1 7.1.1 数系的扩充和复数的概念（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦复数的概念，以数系扩充为主线，从方程无解问题出发，系统构建复数的定义（a+bi，a,b∈R）、实部虚部概念、相等充要条件及分类（实数、虚数、纯虚数）的学习支架。 资料以卡尔丹方程问题导入，引导学生用数学眼光发现问题，通过推理引入虚数单位i培养数学思维，例题与跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

7．1　复数的概念 7．1.1　数系的扩充和复数的概念 新课导入 学习目标 　　意大利数学家卡尔丹曾提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋和5－，积为25－(－15)＝40.这样的结果令他大为不解，甚至感到有些恐慌．负数真的不能开平方吗？让我们带着这个问题进入今天的探究之旅吧！ 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程． 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件． 数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充到整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充到有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解； 因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充到实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解． 思考　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 提示：能. 引入新数i，使i2＝－1，则i就是方程x2＝－1 的一个解． [知识梳理] 1．定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． 2．表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部． 点拨　(1)i2＝－1.(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算．(3)a，b∈R． [例1] (1) 已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a＝(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 (2)以复数2i＋5的实部为虚部、虚部为实部的复数为______________． 【解析】　(1)复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1. (2)由复数2i＋5可知其实部为5，虚部为2， 所以所求复数的实部为2，虚部为5，即为2＋5i. 【答案】　(1)C　(2)2＋5i 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，b连同它的符号叫做复数的虚部． [跟踪训练1] (1)z＝2－i的虚部是(　　) A.2 B．－i C.1 D．－1 解析：选D.复数z＝2－i的虚部为－1. (2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则a2＋b＝____________． 解析：因为z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，所以a2＝2，－(2－b)＝3，解得b＝5， 故a2＋b＝7. 答案：7 思考　若z＝a＋bi与z＝1＋2i是同一个复数，那么a，b的值能确定吗？ 提示：能，a＝1，b＝2. [知识梳理] 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d． [例2] (1)已知a＋bi＝－i(a，b∈R)，则a＋b的值为(　　) A.－1 B．0 C.1 D．2 (2)已知x＋(2x＋7y)i＝1－5i，其中x，y∈R，i为虚数单位．则实数x＝____________，y＝_______________. 【解析】　(1)因为a，b∈R，a＋bi＝0－i ，所以a＝0，b＝－1，则a＋b＝－1. (2)由题意x＋(2x＋7y)i＝1－5i， 得 解得 【答案】　(1)A　(2)1　－1 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解； (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． [跟踪训练2] (1)已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和复数z2＝c＋di(c，d∈R)，则“a＝c”是“z1＝z2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B.充分性：当a＝c时，若b≠d， 则z1≠z2，所以充分性不成立； 必要性：当z1＝z2时，则a＝c且b＝d，所以必要性成立， 所以“a＝c”是“z1＝z2”的必要不充分条件． (2)设x，y∈R，若x＋(y－1)i＝3＋xi，其中i是虚数单位，则x，y的值分别为__________． 解析：因为x＋(y－1)i＝3＋xi， 所以即 答案：3，4 思考1　复数z＝a＋bi(a，b∈R)在什么情况下表示实数？ 提示：b＝0. 思考2　 如何利用集合间的关系表示实数集R和复数集C? 提示：RC. [知识梳理] 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下： 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 点拨　(1)两个虚数不能比较大小． (2)a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件． [例3] (对接教材例1)当实数m取何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数；(2)纯虚数． 【解】　(1)当即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数． (2)当即m＝3或m＝－2时，复数z是纯虚数． 母题探究　本例条件不变，则当z＞0时，m的值为(　　) A.1 B．5 C．－2 D．3 解析：选B.因为z＞0，所以z为实数，需满足解得m＝5. 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 (1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解． (2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解． [跟踪训练3] (1)(多选)下列复数是纯虚数的为　(　　) A.2＋ B．i C.8＋5i D．(1－)i 解析：选BD.由纯虚数的定义得纯虚数的实部为0，虚部不为0， 而A是实数，C实部不为0，B，D实部为0且虚部不为0， 故i，(1－)i是纯虚数，故B，D正确． (2)若复数m－4＋(m2－16)i≥0，则实数m的值为________． 解析：由题意解得m＝4. 答案：4 1．设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　　) A.5 B．－5 C．3 D．－3 解析：选A.因为复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，所以3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5. 2．(多选)下列命题中，不正确的是(　　) A.1－ai(a∈R)是一个复数 B.形如a＋bi(a，b∈R)的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小 D.若a>b，则a＋i>b＋i 解析：选BCD.由复数的定义可知A命题正确；形如a＋bi(a，b∈R)的数，当b＝0时，它不是虚数，故B命题错误；若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；两个虚数不能比较大小，故D命题错误． 3．(教材P73习题7.1 T3改编)若实数x，y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则xy的值是________． 解析：依题意得 解得x＝y＝1，则xy＝1. 答案：1 4．(教材P73习题7.1T2改编)当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋m－6)＋(m2－m－2)i(m∈R)是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 解：(1)若z是实数，则m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1. (2)若z是虚数， 则m2－m－2≠0， 解得m≠2且m≠－1. (3)若z是纯虚数，则 解得m＝－3. 1．已学习：数系的扩充、复数的概念及分类、复数相等的充要条件． 2．须贯通：两个复数一般不能比较大小，如有大小关系，则它们一定是实数；两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等；复数问题实数化是求解复数的基本方法，体现了转化与化归的数学思想． 3．应注意：(1)复数代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是否规范； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $