2 6.4.3 第1课时 余弦定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦余弦定理及推论这一核心知识点，以千岛湖岛屿距离测量问题导入，通过向量法推导定理，关联勾股定理（C=90°特殊情况），构建从实际问题到抽象公式的学习支架。 资料以真实情境培养数学眼光，向量推导发展逻辑推理的数学思维，例题含母题探究与变式训练助学生用数学语言解决问题。课中便于教师分层教学，课后通过跟踪训练帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

6．4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 新课导入 学习目标 　　千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 1.了解用向量法推导余弦定理的过程． 2．掌握余弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题． 3．能运用余弦定理判断三角形的形状． 思考1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示：如图，设＝a，＝b，＝c， 那么c＝a－b，① 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C．所以c2＝a2＋b2－2ab cos C． 思考2　在思考1得到的结果中，若C＝90°，公式会变成什么？是初中所学的什么定理？ 提示：c2＝a2＋b2，即勾股定理． [知识梳理] 文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2ab_cos_C 变形推论 cos A＝，cos B＝； cos C＝． 角度1　已知两边及一角解三角形 [例1] (1)(对接教材例5)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝(　　) A．3　　 B． C．　　 D． (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________． 【解析】　(1)因为a＝1，b＝2，C＝60°，所以c＝＝＝. (2)由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b×， 即3b2－8b－3＝0， 所以b＝3. 【答案】　(1)B　(2)3 母题探究1　将本例(1)中的条件“a＝1，b＝2，C＝60°”变为“若a，b，c是三个连续奇数，最大角为120°”，则△ABC的周长为(　　) A．13 B．15 C．17 D．19 解析：选B.不妨设a<b<c，则C＝120°，且b＝a＋2，c＝a＋4.所以(a＋4)2＝a2＋(a＋2)2－2a(a＋2)·cos 120°，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去).因此，△ABC的周长为a＋a＋2＋a＋4＝3a＋6＝3×3＋6＝15.故选B. 母题探究2　将本例(2)中的条件“a＝，c＝2，cos A＝”改为“a＝2，c＝2，cos A＝”，求b的值． 解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×， 即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4. 所以b的值为2或4. 已知两边及一角解三角形的两种思路 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 角度2　已知三边解三角形 [例2] (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝5∶7∶8，则△ABC中角B的大小是(　　) A．135° B．120° C．90° D．60° 【解析】　(1)在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝， 所以最大角为B，最小角为A， cos C＝＝＝， 又因为0°<C<180°， 所以C＝60°， 所以A＋B＝120°， 所以△ABC中最大角与最小角的和为120°. (2)由题可设a＝5k，b＝7k，c＝8k，k>0， 由余弦定理的推论得cos B＝＝＝， 又0°<B<180°，所以B＝60°. 【答案】　(1)B　(2)D 已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． 注意　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为“已知三边解三角形”的问题． [跟踪训练1] (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝(　　) A． B．6 C．7 D．8 解析：选A.因为A＋C＝， 所以B＝π－(A＋C)＝. 因为a＝3，c＝2，所以由余弦定理得 b＝＝ ＝. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2－bc，则角A＝(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° 解析：选A.因为a2＝b2＋c2－bc，且由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以2cos A＝1，解得cos A＝，而在△ABC中，0°<A<180°，则A＝60°，故A正确． [例3] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝c cos A，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【解析】　方法一：因为b＝c cos A，所以由余弦定理的推论得b＝c·， 所以2b2＝b2＋c2－a2，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形． 方法二：在△ABC中，b＝a cos C＋c cos A，又因为b＝c cos A，所以a cos C＝0，因为a>0，所以cos C＝0，因为C∈(0，π)，所以C＝，故△ABC为直角三角形． 【答案】　A 判断三角形形状的基本思想和两条思路 [跟踪训练2] (1)若三角形的三边长分别为20，30，35，则该三角形的形状一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：选A.设a＝20，b＝30，c＝35，该三角形的最大角为C, 由余弦定理的推论得cos C＝＝＝>0，故C为锐角，则该三角形的形状一定是锐角三角形． (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，C＝，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 解析：选B.因为＝，所以A，B∈(0，)，且a cos B＝b cos A，所以由余弦定理的推论得a·＝b·，整理得a＝b，又C＝，故△ABC是等边三角形． 1．(教材P44T1(2)改编)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，b＝3，cos C＝，则c＝(　　) A． B． C．4 D．3 解析：选D.因为在△ABC中，a＝1，b＝3，cos C＝，所以由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋9－2×1×3×＝9，所以c＝3. 2．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：选A.根据余弦定理的推论有cos A＝＝＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，a＝，b－c＝1，则cos B＝________． 解析：由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc， 因为b－c＝1，a＝， 所以c2＋(c＋1)2－c(c＋1)＝7， 即c2＋c－6＝0， 解得c＝2或c＝－3(舍去)， 所以b＝3，c＝2，cos B＝＝＝. 答案： 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos C＋c cos A＝a，试判断△ABC的形状． 解：由余弦定理的推论及a cos C＋c cos A＝a，得a·＋c·＝a，整理得b2＝ab，因为b≠0，所以b＝a，即△ABC的形状为等腰三角形． 1．已学习：余弦定理及推论、余弦定理的简单应用． 2．须贯通：在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，应用转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边． 学科网（北京）股份有限公司 $