2026届高考数学模拟卷（五）（全国适用）

2026届高考数学终极押题卷（五） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得，根据对数型函数的定义域可得，进而可得. 【详解】, 因为的定义域为，故， 所以. 故选：A 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则，求得复数z，再根据复数模的计算公式求得答案. 【详解】因为复数z满足， 则， 所以． 故选：B. 3. 曲线在点处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求函数的导函数，再求导函数在时的值，结合导数的几何意义求切线斜率，利用点斜式求切线方程． 【详解】因为，所以，故， 所以曲线在点处的切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 故选：A. 4. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ） 附：若，则． A. 228个 B. 456个 C. 1587个 D. 3174个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布特殊区间的概率可求出结果. 【详解】由可知， 则， 故其中单果质量超过的草莓约有个． 故选：C. 5. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 所以， 解得， 故在基底下的坐标为. 故选：B. 6. 已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线定理及余弦定理可求. 【详解】由题设，双曲线的实半轴长，且， 因为，故在右支上且， 而，故， 由余弦定理可得：， 故选：C. 7. 已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的图象与坐标轴有三个交点 B. 的图象的对称轴在轴左侧 C. 关于的方程有两个不等实根 D. 在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即得. 【详解】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 8. 记数列的前项和为，若，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用结合分组求和、裂项求和求，通过规律探寻得知是整数，进而得出是偶数的平方，欲使取最小整数值，则即可，再举例说明的可行性. 【详解】数列中，由，得， 即， 所以 ， 又，所以. 又由，得且， 可知， 所以是整数，于是是整数，且是偶数的平方，则，当取等号. 下面举例说明可以取到， ， ， 此时， 所以的最小值为3. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为筹备亚洲冬季运动会短道速滑男子500米预选赛，运动员甲和乙的5次训练成绩（单位：秒）记录如下： 甲： 乙： 对训练成绩的统计，下列结论中正确的有（ ） A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C. 甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差 D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合甲乙的成绩，逐一判断每一个选项即可. 【详解】对于A，甲成绩的平均数为， 乙成绩的平均数为， 故甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故A正确； 对于B，甲成绩的中位数为，乙成绩的中位数为，故B正确； 对于C，甲成绩比乙成绩更加集中，故甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故C错误； 对于D，甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，，，，，，记．当，，，，中含个6时，所有不同值的个数记为．下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 对于任意奇数 D. 对于任意整数 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，当时写出，由，中不含6，根据题意即可求得；对于选项B，当时写出，由，，，中含有个6，可得，，解不等式即可；对于选项C，，设，，由二项式定理求解即可；对于选项D，构造二项分布，利用均值求解即可. 【详解】当，，故，A正确； 当，，， 当时，，解得，B错误； ，设，，则， 于，C正确； 因为，构造二项分布，则， 因此，D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：本题考查计数原理、二项式定理、二项分布的均值；根据题意利用计数原理得到，根据二项式定理和二项分布求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数为偶函数，则实数__________． 【答案】 【解析】 【详解】若f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数， 则f（-x）=f（x）， 即ln（e-x+1）-ax=ln（ex+1）+ax，） -ln（ex+1）=2ax， 即）-ln（ex+1）=2ax， 即ln（ex+1）-lnex-ln（ex+1）=2ax， 即-x=2ax， 即2a=-1，则a＝ 故答案为 点睛：本题已知函数奇偶性求参数，根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a是解决本题的关键． 13. 已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最大值. 【详解】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴， 线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，取最大值. 故答案为：. 14. 在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点P的轨迹为线段 B. 当时，有且仅有一个点P使得 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点P使得平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用平面向量共线的充要条件推论可判定； 对于B，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于C，先确定点的运动轨迹，结合定高定底来判定体积是否为定值； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 由平面向量的基本定理易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，， 所以，此时三点共线， 即线段，故A正确； 对于B，当时，， 取，中点分别为，则，所以点轨迹为线段， 不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，， 则，， ，显然始终不成立，故B错误； 对于C，当时，，取，中点为． 故此时点轨迹为线段，而，所以的面积不变， 又到平面的距离为定值，所以该三棱锥的体积为定值，故C正确． 对于D，当时，同上易知P点轨迹为线段．， 所以，， 若平面，所以， 此时存在且唯一，故D正确． 故选：ACD． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求B； （2）若，，求c. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据已知条件利用正弦定理求出角，再根据已知边的值利用余弦定理求出边. 【小问1详解】 已知，由正弦定理可得. 因为，所以，此时. 在直角中，，所以. 那么，移项可得. 根据正切函数的定义，因为且是三角形内角，所以，从而得出. 【小问2详解】 已知，且，所以. 根据余弦定理，将代入可得. 化简可得. 将，代入，得到. 即，因为，所以. 16.如图，在平行六面体中，点在底面射影为点，． （1）求证：平面平面； （2）已知点在线段上（不含端点），且平面与平面的夹角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得、勾股定理得，再由面面垂直的判定定理可得答案； （2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面、平面的一个法向量，由面面角的向量求法求出，再由线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 因为平面平面，故， 在中，，由余弦定理得： ， 得，故，则， 因为平面，所以平面， 而平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，如图所示，以为坐标原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 故，， 所以， 设，则， 即，所以； 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，所以， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，解得，故， ，， 设与平面所成角为，则. 17. 已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. （1）求C的方程； （2）已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程. （2）根据四点共线，要证，即证，设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得证. 【小问1详解】 由双曲线的一个焦点为，得， 由点在双曲线上，得，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，，则直线AB方程为， 由，消去得， 由直线AB交C于D，E两点，得， 解得，且，且，， 当时，在A的异侧，在B的同侧；当时，在A的同侧，在B的异侧， 则总有， ， 所以. 18. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球． （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先确定个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果； （2）先确定可取值为，然后计算出不同取值的概率，注意的每种取值对应两种情况，由此可求分布列和期望. 【小问1详解】 记“取出的个小球上的数字两两不同”为事件， 先确定个不同数字的小球，有种方法， 然后每种小球各取个，有种取法， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，的可取值为， 当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球， 所以； 当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球， 所以； 当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球， 所以， 所以的分布列为： 所以. 19. 定义在同一数集上的函数，按一定顺序排成一列，称为数集上的函数列，记为的导函数为. （1）若满足，证明：为等比数列： （2）定义在上的函数列满足，且. ①若，设，证明：： ②若，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，然后利用等比数列的定义证明即可； （2）①构造函数，求导，结合条件判断其单调性，得出，然后错位相减法即可完成证明； ②利用①构造的函数得出，然后证明即可. 【小问1详解】 由，得，显然， 又，故为首项为1，公比为2的等比数列. 【小问2详解】 ① 设，则， 因为时，所以在恒成立， 故在上单调递增， 当， 得，故， 令， 则， 故，由于， 得； ②当时，左边右边都等于0，显然成立； 当时，由于在上单调递增， 若，则，即， 此时，由①得，所以， 若，则，即， 此时，所以，故， 下证：当，且时，，令， 即证明：. 令，故在上单调递减， 故时，，即， 时，，即， 从而， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学终极押题卷（五） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 曲线在点处的切线方程为（　　） A. B. C. D. 4. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ） 附：若，则． A. 228个 B. 456个 C. 1587个 D. 3174个 5. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的图象与坐标轴有三个交点 B. 的图象的对称轴在轴左侧 C. 关于的方程有两个不等实根 D. 在区间上单调递增 8. 记数列的前项和为，若，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为筹备亚洲冬季运动会短道速滑男子500米预选赛，运动员甲和乙的5次训练成绩（单位：秒）记录如下： 甲： 乙： 对训练成绩的统计，下列结论中正确的有（ ） A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C. 甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差 D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 10. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，，，，，记．当，，，，中含个6时，所有不同值的个数记为．下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 对于任意奇数 D. 对于任意整数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数为偶函数，则实数__________． 13. 已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为______． 14. 在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点P的轨迹为线段 B. 当时，有且仅有一个点P使得 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点P使得平面 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求B； （2）若，，求c. 16.如图，在平行六面体中，点在底面射影为点，． （1）求证：平面平面； （2）已知点在线段上（不含端点），且平面与平面的夹角为，求与平面所成角的正弦值． 17. 已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. （1）求C的方程； （2）已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 18. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球． （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望． 19. 定义在同一数集上的函数，按一定顺序排成一列，称为数集上的函数列，记为的导函数为. （1）若满足，证明：为等比数列： （2）定义在上的函数列满足，且. ①若，设，证明：： ②若，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $