区间内的百分比为p%，列出关于x的方程即可解得． [跟踪训练2] (1)如图是某高中学校2 000名男生的身高样本的频率分布直方图，估计该样本数据的53%分位数为(　　) A．177 B．178 C．179 D．180 解析：选C.因为(0.010＋0.025＋0.045)×10＝0.8>53%>(0.010＋0.025)×10＝0.35， 所以53%分位数在区间[175，185)内， 设为x，则0.35＋(x－175)×0.045＝0.53， 解得x＝179.故选C. (2)某次数学竞赛有1 000名学生参加，这1 000名同学考试成绩的频率分布直方图如图所示，若有160名同学获奖，则估计获奖同学的最低成绩为________分． 解析：依题意获奖的频率为＝0.16，又1－0.16＝0.84，设获奖同学的最低成绩为x，(0.02＋0.04)×10＝0.6<0.84，(0.02＋0.04＋0.03)×10＝0.9>0.84，所以x∈[80，90)，则0.6＋0.03(x－80)＝0.84，解得x＝88，所以估计获奖同学的最低成绩为88分． 答案：88 1．数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30%分位数为(　　) A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.3 解析：选A.因为8×30%＝2.4，故30%分位数是由小到大排列后的第三项数据8.4.故选A. 2. (多选)对于考试成绩的统计，如果你的成绩处在第95百分位数上，下列说法不正确的是(　　) A．你得了95分 B．你答对了95%的试题 C．至少有95%的考生得到了和你一样或比你还要低的分数 D．你排名在第95名 解析：选ABD.第95百分位数是指数据从小到大排序，有至少95%的数据小于或等于这个数，至少有5%的数据大于或等于这个数，故A，B，D不正确，C正确．故选ABD. 3．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，a，23，26，27，34，37，38，若该组数据的40%分位数为22，则a＝________． 解析：因为10×40%＝4，所以40%分位数是第4，5个数据的平均数，所以＝22，解得a＝21. 答案：21 4．(教材P204T1改编)某市政府计划对居民生活用水实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准w(单位：t)，用水量不超过w的部分按平价收费，超出w的部分按议价收费，该市随机调查了10 000户居民，获得了他们的月均用水量数据，整理得到频率分布直方图(如图)，则w应设定为多少(单位：t)，才能保障该市85%的居民用户的月均用水量不超出标准？ 解：因为(0.06＋0.08＋0.02)×5＝0.8<0.85， (0.06＋0.08＋0.02＋0.02)×5＝0.9>0.85， 所以w位于[15，20)之间， 所以0.8＋0.02(w－15)＝0.85， 解得w＝17.5， 即w应设定为17.5 t，才能保障该市85%的居民用户的月均用水量不超出标准． 1．已学习：百分位数的定义、样本百分位数的计算及应用． 2．须贯通：百分位数是中位数的推广，它和中位数一样，不一定是该组中的数据，但可以用于衡量数据的位置，求一组数据的百分位数要严格按照其步骤和规则进行． 3．应注意：由样本数据求第p百分位数时，应先将数据从小到大排列． 学科网（北京）股份有限公司 $