专题02 解三角形（期中真题汇编，浙江专用）高一数学下学期人教A版

专题02 解三角形 5大高频考点概览 考点01 正余弦定理 考点02 三角形面积公式 考点03 实际应用问题 考点04 最值问题 考点05 中线、角平分线问题 ( 地 城 考点01 正余弦定理 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，已知，则C＝（   ） A．60° B．30° C．30°或150° D．60°或120° 2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，已知，则（    ） A．5 B．3 C． D．1 3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知分别为三个内角的对边，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江余姚·期中）在锐角中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（23-24高一下·浙江·期中）在中，“”是“为等腰三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边为，，，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角的对边分别为，且，，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，则是等腰三角形 D．若，，满足有解，则 二、多选题 12．（24-25高一下·浙江·期中）根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 13．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，有如下命题，其中正确的是（   ） A．若，则为等腰或直角三角形. B．若，则为直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则有两解 C．若，且，则为等边三角形 D．若，则可以是钝角三角形 三、填空题 16．（24-25高一下·浙江台州·期中）的三个内角满足，则最小角的余弦值为__________． 17．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______. 18．（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为_________. 19．（24-25高一下·浙江金华·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为_______． 20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设为的外心，若，则等于______． 四、解答题 21．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的值及边上的高． 22．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知在中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)若，，求b； (2)求证：． 23．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，在中，角所对边长分别为，满足.    (1)求； (2)点在上，，求. 24．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题． 问题：在中，角所对的边分别为，且______． (1)求； (2)若，求． 25．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，在中，是边上的一点，，. (1)若，，求的长； (2)若，设，，求的值. 26．（23-24高一下·浙江·期中）在中，，，分别为角的对边，． (1)求角C； (2)若是的中点，，求． 27．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：米，米，. (1)求的值； (2)若点分别为边上的点，且米，米，又点在以C为圆心，为半径的圆弧上（内部），准备将四边形区域种植郁金香.设，求四边形的面积关于的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件） ( 地 城 考点02 三角形面积公式 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江温州·期中）在中，，，，则（   ） A．2 B． C．3 D．4 2．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角的对边分别为，面积为．若且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的最短边与最长边的长度和为6，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 6．（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为，面积为，若，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 二、填空题 8．（24-25高一下·浙江·期中）在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，小明刚学习完三角形中的相关定理后自主推导出了三角形面积公式，则■处应该填写______.（用三角形已知边角表示） 9．（24-25高一下·浙江衢州·期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九䇉都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，记，则三角形面积为.已知中，，则的内切圆半径为__________. 10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，若，其面积为，则__________． 11．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则__________. 三、解答题 12．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的值； (2)若外接圆的面积为，且，求的面积． 13．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，的面积为．求的周长． 14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，为钝角，且边上的高为，求的面积. 15．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，，求的面积. 16．（24-25高一下·浙江·期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求角C； (2)设，求的面积． ( 地 城 考点0 3 实际应用问题 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 3．（24-25高一下·浙江台州·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江·期中）壕股塔是嘉兴著名景点，某同学为了测量壕股塔PQ的高，他在山下处测得塔尖P的仰角为，再沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为，那么壕股塔的高为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江台州·期中）为测量某建筑物的总高度CD，选取与塔底C在同一水平面内的两个测量基点A与B，某人在C的正西方向点A处测得塔顶的仰角为60°，C在B的西偏北75°方向，A在B的西偏北30°方向，，则这幢建筑物的总高度为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江·期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在山脚处测得山顶的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走，在处测得山顶的仰角为75°，则山高为（   ）    A． B．2 C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·浙江·期中）图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（   ） A． B． C．从点观测峰顶的仰角为，则 D．从点观测点的仰角为，则 9．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（    ）    A．观测点位于处的北偏东方向 B．当天10：00时，该船到观测点的距离为 C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为 D．该船在由行驶至的这内行驶了 三、填空题 10．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为__________. 11．（23-24高一下·浙江宁波·期中）“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________． 12．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米． 13．（24-25高一下·浙江·期中）甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为_______千米． 14．（24-25高一下·浙江·期中）衢州是孔子后裔的世居地和第二故乡，素有“东南阙里，南孔圣地”的美誉，孔子雕像坐落于孔子文化公园内．如图，选取与孔子雕像底部在同一平面内的三个测量基点，且在处测得雕像顶点的仰角分别为，米，则孔子雕像高为______米． 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，飞机在点到，点的俯角分别为，，飞行3千米后，在点到，点的俯角分别为，，则测得两山顶，间距离为______千米．    ( 地 城 考点0 4 最值问题 ) 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，，且，若，则边的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且B，A，D三点共线，设点P是内的任意一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（    ） A． B．边的取值范围是 C．面积取值范围是 D．周长取值范围是 7．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（    ） A． B．的取值范围是 C．当时的外接圆半径为 D．若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为 8．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列命题正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若且有两解，则的取值范围为 C．若且为锐角三角形，则的取值范围为 D．若且，为的内心，则的面积为 三、填空题 9．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角三角形中，内角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为__________． 10．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为______. 11．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）锐角中，角,,所对的边分别为,,，，且，则周长的取值范围为______ 12．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为__________. 13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知是锐角三角形，内角所对的边分别为．若，则的取值范围是______． 四、解答题 14．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求边长的取值范围. 15．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 已知是的三个内角的对边，且__________. (1)求； (2)若，求锐角的周长的取值范围. 16．（24-25高一下·浙江台州·期中）设的三个内角,,所对的边分别为,,，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最大值； (3)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 17．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，请在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： (1)求角A的大小； (2)若_____，求面积的取值范围. 18．（24-25高一下·浙江·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求角A； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若的面积，E为线段BC上一点，且存在，使得，求AE长度的取值范围． 19．（24-25高一下·浙江·期中）已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A的值； (2)记边上的高为h， （i）若，求的值； （ii）求的取值范围. 20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点且. (1)若， （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. ( 地 城 考点0 5 中线、角平分线问题 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的4倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，设，，，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为12 B．外接圆的周长是 C．若为的中点，则中线长度为 D．内切圆的面积是 5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（    ） A．的周长为 B．的三个内角，，满足关系 C．的外接圆半径为 D．的中线的长为 三、填空题 6．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为，，的角平分线交于点D，且，则的最小值为_____． 四、解答题 7．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且． (1)求角A； (2)若，求面积的最大值． 8．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积为，为边上的一点， （i）若，求长． （ii）若，求长的最小值； 9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 10．（23-24高一下·浙江9+1联盟·期中）在中，，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？ 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形 5大高频考点概览 考点01 正余弦定理 考点02 三角形面积公式 考点03 实际应用问题 考点04 最值问题 考点05 中线、角平分线问题 ( 地 城 考点01 正余弦定理 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，已知，则C＝（   ） A．60° B．30° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出，再求出对应角. 【详解】由正弦定理可得，即，解得， 则或. 故选：D 2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，已知，则（    ） A．5 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】， 故，解得（负值舍）， 故选：B 3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得， 由，得，则， 所以或. 故选：D 4．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知分别为三个内角的对边，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理计算即可求解. 【详解】因为，所以, 所以，所以. 故选：B. 5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由正弦定理得到，求得，再由余弦定理，求得，结合余弦定理，即可求得的值，得到答案. 【详解】解：因为， 由正弦定理，可得，即，可得， 又由余弦定理，可得，所以， 则. 故选：A. 6．（24-25高一下·浙江余姚·期中）在锐角中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】用射影定理即可化简求值. 【详解】如图所示，过点A作于点D，    则， 同理可证， 因为，所以， 整理得，因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 故选：D 7．（23-24高一下·浙江·期中）在中，“”是“为等腰三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合小范围可以推出大范围，而大范围推不出小范围，即可求解. 【详解】为等腰三角形，即充分性成立 为等腰三角形或或， 不一定得到，即必要性不成立， “”是“为等腰三角形”的充分不必要条件， 故选：A 8．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理角化边，进行化简，再根据余弦定理求角. 【详解】由正弦定理角化边可知，， 整理为， ，， 所以. 故选：C 9．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边为，，，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合已知利用正弦定理化简得，进而求得，由余弦定理建立方程求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以，所以， 又，所以，由余弦定理得，， 即，解得或（舍去）. 故选：C 10．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角的对边分别为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正余弦边角关系可得、，再应用余弦定理求. 【详解】由题设，则， 所以，则， 又，则，故， 所以. 故选：A 11．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，则是等腰三角形 D．若，，满足有解，则 【答案】D 【分析】根据向量的数量积运算可判断；利用余弦定理解三角形可判断；利用边化角及三角函数的性质可判断；利用正弦定理及三角函数的性质可判断 【详解】对于：，则角，所以与的夹角为， 所以，故错误； 对于：由余弦定理得， 即，解得，故错误； 对于：由，得， 所以，所以或， 即或，即是等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于：， 所以，所以， 又因为，则，所以为锐角，所以，故正确. 故选：. 二、多选题 12．（24-25高一下·浙江·期中）根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】利用正弦定理，结合正弦值求角有两解时，则需要判断角与边的对应关系，即大边对大角是否满足，若两角都满足就两解，若只有一个角满足就一解. 【详解】对于A，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然不满足内角和为，故A错误； 对于B，由正弦定理得：，解得， 根据，且，仅存在一个锐角满足，故B正确； 对于C，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然满足唯一解，故C正确； 对于D，由正弦定理得：，解得， 根据，且，可得一个锐角和钝角都满足题意，故D错误； 故选：BC. 13．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知钝角中，若，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，根据三角形内角的性质，结合正弦函数的单调性，利用分类讨论思想，可得答案；对于B，根据余弦函数的性质，结合钝角三角形的性质，可得答案；对于C，根据余弦函数的单调性，可得答案；对于D，利用特殊反例，可得答案. 【详解】对于A，由题意可知，且，则， 当为锐角时，由在上单调递增，则， 当为钝角时，即，则，所以，故A正确； 对于B，当为钝角时，则，此时，故B错误； 对于C，由题意可知，且函数在上单调递减，则，故C正确； 对于D，当，，时，符合题意， 则，，即，故D错误. 故选：AC. 14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，有如下命题，其中正确的是（   ） A．若，则为等腰或直角三角形. B．若，则为直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据诱导公式化简，即可判断，；根据向量的数量积的定义即可判断；根据正弦定理即可判断. 【详解】对于，因为，所以或， 所以或，所以为等腰或直角三角形，故正确； 对于，因为，所以， 所以或，所以或， 所以不一定是直角三角形，故错误； 对于，因为，所以， 所以，因为，所以为钝角， 所以是钝角三角形，故错误； 对于，因为，所以，由正弦定理可得， 所以，故正确. 故选：. 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则有两解 C．若，且，则为等边三角形 D．若，则可以是钝角三角形 【答案】AC 【分析】由三角形大边对大角及正弦定理判断AB选项，由向量加法的几何意义、数量积的运算判断C选项；由两角和的正切公式判断D选项. 【详解】A选项，在中，由得，即，所以，A正确； B选项，由正弦定理得即，解得， 又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且，所以， 所以是等边三角形，C正确； D选项，因为， 所以， 所以，即， 因为，所以， 又因为， 所以，所以是锐角三角形，D错误； 故选：AC. 三、填空题 16．（24-25高一下·浙江台州·期中）的三个内角满足，则最小角的余弦值为__________． 【答案】 【分析】利用正弦定理、余弦定理可得答案. 【详解】因为的三个内角满足， 所以由正弦定理得，设， 则是最小角，由余弦定理得. 故答案为：. 17．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则______. 【答案】/ 【分析】应用余弦定理及已知列方程求边长. 【详解】由题设，则， 所以，可得，负值舍去. 故答案为： 18．（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为_________. 【答案】 【分析】根据正弦定理和图形关系得到，然后解不等式即可. 【详解】在中，，，若有两解，必须满足的条件为：，即， 故答案为： 19．（24-25高一下·浙江金华·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为_______． 【答案】 【分析】在中，由正弦定理求出；再在中，利用余弦定理，即可求出结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，，即，所以， 在中，，，， 由余弦定理可得，， 所以. 故答案为： 20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设为的外心，若，则等于______． 【答案】/ 【分析】根据向量共线以及余弦定理、诱导公式求得正确答案. 【详解】设圆为三角形的外接圆，半径为， 由于， 所以，. 设，则， 在三角形中，由余弦定理得. 由及， 可知：， 又，所以， 由三角形内角和可知：， 所以，可得：，又， 可得：，又， 所以 故答案为：. 四、解答题 21．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的值及边上的高． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）应用正弦定理化简求出余弦值即可求角； （2）根据两角和差公式结合正弦定理计算求正弦值及高即得. 【详解】（1）法一：, , , 因为，所以. 法二：, , , , 在中，所以, 因为，所以. （2）因为，则, 由于，则, 则, 所以 , ． 则,因为, , . 22．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知在中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)若，，求b； (2)求证：． 【答案】(1)2； (2)证明见解析 【分析】（1）根据正弦定理整理等式中的角化为边，结合余弦定理可得方程，可得答案； （2）根据正弦定理整理（1）中等式的边化为角，利用三角函数恒等式，可得答案. 【详解】（1）由，得：， ∴，结合余弦定理得：． ∵，，∴． （2）由（1）得，∴， ∴，， ∴，，由可知，，即， ∴，即． 23．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，在中，角所对边长分别为，满足.    (1)求； (2)点在上，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将条件变形，然后代入余弦定理计算即可； （2）先求出，然后在中，利用正弦定理求. 【详解】（1）由已知可得：，即， 则，又，所以； （2）由（1）知，又，所以， 又因为，可得， 又， 在中，由正弦定理得：， 所以． 24．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题． 问题：在中，角所对的边分别为，且______． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，利用两角和的正弦公式以及正弦定理化简得，进而得到；若选②，化简得，根据余弦定理，得到；若选③，利用正弦定理化简得，进而根据余弦定理得到. （2）解法一：结合（1），利用正弦定理得到，结合平方关系得到；解法二：根据，得到，根据正弦定理得到. 【详解】（1）若选①：由及正弦定理得， 即． 又， 所以． 因为，所以， 即． 因为，所以， 所以，． 若选②：在中，由， 得， 由余弦定理的推论得． 因为，所以． 若选③：由及正弦定理得， 即， 即． 由余弦定理的推论得． 因为，所以． （2）解法一：由（1）知，， 由正弦定理得． 又，所以， ， 解得． 又，且， 所以． 解法二：由（1）知． 又，即， 所以， 所以，故由正弦定理得， 所以． 25．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，在中，是边上的一点，，. (1)若，，求的长； (2)若，设，，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）在中，由正弦定理可得，可求，可得是等边三角形，在中，可求出，进而可求； （2）在中，余弦定理，在中，余弦定理，可得，即可求解. 【详解】（1）在中，，由正弦定理可得， ∴， ∴或， ∵，∴只能是. ∴，∴是等边三角形， ∴. 方法一：又在中，，， ∴，∴，∴. 方法二：，∴， ∴或， 当时，，符合“大边对大角”； 当时，，不符合“大边对大角”，舍. ∴，. （2）∵，∴， 记，在中，余弦定理 在中，余弦定理， 两式联合，得，∴， 整理得， ∵，∴，即. 26．（23-24高一下·浙江·期中）在中，，，分别为角的对边，． (1)求角C； (2)若是的中点，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用降幂公式可得，再根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可； （2）设相应量，在中，由正弦定理可得，进而可知，进而结合直角三角形的相关知识运算求解即可. 【详解】（1）因为，则，整理得到， 由正弦定理可得， 则，可得，且，则，可得， 且，所以． （2）如图设，，，， 在中，由正弦定理可得， 解得， 所以， 在中，， 即，整理可得，可得， 又因为，即， 在中，所以. 27．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：米，米，. (1)求的值； (2)若点分别为边上的点，且米，米，又点在以C为圆心，为半径的圆弧上（内部），准备将四边形区域种植郁金香.设，求四边形的面积关于的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件） 【答案】(1) (2)，其中为锐角且，最大值为平方米 【分析】（1）由余弦定理可求，由正弦定理可求，故可求， （2）由面积公式可求，，再利用辅助角公式可得及其最大值. 【详解】（1）在上，由余弦定理米， 在上，由正弦定理， 所以，而，故， 故. （2）因为，所以，， ， ， 所以四边形CEIF区域面积 （平方米）， 其中为锐角且，因为，故， 故当时，有最大值且最大值为平方米. ( 地 城 考点02 三角形面积公式 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江温州·期中）在中，，，，则（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由三角形面积公式可得答案. 【详解】由题可得，，因，则， 则. 故选：A 2．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】， 由余弦定理得， 解得，舍去， 则的面积为. 故选：A. 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角的对边分别为，面积为．若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面积公式以及余弦定理可得，即可利用正弦定理边角互化求解. 【详解】由得， 又,故， 所以,故， 由于，则，不可能是钝角， 由于,所以， 故选：A 4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 即， ，解得， ， ， ， . 故选：. 5．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的最短边与最长边的长度和为6，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理得出，再根据最短边与最长边的长度和为6求出各边长，计算面积即可． 【详解】因为，所以由正弦定理得， 所以最长边为，最短边为，设， 则，解得，所以， 由余弦定理，故为锐角， 所以， 所以， 故选：D． 6．（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为，面积为，若，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】分别从两个条件计算出的正切值，再计算出各个角的角度，即可判断三角形的形状. 【详解】由及正弦定理知，故. 由，知. 从而，，这说明是等腰三角形，不是直角三角形，不是正三角形，故选项A正确，选项B，C，D错误. 故选：A. 7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】A 【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 二、填空题 8．（24-25高一下·浙江·期中）在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，小明刚学习完三角形中的相关定理后自主推导出了三角形面积公式，则■处应该填写______.（用三角形已知边角表示） 【答案】 【分析】由，结合正弦定理可得，可得结论. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以，所以， 故答案为：. 9．（24-25高一下·浙江衢州·期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九䇉都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，记，则三角形面积为.已知中，，则的内切圆半径为__________. 【答案】 【分析】利用海伦公式结合等面积法，即可求三角形内切圆半径. 【详解】根据海伦公式，可知：， 再设内切圆半径为，则有， 故答案为：. 10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，若，其面积为，则__________． 【答案】 【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而求出的值. 【详解】已知，，代入面积公式可得： 则，可得：. 根据余弦定理为，可得 则.即， 把代入可得：，即. 由于为边长，可得. 故答案为：. 11．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则__________. 【答案】 【分析】由求出，求出，根据求出，再由可得答案. 【详解】 因为中为锐角三角形，所以分别在之间， 因为，， ，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用三角形面积公式，结合向量数量积运算，同角三角函数的基本关系式求解，考查整体与部分的思想. 三、解答题 12．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的值； (2)若外接圆的面积为，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，即可得解； （2）由题意先求得外接圆的半径，再利用正弦定理求得，由结合可得，即可求得的面积. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， ， ． （2）设外接圆的半径为，由，得， 由正弦定理得，所以， 由（1）知， ， ， ， ． 13．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，的面积为．求的周长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用和差角正弦公式得，由三角形内角的性质即可求角的大小； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理可得，即可得周长. 【详解】（1）在， 由已知，得，而，则， 又，所以． （2）由，得，即， 又，则，整理得， 因此，解得，所以的周长为． 14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，为钝角，且边上的高为，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再根据余弦定理可知，根据正弦定理将边转化为角的正弦即可求解； （2）根据面积公式可得，然后结合已知条件可得，，再根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 由余弦定理得，，所以，即， 由正弦定理得，，所以， 因为为三角形内角，所以，故， 所以或； （2）由题意得，，所以， 由，得，所以，， 因为为钝角，所以， 由余弦定理得，， 解得，所以. 15．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简，再结合二倍角公式纠结即可； （2）由正弦定理得到，，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，，. ，，， ，，即. （2）由（1）知，所以，， ， 所以的面积为. 16．（24-25高一下·浙江·期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求角C； (2)设，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和正弦计算得出，计算得出角； （2）应用两角和正弦公式计算得出，再应用正弦定理结合面积公式计算求解. 【详解】（1）由题知，，即， 整理，得，即， 又，， 即． （2）， 根据正弦定理知，代入得， 所以． ( 地 城 考点0 3 实际应用问题 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 3．（24-25高一下·浙江台州·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得,，再应用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度. 【详解】因为中，，，， 所以， 因为中，，， 所以，即, 由题意，，， 则， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故. 故选：B 4．（24-25高一下·浙江·期中）壕股塔是嘉兴著名景点，某同学为了测量壕股塔PQ的高，他在山下处测得塔尖P的仰角为，再沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为，那么壕股塔的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，根据给定条件，求得和，利用正弦定理即可求解. 【详解】 如图，， 所以，得. 在中，， 在中，由正弦定理得， 即，解得， 所以壕股塔的高为米. 故选：A 5．（24-25高一下·浙江台州·期中）为测量某建筑物的总高度CD，选取与塔底C在同一水平面内的两个测量基点A与B，某人在C的正西方向点A处测得塔顶的仰角为60°，C在B的西偏北75°方向，A在B的西偏北30°方向，，则这幢建筑物的总高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立几何图形，再根据正弦定理，即可求解. 【详解】由题意可知，，，，且， 所以，，， 设，则， 中，，， 解得：. 故选：A 6．（24-25高一下·浙江·期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数及圆的切线的性质可得，利用求解即可. 【详解】如图， 设球的半径为，，， ， ， ，即该球体建筑物的体积为. 故选：D 7．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在山脚处测得山顶的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走，在处测得山顶的仰角为75°，则山高为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据图中边角关系，求出和的长，然后求和即可. 【详解】因为,,所以， 因为,，所以， 又，所以，所以， 再中，， 所以山高. 故选：A 二、多选题 8．（24-25高一下·浙江·期中）图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（   ） A． B． C．从点观测峰顶的仰角为，则 D．从点观测点的仰角为，则 【答案】ABD 【分析】首先求出，即可求出，从而判断A，过点作交于点，求出，即可判断B，利用锐角三角函数判断C，利用余弦定理求出，即可判断D. 【详解】对于A：依题意，，且， 所以，则， 因为峰顶在所在地平面垂直投影点为，即平面，平面，所以， 所以，故A正确； 对于B：因为在地平面投影点落在上，即平面，且平面， 所以，过点作交于点，则，， 又，，所以， 因为山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，即， 所以， 则，故B正确； 对于C：因为从点观测峰顶的仰角为，则， 所以，则，故C错误； 对于D：因为，平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以， ， 所以，所以， 所以从点观测点的仰角为，则，故D正确. 故选：ABD 9．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（    ）    A．观测点位于处的北偏东方向 B．当天10：00时，该船到观测点的距离为 C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为 D．该船在由行驶至的这内行驶了 【答案】ACD 【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD． 【详解】A选项中，,， 因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确. B选项中，在中，，，则,又因为， 所以km,故B错误. C选项中，在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km，故C正确. D选项中，在中，由余弦定理，得 ，即km，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 10．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为__________. 【答案】 【分析】根据正弦定理求得，利用直角三角形求得树高. 【详解】在中，由正弦定理得：， 即，即 又， 则， 则树高m， 故答案为： 11．（23-24高一下·浙江宁波·期中）“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________． 【答案】 【分析】根据正弦定理计算可得，结合计算即可求解. 【详解】因为，，所以， 在中，由正弦定理可得， 则， 在直角三角形中，， 所以． 故答案为：． 12．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为_____米． 【答案】 【分析】在中，利用正弦定理求得长，在中利用三角函数的定义即可求得长. 【详解】如图，在中，， 由正弦定理，， 则， 在中，. 故答案为：. 13．（24-25高一下·浙江·期中）甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为_______千米． 【答案】 【分析】画出简图，由余弦定理即可求解. 【详解】 设两小时后，甲、乙两船的位置分别为处， 由题意可知， 所以， 由余弦定理可得：， 即， 所以， 故答案为： 14．（24-25高一下·浙江·期中）衢州是孔子后裔的世居地和第二故乡，素有“东南阙里，南孔圣地”的美誉，孔子雕像坐落于孔子文化公园内．如图，选取与孔子雕像底部在同一平面内的三个测量基点，且在处测得雕像顶点的仰角分别为，米，则孔子雕像高为______米． 【答案】 【分析】设米，得到，结合及余弦定理求解. 【详解】设米，由题设有，又， 由， 所以，则，可得米. 故答案为： 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，飞机在点到，点的俯角分别为，，飞行3千米后，在点到，点的俯角分别为，，则测得两山顶，间距离为______千米．    【答案】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】    因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故， 所以 故答案为：. ( 地 城 考点0 4 最值问题 ) 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形两边之和大于第三边和余弦定理，求解的范围，判断选项. 【详解】由，则， 所以，故， 由为钝角三角形，则， 即，得，故， 故的取值范围为， 故选：A 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，，且，若，则边的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理可得，再利用余弦定理结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则， 由正弦定理可得， 又因为，则，可得， 即，所以， 由余弦定理可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以边的最小值为. 故选：D. 3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解． 【详解】已知满足， 设、、对应的边分别为，，， 则， 即， 则， 当且仅当时取等号， 即的最小值为． 故选：D． 4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简，利用三角恒等变换求出，再由余弦定理及均值不等式求的范围即可. 【详解】由三角形面积公式及余弦定理可得： ， 即，可得，由， 可知，所以， 所以，即， 由均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 即，解得，又，所以， 故选：D 5．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且B，A，D三点共线，设点P是内的任意一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】将绕点顺时针旋转到，根据两点之间线段最短结合余弦定理可求的最小值，或者建立平面直角坐标系，根据费马点的性质结合圆的方程可求费马点的坐标，从而可求的最小值，也可以费马点的几何特征结合正弦定理可求的值，从而可求的最小值. 【详解】由题设有，而， 由余弦定理可得， 所以，故是直角三角形， 且，. 法一：几何法 将绕点顺时针旋转到，则， 则， 当且仅当四点共线时等号成立，此时， ， 即为费马点时，取最小值， 因为，， 所以.， 故当且仅当为费马点时，取最小值且最小值为. 法二：解析法 以点为原点建立平面直角坐标系，且，， 由费马点的定义知点满足， 故在以为弦且半径为的劣弧上， 设圆心为，而，故，故， 故圆， 同理也在以为弦且半径为的劣弧上， 其方程为， 由可得， 再代入其中一式解得，（舍） 所以取最小值时，，， 故取最小值且最小值为. 法三：代数法 设，则， 由费马点的性质可得，（）， 由正弦定理可得且， 故，整理得到， 解得，即， 此时， 而，同理 故的最小值为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于给定条件的几何问题，我们可以根据几何对象的性质结合正弦定理或余弦定理求解几何量，或者利用旋转构造最值线段. 二、多选题 6．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（    ） A． B．边的取值范围是 C．面积取值范围是 D．周长取值范围是 【答案】ABC 【分析】A选项，由余弦定理得到，得到；B选项，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，从而得到；C选项，在B选项基础上得到；D选项，由正弦定理得到，结合B选项，得到周长的取值范围. 【详解】A选项，由题意得，即， 因为，所以，A正确； B选项，由正弦定理得， 故， 因为锐角中，，所以， 解得，故， ，B正确； C选项，由B可知，，故， 面积取值范围是，C正确； D选项，由正弦定理得，故， 因为，所以， 故， 所以周长取值范围是，D错误. 故选：ABC 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 7．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（    ） A． B．的取值范围是 C．当时的外接圆半径为 D．若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由对进行化简得，在利用正弦定理可以推出；再由为锐角三角形化简出的取值范围，且根据正弦定理化简出可判断出的取值范围；同样根据，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圆半径；由的取值范围，且对进行化简得，且，当取到最大值时转化成求出的取值范围. 【详解】对于A：，且，即， 由正弦定理得：， 即， 或（舍去）， ，故A正确； 对于B：由正弦定理， 则， 为锐角三角形，则，即， ，所以，故B不正确； 对于C：且， ，所以， 由正弦定理，求得，即的外接圆半径为；故C正确； 对于D： ，且， ，即； 要使得有最大值，即有最大值， 此时，当有最大值时，即时， 有最大值为，此时， ，又， ，， ∴的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是利用正弦定理得到，再求出角的范围即可判断；D选项的关键是充分利用辅助角公式得到其范围. 8．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列命题正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若且有两解，则的取值范围为 C．若且为锐角三角形，则的取值范围为 D．若且，为的内心，则的面积为 【答案】BCD 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，由正弦定理得到，再结合正弦函数的值域求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，故选项A错误； 选项B：由正弦定理可得， 故，因为有两解，且，所以， 故，即b的取值范围为，故选项B正确； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角三角形中，内角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为__________． 