1 8.5.1 直线与直线平行（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦空间直线与直线平行，核心知识点为基本事实4（平行线传递性）和等角定理。通过平面平行引入空间情境，结合折纸实验导入，经定理梳理、空间四边形中点连线证明、正方体梯形证明等例题与训练，构建完整学习支架。 资料特色在于情境化导入与分层设计，以正方体、三棱柱等模型为载体，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）。如例1用中位线证平行四边形，例2用等角定理证角相等，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

8．5　空间直线、平面的平行 8．5.1　直线与直线平行 新课导入 学习目标 　　我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行．在空间中，是否也有类似的结论？ 1.了解基本事实4和等角定理． 2．能用已获得的结论证明空间中与直线平行相关的简单命题． 把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示． 思考　这些折痕什么关系？ 提示：互相平行． [知识梳理] 1．内容：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性． 2．符号表示：⇒a∥c. 点拨　基本事实4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法． [例1] (对接教材例1)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形． 【证明】　(1)因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC， EF＝AC，HG＝AC， 所以EF∥HG，且EF＝HG， 所以四边形EFGH是平行四边形． (2)因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EH＝BD. 由(1)知EF＝AC，又AC＝BD， 所以EH＝EF. 又因为四边形EFGH是平行四边形， 所以四边形EFGH是菱形． 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等； (2)定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点； (3)基本事实4：用基本事实4证明直线a与直线c平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c.　 [跟踪训练1] 已知棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形． 证明：如图所示，连接AC，由正方体的性质可知： AA′＝CC′，AA′∥CC′， 所以四边形AA′C′C为平行四边形， 所以A′C′＝AC，A′C′∥AC. 又因为M，N分别是CD，AD的中点， 所以MN∥AC，且MN＝AC， 所以MN∥A′C′，且MN＝A′C′. 所以四边形MNA′C′是梯形． 思考　在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，两个角的两边分别对应平行时，这两个角有几种位置关系？这两个角的关系怎么样？ 提示：当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图1、图2所示的两种位置．两个角相等或互补． [知识梳理] 文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 图形 语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 [例2] 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB. 【证明】　因为N，P分别是BB1，CC1的中点，所以BN∥C1P，BN＝C1P， 所以四边形BPC1N为平行四边形，所以C1N∥BP. 同理可证C1M∥AP， 又∠MC1N与∠APB方向相同，所以∠MC1N＝∠APB. 空间角相等的证明方法 (1)等角定理是较常用的方法，等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能． (2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明． [跟踪训练2] 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝. 证明：△ABC∽△A′B′C′. 证明：因为AA′与BB′相交于点O，所以AA′与BB′共面， 在△ABO和△A′B′O中，可得∠AOB＝∠A′OB′， 又因为＝，所以△ABO∽△A′B′O， 所以∠BAO＝∠B′A′O， 所以AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′. 当AB∥A′B′，AC∥A′C′时， 易知∠BAC＝∠B′A′C′. 同理∠ABC＝∠A′B′C′， 因此△ABC∽△A′B′C′. [例3] 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1上的点，且A1F＝2FA，BE＝2AE. (1)证明：E，C，D1，F四点共面； (2)证明：D1F，CE，DA交于一点． 【证明】　(1)如图，连接EF，A1B，D1C. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， A1F＝2FA，BE＝2AE， 所以EF∥A1B，且A1B＝3EF， 又BC∥A1D1，且BC＝A1D1， 所以四边形BCD1A1是平行四边形，所以A1B∥D1C， 所以EF∥D1C，所以E，C，D1，F四点共面． (2)由(1)知，四边形ECD1F为梯形，即EF∥D1C且D1C＝3EF， 设D1F∩CE＝O，所以O∈D1F，又D1F⊂平面ADD1A1，所以O∈平面ADD1A1， 同理O∈平面ABCD，又平面ADD1A1∩平面ABCD＝DA， 所以O∈DA，即D1F，CE，DA交于一点． 关于直线与直线平行的应用 通过直线与直线平行，可以证明点共面，进而证明点共线、线共点等，实质是基本事实3，4的综合应用． [跟踪训练3] 如图，四边形ABED为正方形，AC∥DG∥EF，且DA＝DG，AC＝EF，EF＝DG. 求证：B，F，G，C四点共面． 证明：取DG的中点M，连接AM，FM，因为EF∥DG，EF＝DG， 所以EF∥DM，EF＝DM. 所以四边形EFMD为平行四边形， 所以FM∥ED，FM＝ED. 因为四边形ABED为正方形， 所以AB∥ED，AB＝ED，所以AB∥FM，AB＝FM. 所以四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF. 因为AC＝EF＝DG，MG＝DG，AC∥DG， 所以AC綉MG，即四边形ACGM为平行四边形，所以AM∥CG. 所以BF∥CG，所以B，F，G，C四点共面． 1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　) A．一定平行 B．一定相交 C.一定异面 D．相交或异面 解析：选D.可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾). 2．(多选)(教材P135T2改编)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则下列各棱与EF平行的有(　　) A.AD B．AB C．BC D．AA1 解析：选AC.由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1， 因为与棱B1C1平行的棱有AD, BC，A1D1，所以这3条棱都与EF平行． 3．已知空间两个角∠ABC与∠A′B′C′，若AB∥A′B′，BC∥B′C′，∠ABC＝66°，则∠A′B′C′＝________． 解析：因为AB∥A′B′，BC∥B′C′，故∠A′B′C′＝66°或∠A′B′C′＝180°－66°＝114°. 答案：66°或114° 4．(教材P144T9改编)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为棱AA1和CC1的中点，问：∠D1PB1与∠BQD是否相等？为什么？ 解：取BB1的中点E，连接AE，EQ，又因为Q为CC1的中点，所以EQ綉BC.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD綉BC，所以AD綉EQ，所以四边形AEQD是平行四边形，所以AE∥DQ，同理可得，AE∥PB1，所以PB1∥DQ.同理可得，PD1∥BQ，所以∠D1PB1与∠BQD的两边分别对应平行且方向都相反，所以∠D1PB1＝∠BQD. 1．已学习：(1)基本事实4；(2)等角定理；(3)线线平行关系的应用． 2．须贯通：掌握空间中两直线平行的证明方法；会利用两直线平行判断共面． 3．应注意：两直线无公共点不是两直线平行的充要条件；等角定理的结论是相等或互补，应用时要注意． 学科网（北京）股份有限公司 $