1 9.1.1 简单随机抽样（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦简单随机抽样核心知识点，先通过生活实例对比普查与抽样调查，明确总体、样本等概念，再学习简单随机抽样的定义及抽签法、随机数法，最后用样本均值估计总体均值，构建完整知识支架。 该资料以情境化导入（如牛奶抽检、火柴故事）和实例驱动（如零件抽样、午餐消费调查）为特色，通过问题链培养数学眼光与思维，课中即时练巩固概念，课后习题助于查漏补缺，提升数据应用能力。

9．1　随机抽样 9．1.1　简单随机抽样 新课导入 学习目标 　　在我国，食品安全问题越来越受到人们的关注．某报告称，食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率为99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？ 1.了解总体、样本、样本量的概念及数据的随机性. 2．通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程. 3．掌握两种简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 4．会计算样本均值，了解样本与总体的关系． 思考　有一天，爸爸让儿子去买一盒火柴，临出门前，爸爸嘱咐儿子要买能划燃的火柴，儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家． 爸爸问：“火柴能划燃吗？” “都能划燃．” “你这么肯定？” 儿子递过一盒划过的火柴，兴奋地说：“我每根都试过啦．” 在这个故事中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式为什么不好？适宜采用什么方法调查？ 提示：普查；这种调查方式具有破坏性；抽查． [知识梳理] 调查 方式 全面调查 抽样调查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查 相关 概念 总体：在一个调查中，把调查对象的全体称为总体 个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 样本：把从总体中抽取的那部分个体称为样本 样本量：样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)普查是要对所有的对象进行调查．(　　) (2)样本不一定是从总体中抽取的，没抽取的个体也是样本．(　　) (3)普查不是在任何情况下都能实现的．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．在以下调查中，适合用普查的是(　　) A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.调查一批LED灯的寿命 C.调查某城市居民的食品消费结构 D.调查一个班级学生的身高情况 解析：选D.对于A，每个批次生产的汽车的数量非常多，且调查汽车抗撞击能力具有破坏性，不适合使用普查，应使用抽样调查；对于B，调查一批LED灯的寿命具有破坏性，不适合使用普查，应使用抽样调查；对于C，某城市居民数量非常多，不适合使用普查，应使用抽样调查；对于D，一个班级的学生人数较少，适合用普查． 3．某学校为了了解高二年级1 200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是(　　) A.上述调查属于全面调查 B.每名学生是总体的一个个体 C.200名学生的视力是总体的一个样本 D.1 200名学生是总体 解析：选C.上述调查属于抽样调查，故A错误；每名学生的视力是总体的一个个体，故B错误；200名学生的视力是总体的一个样本，故C正确；1 200名学生的视力是总体，故D错误． 两种抽样的对比 类别 全面调查 抽样调查 适用 范围 总体容量不大，或者要获取详实、系统和全面的信息 大批量或破坏性的检验及不必要全面调查的调查等 优点 所取得的资料全面、系统 迅速、及时，节约人力、物力和财力 缺点 耗费大量的人力、物力和财力 因为由部分推及全体，所以其结果具有不确定性 思考　 假设袋中有红色和白色共1 000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同．你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？ 提示：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计出红球所占的比例，也可以采用不放回地摸球去估计红球所占的比例． [知识梳理] 类别 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 概 念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 [例1] (多选)下列抽样方法不是简单随机抽样的是(　　) A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本 B．某公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查 C．某班级从50名同学中，挑选出3名最优秀的同学参加数学竞赛 D．从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取) 【解析】　对于A，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故A中的抽样方法不是简单随机抽样；对于B，是一次性抽取20箱，不符合逐个抽取的特点，故B中的抽样方法不是简单随机抽样；对于C，挑选的3名同学是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C中的抽样方法不是简单随机抽样；对于D，易知D中的抽样方法是简单随机抽样． 【答案】　ABC 简单随机抽样的特征 [跟踪训练1] 下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是(　　) A．某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本 B．从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查 C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访 D．为了解某地区某传染病的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计 解析：选C.对于A，总体容量较大，有明显的层次性，如男、女生在身高体重等方面有较大差异，不宜采用简单随机抽样方法；对于B，总体容量较大，且各村庄人口、地域、发展等方面的差异，收入可能有明显的差异，不宜采用简单随机抽样方法；对于C，总体个数少，家访活动学生个体平等，且无明显差异，宜采用简单随机抽样方法；对于D，总体容量大，不同年龄的人传染病发病情况不同，有明显的差异，不宜采用简单随机抽样方法． 思考　学校要从某班选取5人参加某项活动，如何选取？要从全市学生中选5人，还可以采用上述方法吗？ 提示：抽签．不可以． [知识梳理] 1．抽签法：把总体中的N个个体编号，把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个数． 2．随机数法 (1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数； (2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数． [例2] (1)下列抽样试验中，适合用抽签法的是　(　　) A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验 (2)某工厂利用随机数法对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，…，699，700.从中抽取70个样本，若从如下随机数表中第1行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是________． 84 42 12 53 31　34 57 86 07 36　25 30 07 32 86 23 45 78 89 07　23 68 96 08 04 32 56 78 08 43　67 89 53 55 77　34 89 94 83 75 22 53 55 78 32　45 77 89 23 45 【解析】　(1)选项A，总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法，故A不符合题意；选项B，总体中的个体数较小，样本容量也较小，且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法，故B符合题意；选项C，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法，故C不符合题意；选项D，总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故D不符合题意．故选B. (2)从题中随机数表中第1行第6列开始向右读取数据，依次为253，313，457，860(舍去)，736(舍去)，253(舍去)，007，故得到的第4个样本编号是007. 【答案】　(1)B　(2)007 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般当样本量和总体容量较小时，可用抽签法． (2)当总体容量较大、样本量不大时，用随机数法抽取样本较好． [跟踪训练2] (1)从100个篮球中任取一个，检查其质量，用随机数法抽取样本，则应编号为(　　) A．1，2，3，…，100 B．001，002，003，…，100 C．0，1，2，3，…，100 D．0，1，2，…，99 解析：选B.由于A，C，D的编号位数不相同，所以不能作为随机数法的编号，B编号位数相同，可以作为随机数法的编号． (2)在用抽签法抽样时，有下列五个步骤：①从箱中每次不放回地抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；②将总体中的所有个体编号；③制作号签；④将总体中与抽到的签的编号相一致的个体取出构成样本；⑤将号签放在同一箱中，并搅拌均匀．以上步骤的次序是________________． 解析：利用抽签法第一步要进行编号，然后做号签，放入容器中搅拌均匀，接下来按照逐个不放回地抽取号签，最后将与编号一致的个体取出构成样本，故这些步骤的先后顺序为②③⑤①④. 答案：②③⑤①④ 思考　我们从某中学高一年级的2 000名学生中随机抽取一个容量为50的样本，测量这50名学生的身高，通过这些数据，计算出样本的平均数为164.3，据此，我们可以估计高一年级全体学生的平均身高吗？ 提示：可以，高一年级全体学生的平均身高为164.3左右． [知识梳理] 1．总体平均数 (1)一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数． (2)如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi． 2．样本平均数 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数．在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数． [例3] 为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，从该校高一学生中抽查了20名学生，这20名学生每天午餐消费数据如下(单位：元)： 10 12 8 8 10 14 17 8 10 8 12 10 10 17 8 10 12 10 10 12 试估计该校高一学生每天午餐的平均费用，以及午餐费用不低于12元的比例． 【解】　样本平均数为 ＝＝10.8(元)， 样本中午餐费用不低于12元的比例为＝0.35， 所以估计该校高一学生每天午餐的平均费用为10.8元，在高一学生中，午餐费用不低于12元的比例约为0.35. 样本平均数与总体平均数的关系 (1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数；(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性；(3)一般情况下，样本量越大，估计值越准确． [跟踪训练3] 某些商家为消费者提供免费塑料袋，使购物消费更加方便快捷，但是我们更应关注它对环境的潜在危害．为了解某市所有家庭每年丢弃塑料袋个数的情况，统计人员采用了科学的方法，随机抽取了200户家庭，对他们某日丢弃塑料袋的个数进行了统计，结果如表： 每户丢弃塑 料袋数/个 1 2 3 4 5 6 家庭数/户 15 60 65 35 20 5 (1)求当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数； (2)假设某市现有家庭100万户，据此估计全市所有家庭每年(以365天计算)丢弃塑料袋的总数． 解：(1)×(1×15＋2×60＋3×65＋4×35＋5×20＋6×5)＝×600＝3(个)，故当日这200户家庭平均每户丢弃塑料袋的个数为3. (2)3×365×100＝109 500(万个)，由此估计全市所有家庭每年丢弃塑料袋109 500万个． 1．(教材P181T1改编)为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量．若通过简单随机抽样从中抽取了1 000户进行调查，得到其月用水量的平均数为9吨，则可推测全市居民用户月用水量的平均数(　　) A.一定为9吨 B.高于9吨 C.约为9吨 D.低于9吨 解析：选C.推测全市居民用户月用水量的平均数是估计值，约为9吨．故选C. 2．(多选)为了解参加运动会的800名运动员的年龄情况，从中抽取了100名运动员的年龄进行统计分析，就这个问题，下列说法中正确的有(　　) A.所抽取的100名运动员是一个样本 B.800名运动员的年龄是总体 C.样本量为100 D.每个运动员被抽到的机会均为 解析：选BC.对于A，所抽取的100名运动员的年龄是一个样本，A错误；对于B，800名运动员的年龄是总体，B正确；对于C，样本量为100，C正确；对于D，每个运动员被抽到的机会均为＝，D错误．故选BC. 3．(教材P181T2改编)从一批产品中用简单随机抽样的方法抽取了一部分作为样品，检测产品的合格率，其中甲检验员从中抽取了50件产品，其合格率为94.5%，乙检验员从中抽取了100件产品，其合格率为95.6%，则估计该产品合格率更接近于________检验员检测的结果． 解析：因为乙检验员抽取的样本量更大，所以检测结果更准确． 答案：乙 4．仓库有36个货架，随机抽取10个货架，这10个货架上货物的价值(单位：元)分别为：540，290，610，380，510，580，610，559，771，600.试估计仓库内货物的总价值． 解：由题意得样本的平均数为 ＝545(元)， 所以总体的平均数约为545元， 所以仓库内货物的总价值约为545×36＝19 620元． 1．已学习：全面调查和抽样调查、简单随机抽样、用样本平均数估计总体平均数． 2．须贯通：简单随机抽样的三个特点：总体有限、逐个抽取、等可能抽样；当总体量和样本量都较少时可用抽签法抽样，当总体量较大，样本量不大时，用随机数法抽样． 3．应注意：在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性是相等的． 学科网（北京）股份有限公司 $