【答案】 【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可求出角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，即， 由正弦定理可得，所以， 因为，则， 因为，所以，所以，则，故，所以， 由余弦定理可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，故面积的最大值为. 故答案为：. 10．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，求得，且，结合三角形的性质，得到，再由正弦定理得到，进而求得，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以， 可得， 因为为的内角，所以，则， 又因为，可得，所以， 因为，由正弦定理得， 又因为， 所以， 则， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：. 11．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）锐角中，角,,所对的边分别为,,，，且，则周长的取值范围为______ 【答案】 【分析】先利用正余弦定理及两角和正弦公式化简题干得出，再利用锐角三角形即可求解角范围，再利用正弦定理求出，得出关于角的函数，最后求该函数的值域即可. 【详解】，由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 所以， 又， 所以，又为锐角三角形，所以， 又，所以，， 所以， 又，解得，所以，所以， 则， 故周长的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为__________. 【答案】 【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【详解】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故答案为：. 13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知是锐角三角形，内角所对的边分别为．若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据余弦定理化简题给条件得到角的关系，得到角范围.再利用正弦定理边化角化简，再换元根据二次函数性质即可得解. 【详解】因为，，由余弦定理， 所以，化简得. 由正弦定理得， 又，， ，即. 因为是锐角三角形，所以，. 又因为在上单调递增， 所以，即，所以. 由可得且，得. 由正弦定理 ， 令，则，在上递增， 因时，；时，. 所以. 故答案为：. 四、解答题 14．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求边长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式对原式进行化简，得到，再利用三角形内角的性质求解角度即可. （2）先利用正弦定理求出，再利用锐角三角形的性质求出，最后结合正弦函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 则， 得到， 因为，所以， 化简得，而，则解得. （2）由正弦定理得，则， 因为为锐角，所以，， 解得，结合可得， 得到，则，故. 15．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 已知是的三个内角的对边，且__________. (1)求； (2)若，求锐角的周长的取值范围. 【答案】(1)选①②③，答案均为 (2) 【分析】（1）选①，由正弦定理得到，利用余弦定理得到；选②，利用恒等变换得到，结合，求出；选③，由正弦定理和三角恒等变换得到，求出答案； （2）由正弦定理得到，变形得到的周长，利用是锐角三角形，所以，结合正弦曲线求出取值范围. 【详解】（1）选①，由， 可得， 因为及正弦定理，可得， 所以，整理得， 则，因为，所以； 选②，由，可得， 即， 因为，可得，所以，即； 选③，由，由正弦定理得， 即， 即， 整理得， 因为，可得， 即，因为，所以. （2）由，可得， 故， 所以周长， 又由，可得， ， 又因为是锐角三角形，所以， 即，解得， 可得，所以， 所以， 所以的周长的取值范围为. 16．（24-25高一下·浙江台州·期中）设的三个内角,,所对的边分别为,,，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最大值； (3)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）由正弦函数的差角公式，根据同角三角函数的商式，可得答案； （2）由余弦定理建立方程，根据完全平方公式以及基本不等式，可得答案； （3）由锐角三角形的性质，可得角的取值，利用正弦定理，整理三角函数的解析式，并由三角函数的恒等式，可得答案. 【详解】（1），，，； （2）由余弦定理可得，， ，   的最大值为4，当且仅当时取到； （3），，，. ， ， ，，. 17．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，请在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： (1)求角A的大小； (2)若_____，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将边化为角，结合两角和的正弦公式化简即可； （2）若选①，则由正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换及三角函数图象可求范围；若选②，则由正弦定理将边化成角，结合正切函数的图象即可求解范围. 【详解】（1）∵ ， ∵，∴，∴， ∵，∴ （2）若选①； 由正弦定理可知：， ， 又因为锐角三角形，所以， 所以，， 故； 若选②，由正弦定理可知， ， 又因为锐角三角形，所以，， . 18．（24-25高一下·浙江·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求角A； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若的面积，E为线段BC上一点，且存在，使得，求AE长度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及辅助角公式化简即可得解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用正弦型函数的值域求解； （3）根据正弦定理及余弦定理，利用面积公式化简，由二次函数性质求解. 【详解】（1）由正弦定理知，，即， 整理，得，， ． （2）， ， ，，． ，． （3）设d为线段AE长，由题可知，AE为内角平分线，则， 由得，，所以， 由余弦定理得，即，所以， ，， 因为，所以． 即线段AE长度的取值范围为． 19．（24-25高一下·浙江·期中）已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A的值； (2)记边上的高为h， （i）若，求的值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）或；  （ii） 【分析】（1）由正弦定理边化角可得：.在中，根据代入上式化简，再利用辅助角公式和角的范围即可求解； （2）（i）由（1）知.根据三角形面积公式及余弦定理可求得的值，再利用正弦定理边化角即可求解； （ⅱ）由三角形面积公式及可得，代入，利用正弦定理边化角化简可得，结合角的范围和正弦函数性质即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理可得：. 在中，∵，∴， 代入上式化简可得：. ∵，∴，即，∴ . 又∵，∴，∴或，即或. 又为斜三角形知，∴. （2）（i）由（1）知. ∵面积，边上的高， ∴. 由余弦定理可知：，即，即，∴或. 所以或. （ⅱ）由，得， ∴ . ∵，∴，∴. 20．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点且. (1)若， （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）已知，，可计算出，在中，利用正弦定理，结合已知的、和，建立等式求解；（ii）先由余弦定理，结合已知的、和，求解，最后依据三角形面积公式，计算的面积. （2）在中，用角表示；在中，结合角、的关系，用角表示，然后将转化为关于角的三角函数，根据角度范围，结合三角函数的性质求取值范围. 【详解】（1）（i），，又，. 在中，已知，，，根据正弦定理可得， 即. （ii）在中，已知，，，根据余弦定理可得 ，将数值代入可得， 即，解得或. 由图可知，在中，，则，，. 根据三角形面积公式可得， 的面积. （2）由（1）可知，，，又， 则在中， ，即； 在中，由正弦定理可得，即. 在中，因为，所以，即. 因此，. ，，，即. 故的取值范围为. ( 地 城 考点0 5 中线、角平分线问题 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的4倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面积之比可得，作边上高，垂足为，即可求. 【详解】 因为， 即，在中，作边上高，垂足为， 则， 故选：A 2．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A中，由正弦定理可得中线的表达式，判断出A的真假；B中，由三角形等面积法求出角平分线的表达式，判断出B的真假；C中，由三角形等面积法求出高的表达式，判断出C的真假；D中，由选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出D的真假． 【详解】A：设为的中线，由可得,可得， 即，所以A正确； B中，设，设为的角平分线，所以， 由三角形等面积法可得， 可得， 所以，即，所以B正确； 设为边上的高，由等面积法可得， 所以，因为，由余弦定理可得， 所以， 所以， 即，所以C正确； D中，由C可得，所以D不正确． 故选：D． 3．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 【详解】因为是边上的中线，所以， 则， 由正弦定理得， 可得，， 所以， 而， ， 所以 ， 因为为锐角三角形，，则，即， 所以，所以， 所以当时，取得最大值，的最小值大于， 所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为． 故选：B． 二、多选题 4．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，设，，，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为12 B．外接圆的周长是 C．若为的中点，则中线长度为 D．内切圆的面积是 【答案】ABC 【分析】应用数量积公式结合余弦定理及面积公式判断A，应用余弦定理求出得，结合正弦定理判断B，根据中线向量公式结合B中结果计算的长后可判断C，利用等积法求内切圆半径判断D. 【详解】对于A，，解得， 故，故边上的高为， 故的面积为，故A正确， 对于B，由余弦定理得，而为三角形内角， 所以，外接圆的周长是，故B正确； 对于C，因为， 故 ， 故，故C正确； 对于D，内切圆的面积是，故， 故，故D不正确. 故选：ABC. 5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（    ） A．的周长为 B．的三个内角，，满足关系 C．的外接圆半径为 D．的中线的长为 【答案】ABC 【分析】根据已知结合正、余弦定理和面积公式可以求得，，进而可以得到选项ABC是否正确，选项D，弦利用正弦定理和三角变换求出，再借助余弦定理解三角形，可得解. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 设，利用余弦定理得，， 而，则，由，得， 解得，因此， 对于A， 的周长为，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由正弦定理得外接圆半径为，C正确； 对于D，在中，利用正弦定理，解得，又，则， 在中，由余弦定理，D错误． 故选：ABC 三、填空题 6．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为，，的角平分线交于点D，且，则的最小值为_____． 【答案】36 【分析】由余弦定理得，利用三角形面积关系建立方程关系得，结合基本不等式“1”的代换进行求解即可. 【详解】由题意，如图所示，在中，由余弦定理得 ， 因为， 所以. 因为为的角平分线， 所以的面积为， 即，故，且， 所以， 当且仅当，即取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 7．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且． (1)求角A； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得建立方程，整理化简，可得答案； （2）由三角形面积计算，根据余弦定理结合基本不等式，可得答案. 【详解】（1）因为，且平分， 所以， 因为，所以， 整理得， 因为，所以， 故，即， 因为，所以，得． （2）由余弦定理可得：， 则，当且仅当时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为. 8．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积为，为边上的一点， （i）若，求长． （ii）若，求长的最小值； 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）应用余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小； （2）（i）由已知得，若且，则，利用面积公式得，进而有，最后应用余弦定理求边长； （ii）由已知可得，应用向量数量积的运算律得，根据三角形面积公式得，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】（1）由，则， 所以，则， （2）（i）由题设，则， 若且，如下图示， 由，，则，则， 所以，则， 故； （ii）由，如下图示，， 所以，则 ， 又，则，故， 当且仅当时取等号，故长的最小值为. 9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 10．（23-24高一下·浙江9+1联盟·期中）在中，，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？ 【答案】(1) (2) (3)当为何值时，最短 【分析】（1）由题意可知：，结合数量积的运算律分析求解； （2）利用正弦定理可得，结合长度关系分析求解； （3）设，利用面积关系和余弦定理可得，结合三角恒等变换以及基本不等式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，则， 即， 且，整理可得，即或（舍去）， 所以的值为. （2）在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即， 若为的角平分线，则，即， 且，则， 即，可知， 则，可知， 又因为，则，所以. （3）由（2）可知：，则， 且最短，即为最短， 设，则，，， 可知，可得， 由余弦定理可得， 则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 由（1）可知：，即， 可得，即（负值舍去） 所以当为何值时，最短. 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可得解； （2）①由面积公式求出，再由，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最小值，即可得解；②由等面积法得到，再由基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理，因为，所以， 所以； （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由为的中点，所以， 所以 ，当且仅当时，等号取得到， 所以，则，故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 所以， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故，故的最大值为 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $