专题7.1 数系的扩充和复数的概念（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦数系的扩充与复数的概念这一核心知识点，从实数系无法解决x²+1=0的问题引入虚数单位i，系统讲解复数的定义、实部虚部、分类（实数、虚数、纯虚数）及复数相等条件，构建完整的知识支架。 资料以6大题型（虚数单位i性质、复数概念等）为主线，例题与变式题结合，引导学生用数学眼光抽象概念，通过辨析题培养数学思维的逻辑性，规范表达实部虚部等提升数学语言能力。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题7.1 数系的扩充和复数的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 虚数单位i及其性质】 2 【题型2 复数的基本概念】 3 【题型3 求复数的实部与虚部】 4 【题型4 复数的相等】 6 【题型5 复数的分类及辨析】 7 【题型6 已知复数的类型求参数】 8 知识点1 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【注意】 1．虚部指的是虚数单位i前面的系数，不包含i. 2．了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件以及三者之间的关系. 3．实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小. 【题型1 虚数单位i及其性质】 【例1】（24-25高一下·北京朝阳·期末）复数（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用，可求值. 【解答过程】. 故选：A. 【变式1-1】（24-25高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】由复数的乘方可以发现具有周期性，周期为，然后由周期性计算即可. 【解答过程】因为，，， ，所以具有周期性，周期为， 所以，所以. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一下·山东枣庄·期中） ． 【答案】 【解题思路】根据虚数单位的周期性求解. 【解答过程】, 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一下·河北张家口·月考） . 【答案】0 【解题思路】利用虚数单位的性质进行计算即可. 【解答过程】， 故答案为：0. 【题型2 复数的基本概念】 【例2】（2025高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【解题思路】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【解答过程】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B. 【变式2-1】（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解题思路】利用复数的概念逐一判断各个命题即得. 【解答过程】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一·全国·课后作业）对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【答案】C 【解题思路】结合复数概念逐一判断即可. 【解答过程】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错； 对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数 B．实数是复数 C．如果，那么是纯虚数 D．任何数的偶数次幂都不小于零 【答案】B 【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【解答过程】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 【题型3 求复数的实部与虚部】 【例3】（24-25高一下·四川雅安·期末）若复数，则的虚部是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复数的虚部概念即可求得结果. 【解答过程】因为复数，则的虚部是， 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【解题思路】利用复数的实部和虚部求解即可. 【解答过程】由复数的实部与虚部之和为0， 得，即. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【答案】见解析 【解题思路】直接利用复数的基本概念逐一分析得答案． 【解答过程】、0是实数，的实部为，虚部为0；0的实部与虚部均为0． 、、、是虚数；i为纯虚数. 的实部为，虚部为6；的实部与虚部均为；的实部为，虚部为；的实部为0，虚部为1． 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【解题思路】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【解答过程】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数. 【题型4 复数的相等】 【例4】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】由条件结合复数相等的定义求，再求即可. 【解答过程】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【解题思路】根据复数相等联立方程求得的值. 【解答过程】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，求实数，的值． 【答案】 【解题思路】由复数相等的充要条件列出方程，求解即可. 【解答过程】由复数相等的充要条件，得， 解得. 【变式4-3】（24-25高一·全国·随堂练习）求适合下列各方程的实数，的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2)或或或 (3) 【解题思路】根据复数相等得到方程组，解得即可. 【解答过程】（1）因为，为实数，且， 则，解得或； （2）因为且，为实数， 所以，解得或， 解得或， 所以或或或； （3）因为且，为实数， 所以，解得. 【题型5 复数的分类及辨析】 【例5】（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【解答过程】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C. 【变式5-1】（2025高二下·湖南·学业考试）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【解题思路】由纯虚数的概念即可得解. 【解答过程】由纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0，对比选项可知，选项中复数为纯虚数的是. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ ，，，，，. 【答案】答案见解析 【解题思路】根据复数的分类及复数运算分类即可. 【解答过程】，，是实数； ，，是虚数； 是纯虚数. 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？. 【答案】实数为；虚数为； 纯虚数为 【解题思路】根据复数为实数、虚数和纯虚数的条件，判断出实数、虚数和纯虚数. 【解答过程】实数为； 虚数为； 纯虚数为. 【题型6 已知复数的类型求参数】 【例6】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．5 D．或5 【答案】C 【解题思路】由纯虚数的概念，建立方程与不等式，可得答案. 【解答过程】由题意可得，解得. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高一下·天津静海·期中）已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据复数的概念，即可得出答案. 【解答过程】若，则复数是实数； 若复数是实数，则. 所以“”是“复数是实数”的充要条件. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【解题思路】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可； （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可； （3）根据复数相等列式求解即可. 【解答过程】（1）当，即或时，复数是实数； （2）当，即且时，复数是虚数； （3）当即时，复数是0. 【变式6-3】（24-25高一下·全国·课后作业）当实数为何值时，复数满足下列条件？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1) (2)且 (3) 【解题思路】（1）根据复数是实数列式计算求参； （2）根据复数是虚数列式计算求参； （3）根据复数是纯虚数列式计算求参. 【解答过程】（1）当即时，复数是实数． （2）当，且，即且时，复数是虚数． （3）当即时，复数是纯虚数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 数系的扩充和复数的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 虚数单位i及其性质】 2 【题型2 复数的基本概念】 2 【题型3 求复数的实部与虚部】 3 【题型4 复数的相等】 4 【题型5 复数的分类及辨析】 4 【题型6 已知复数的类型求参数】 5 知识点1 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【注意】 1．虚部指的是虚数单位i前面的系数，不包含i. 2．了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件以及三者之间的关系. 3．实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小. 【题型1 虚数单位i及其性质】 【例1】（24-25高一下·北京朝阳·期末）复数（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式1-2】（24-25高一下·山东枣庄·期中） ． 【变式1-3】（24-25高一下·河北张家口·月考） . 【题型2 复数的基本概念】 【例2】（2025高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【变式2-1】（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-2】（24-25高一·全国·课后作业）对于复数，下列结论中正确的是（ ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数 B．实数是复数 C．如果，那么是纯虚数 D．任何数的偶数次幂都不小于零 【题型3 求复数的实部与虚部】 【例3】（24-25高一下·四川雅安·期末）若复数，则的虚部是（  ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ） A．2 B． C． D．-2 【变式3-2】（24-25高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【题型4 复数的相等】 【例4】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，求实数，的值． 【变式4-3】（24-25高一·全国·随堂练习）求适合下列各方程的实数，的值： (1)； (2)； (3)． 【题型5 复数的分类及辨析】 【例5】（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-1】（2025高二下·湖南·学业考试）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ ，，，，，. 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？. 【题型6 已知复数的类型求参数】 【例6】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．5 D．或5 【变式6-1】（24-25高一下·天津静海·期中）已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【变式6-3】（24-25高一下·全国·课后作业）当实数为何值时，复数满足下列条件？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $