专题02 二元一次方程组全章24种题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

专题02 二元一次方程组 题型1 二元一次方程的定义 题型13 列二元一次方程组 题型2 二元一次方程的解 题型14 分配问题（难点） 题型3 二元一次方程组的判断 题型15 图表信息题 题型4 二元一次方程组解的判断 题型16 行程问题 题型5 已知方程解求参数（难点） 题型17 工程问题 题型6 代入消元法（常考点） 题型18 几何问题（难点） 题型7 加减消元法（常考点） 题型19 方案问题（常考点） 题型8 二元一次方程的特殊解法 题型20 数字问题 题型9 构造二元一次方程组求解 题型21 销售利润问题（常考点） 题型10 已知方程解的情况求参数（常考点） 题型22 和差倍分问题 题型11 方程的错解还原问题（难点） 题型23 古代问题（常考点） 题型12 方程组同解问题（难点） 题型24 三元一次方程组及其解法 题型1 二元一次方程的定义（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义进行判断． 【详解】解：A、该方程含有个未知数，故本选项不合题意； B、该方程中含有1个未知数，并且含有未知数最高次数是，故本选项不合题意； C、该方程分母含未知数，不是整式方程，故本选项不合题意； D、该方程中含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，属于二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是求解本题的关键．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、不是整式，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； B、为二次，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，所以该选项符合题意； D、有三个未知数，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江温州·月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、中包含3个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、，未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 题型2 二元一次方程的解（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）属于二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并把选项的值代入原方程验证二元一次方程的解． 题目要求从选项中找出满足二元一次方程的解，只需要将每个选项中的数对代入方程左边，看结果是否等于5即可． 【详解】解：A．， ∴是方程的解，故此选项符合题意； B．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； C．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：A ． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知是方程的一组解，则a的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】∵是方程的一组解， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，通过移项将方程变形即可求解，掌握解二元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型3 二元一次方程组的判断（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组是二元一次方程组，二元一次方程组中的各个方程应是整式方程，根据定义解答． 【详解】解：A、方程组含三个未知数x、y、z，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组仅含x、y两个未知数，且均为一次整式方程，是二元一次方程组，符合题意； C.、第一个方程含项，次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； D、第一个方程含分式，不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期中）下列各组方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程． 利用二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A. 该方程组是二元一次方程组，选项符合题意； B.方程 ，含未知数的项的次数是2次，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； C. 该方程组含有三个未知数，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； D.方程不是整式方程，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江金华·月考）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的概念．二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．利用二元一次方程组的定义逐一选项判断即可． 【详解】解：A、方程组中方程不是整式方程， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意． B、∵方程组中方程是二次方程， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意； C、∵方程组含有三个未知数， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组是二元一次方程组，符合题意． 故选：D． 题型4 二元一次方程组解的判断（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列各组数是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【详解】解：A．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故A不符合题意； B．将代入方程，左边右边，所以是方程的解，故B符合题意； C．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故C不符合题意； D．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故D不符合题意． 故选：B． 3．（22-23七年级下·浙江温州·月考）下列是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次将各选项代入二元一次方程，能使等式成立的即为答案． 【详解】解：A． 当时，，， 是二元一次方程的解，故A正确； B． 当时，，， 不是二元一次方程的解，故B错误； C． 当时，，， 不是二元一次方程的解，故C错误； D． 当时，，， 不是二元一次方程的解，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，是基础考点，掌握方程的解的概念是解题关键． 题型5 已知方程解求参数（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）方程组的解为则被遮盖和的两个数分别为（   ） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键．把代入求出值，将，代入即可得出答案． 【详解】解：由题意得：将代入得：， 将，代入得：， ∴，． 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入方程中即可求出的值，继而求出被“”遮住的数． 【详解】解：把代入方程中，得， 把，代入方程中，得， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如果是方程组的解，则__． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确的计算是解题的关键． 将方程组的解代入方程组得到关于、的方程组，然后整体代入即可． 【详解】解：将代入方程组得：， ∴． 故答案为：5． 题型6 代入消元法（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江温州·月考）用代入法解方程组时，将①代入②得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代入消元法解方程组，根据代入消元法，把②中的换成即可． 【详解】解：①代入②得，， 即． 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）已知方程，用含x的代数式表示y，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，将含x的项移到等号右边，再把等式两边同时除以3即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将代入求出，再将代入求解即可； （2）将变形为，将代入求出，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得解得 ， 将代入，   得 方程的解为 （2）解：将乘以2得到， 移项得 将代入， 得， 所以， 将代入得 方程的解为 题型7 加减消元法（共3小题） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义一种运算如下：，和均为常数，已知：，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用；根据新定义运算，建立关于a、b的二元一次方程组，求出a、b后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解方程组，得：， 所以， 故答案为：4． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，包括代入消元法和加减消元法的应用． （1）利用加减消元法将两方程相加得到关于x的方程并解得x的值，再将x的值代入第一个方程即可求解y的值，方程组的值即可解得； （2）先将第一个方程的分母消去化简得到③式，再通过加减消元法得到x的值，再将x的值代入③式即可求得y的值，方程组的值即可解得． 【详解】（1）解：， 由得：，解得， 将代入①式得：，解得， ∴方程组的解为． （2）解：， 先将①化简得：③， 由得：， 由得：， 两式相加得：，解得， 将代入②式得：，解得， ∴方程组的解为． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入法进行求解； （1）利用加减消元法进行求解； （2）利用加减消元法进行求解． 【详解】（1）解：方程组整理得： 得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为． 题型8 二元一次方程的特殊解法（共3小题） 1．（25-26九年级下·浙江台州·月考）已知，满足方程组，则________． 【答案】1 【分析】将方程组中两个方程作差变形，即可求出的值． 【详解】解： 得，， 整理得，， 等式两边同除以得，． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）实数x，y满足，则________． 【答案】或 【分析】设，，原方程组转化为：，进而得出，分类讨论，即可求解． 【详解】设，，原方程组转化为： 将第一个方程乘2得， 用第二个方程减该式得， 代入得，即： 当时，，即或， 解得或 ∴或 当时，，即或， 解得或 ∴或 综上，的值为或． 3．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出． 【详解】解： 将①和②相加，得： 化简得：． 故答案为：5． 题型9 构造二元一次方程组求解（共3小题） 1．（24-25九年级上·浙江宁波·自主招生）关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，代数式的代入变形，掌握系数比较法是解题关键． 由原方程组的解可得和的表达式，代入新方程组后通过比较系数求解． 【详解】解：由已知方程组的解为， 代入得，， 将和代入新方程组， 得， 比较系数可得． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知与的值互为相反数，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，非负数的性质，解二元一次方程组，建立二元一次方程组是解题的关键． 根据非负数的性质，由互为相反数可得平方项与绝对值之和为零，从而建立二元一次方程组，解方程组求出x和y的值，再计算的值． 【详解】∵ 与 互为相反数， ∴ ， 由于平方项和绝对值均为非负数， 因此， 解方程组得， ∴ ． 故答案为：0． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值； （2）根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型10 已知方程解的情况求参数（共3小题） 1．（2025七年级下·浙江·专题练习）若关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相加构造出与已知条件相关的关系式是解题的关键．通过将方程组中的两个方程相加，得到关于与的关系式，再结合求解． 【详解】解： 得， ， ∵ ∴ ∴ 故选： 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 题型11 方程的错解还原问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值代入组成方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可知，将代入， 得， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 将，代入原方程组， 得， 解得：， ∴原方程组正确的解是． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把甲的解代入第二个方程、乙的解代入第一个方程求出的值，确定出方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 把代入原方程得， 解得： ． 故答案为：． 题型12 方程组同解问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键．将原方程整理后得到关于，的方程组，解方程组即可得到这些方程的公共解． 【详解】解：已知是关于，的二元一次方程， 去括号得：， 整理得：， 当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解， 可得方程组， 解得：， 这些方程的公共解为， 故答案为： 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，先求出方程 的解，再把代入得，然后解方程即可，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程和的解相同， ∴将代入方程得， ， ， ， ， ， 解得， ∴的值为． 3．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二元一次方程组： （1）利用加减法求解比较简便； （2）把的值代入方程组得关于的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为 （2）解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得． 题型13 列二元一次方程组（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍，则该兴趣小组男女生分别有多少人？设男生有人，女生有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．根据题意，每个人看不到自己戴的帽子，男生看到其他男生的蓝帽子和所有女生的红帽子，女生看到所有男生的蓝帽子和其他女生的红帽子，据此列出方程． 【详解】解：设男生有人，女生有人， 每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个， 男生看到的蓝帽子数为，红帽子数为， . 每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍， 女生看到的蓝帽子数为，红帽子数为， . 因此方程组为， 故选：A． 2．（2024九年级下·浙江·学业考试）购买甲、乙两种纯净水共用 250 元，已知甲种水每桶 8 元，乙种水每桶 6 元；甲种水的桶数是乙种水桶数的 ． 设买甲种水 桶，买乙种水 桶，则所列方程组中正确的是 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，设买甲种水桶，买乙种水桶，根据等量关系：买甲、乙两种纯净水共用元，甲种水的桶数是乙种水的桶数的列方程组即可． 【详解】解：设买甲种水桶，买乙种水桶，列方程组得， 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则=____． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、方程组的应用等知识点，根据图形表示出、、、成为解题的关键． 先根据图形表示出、、、，再根据方程组得到a、b、c的关系，然后代入计算即可． 【详解】解：图2中阴影部分的周长，面积； 图2中阴影部分的周长，面积； ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴． 故答案为：． 题型14 分配问题（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）2024年4月3日，我国台湾省发生7．3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 【详解】解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 2．（2024·浙江金华·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设用x 张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意得：， 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 【答案】(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工 (2)需要安排初级工5人，高级工人 (3)应安排初级工名，高级工8名 【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用．找准等量关系，列出正确的等式是解题的关键． （1）设需要安排名初级工，根据需要日生产件零件，可列出关于的一员一次方程，解之即可； （2）设需要安排初级工x人，高级工y人，根据日生产件零件且该工厂每日支付薪酬元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （3）设需要安排参与生产的初级工人，高级工人，根据日生产件零件，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各安排方案，结合每4名初级工生产时需要1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），可列表得出具体安排方案，再求出选择各方案需支出工人的总日薪酬，比较后即可得出答案． 【详解】（1）解：设需要安排名初级工， 根据题意得：， 解得：， 答：若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工． （2）解：设安排初级工x人，高级工y人 ，解得 答：需要安排初级工5人，高级工人． （3）解：设参与生产的初级工人，高级工人 则，化简得， 则为5的倍数，可列表如下： 0 5 5 参与指导的高级工人数 8 6 4 2 高级工人数 8 费用 ∴应安排初级工29名，高级工8名． 题型15 图表信息题（共3小题） 1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 【答案】33 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设投中小圈得x分，投中大圈得y分，根据小亮及笑笑的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分． 【详解】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分， 根据题意得： ， 得：， ∴小红得分为33分． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；送件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克，总费用是25元． 解决问题 任务1 请你确定a，b的值． 任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． 任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量． 【答案】【任务1】； 【任务2】69元； 【任务3】丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 【分析】本题考查了的二元一次方程的实际应用，处理表格所给的信息列出方程是解题的关键． （1）根据甲的配送信息列出二元一次方程组运算求解即可； （2）根据乙的计价里程和计价重量列式运算即可； （3）设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克，分类讨论列式运算即可． 【详解】【任务1】 解：由题意可以列出方程组， 解得：； 【任务2】 由题意可知乙的计价里程和计价重量分别为千米，千克， ∴乙的这单跑腿费用为（元）； 【任务3】 设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克（，）， ①若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ②若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ③若，时，跑腿费用为， 整理得，即， ∵为偶数， ∴代入验证可得， 即丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 题型16 行程问题（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，设飞机无风时的平均速度为，风速为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据速度时间路程，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·浙江·期中）甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．则甲的速度为（   ）千米小时． A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据相遇问题中的路程关系建立方程组求解． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据题意，得 ， 解得． 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 题型17 工程问题（共3小题） 1．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、，根据题意列出方程组，求解即可得解，理解题意，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、， 由题意可得：， 解得：， 故水管①、②、③为进水管，水管④、⑤为出水管， ∵， ∴最快注满水池的水管编号为③， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选：A． 3．（22-23七年级下·浙江金华·期末）东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长米的河道整治任务，原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天．已知工程队每天整治米，工程队每天整治米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： 甲：     乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：未知数分别表示______．     乙：未知数分别表示______． (2)补全甲、乙两名同学所列的方程组． (3)若工程队完成原计划河道整治任务后，工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务，问工程队现在每天需整治多少米河道？ 【答案】(1)①表示工程队的工作时间；②表示工程队工作时间；③表示工程队的工作量；④表示工程队的工作量． (2)；． (3) 【分析】（1）根据题意及二元一次方程组可知表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间，表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）根据工程队完成原计划河道整治任务可知工程队的完成的任务为米进而即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴表示工程队的工作时间，表示工程队的工作时间， 故答案为：表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间； ∵， ∴表示工程队的工作量，表示工程队的工作量， 故答案为：表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 设工程队的工作量为米，工程队的工作量为米， ∵两个工程队的工作总量为米，两队的工作时间为天， ∴， （3）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 解得：， ∵工程队完成原计划河道整治任务， ∴工程队的完成的任务为（米）， ∵河道整治总任务为（米） ∴剩下的任务为（米）, ∵工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务， ∴完成任务的时间为天， ∴工程队现在每天需整治的天数为（米）， 答：工程队现在每天需整治米河道． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题，掌握二元一次方程组与实际问题是解题的关键． 题型18 几何问题（共3小题） 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·月考）如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若，，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为______． 【答案】128 【分析】本题主要考查了列代数式，解二元一次方程组，解题的关键是表示出图形的面积． 利用二元一次方程组，求出的值，然后求出大正方形和小正方形的边长，最后求出面积即可． 【详解】解：由，得， ，， 解得， 由得，白色小正方形的边长为， ∴黑色大正方形的边长为， ∴未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为， 故答案为：128． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，周长为的长方形中刚好铺满6块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为___________． 【答案】18 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设每块小长方形木块的长为，宽为，根据题意和图形建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设每块小长方形木块的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得， 则每块小长方形木块的面积为， 故答案为：18． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）小明用8块大小一样的长方形瓷砖恰好拼成一个大的长方形（如图1）；小红也用8块这种瓷砖拼出了一个正方形（如图2），但中间还留下一个边长为的小正方形（阴影部分）．你能求出这些长方形瓷砖的长和宽吗？ 【答案】这些长方形瓷砖的长和宽分别为，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这些长方形瓷砖的长为，宽为，由图中信息列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设这些长方形瓷砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 答：这些长方形瓷砖的长和宽分别为，． 题型19 方案问题（共3小题） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）按照计划某校八年级360名师生要参加一天的研学活动，客车公司有三种车型可以供选择： 车型 座位数（个） 租金（元） 甲种 30 360 乙种 40 400 丙种 50 480 请帮老师解决下列问题： (1)学校计划租用两种车型，那么从人均成本最低的角度考虑，你认为学校应该选择哪两种车型，请说明理由． (2)现租用（1）中选择的两种车型，且每辆车的座位要求坐满，问是否存在这样的租车方案？若存在，则写出符合条件的租车方案，若不存在，请说明理由 (3)计算研学活动租车的最低费用． 【答案】(1)乙丙 (2)存在，租车方案为租用乙种车4辆，丙种车4辆 (3)3520元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）先计算三种车型的人均成本，人均成本越低，整体租车的人均花费越少，因此选择人均成本较低的两种车型即可； （2）设租用乙种车x辆，丙种车y辆，由题意得：，若方程有正整数解，则存在租车方案，否则不存在； （3）先比较各车型的单位座位成本，优先选择单位座位成本低的车型，列举所有可行的租车方案并计算费用，通过比较得出最低费用． 【详解】（1）解：租用乙丙两种车型； 租用甲种车型，人均需要（元），租用乙种车型，人均需要（元），租用丙种车型，人均需要（元）， 由于，则乙丙两种车型的人均成本最低， 答：从人均成本最低的角度考虑，学校应该选择乙丙两种车型． （2）解：存在； 设租用乙种车x辆，丙种车y辆， 由题意得：， 则， 由于x、y都为正整数， 则只能取4的倍数， 当时，，当时，为负数， 答：租车方案为租用乙种车4辆，丙种车4辆． （3）解：由（1）知，，丙种车的人均成本最低， 优先考虑人均成本低的车型，所租的车尽量坐满： 方案一：由（2）知租用乙种车4辆，丙种车4辆，租车费用为（元）； 方案二：租用9辆乙种车，总费用为（元）； 方案三：租用6辆丙种车，2辆甲种车，总费用为（元）； ∵， ∴租车的最低费用为3520元； 答：研学活动租车的最低费用为3520元． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 【答案】(1)每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元 (2)6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，实际问题与一元一次方程； （1）设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元，根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）根据题意得到打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同，设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱，根据题意列出二元一次方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元， 根据题意得： ， 解得， 答：每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元． （2）解：， ∴打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同． 设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱， 则原价的咖啡买了（箱）． 根据题意得 ∴． 又∵均为非负整数， ∴， ∴ （箱）， ∴此次按原价购买的咖啡有6箱． 故答案为：6． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期末）某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 【答案】(1)540 (2)A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨 (3)共有3种可行的运输方案：方案1：使用2辆A货车，10辆B货车；方案2：使用5辆A货车，6辆B货车；方案3：使用8辆A货车，2辆B货车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据第一、二次A，B两种货车使用数量比例相同，即可求出第二次运算防疫物资的质量； （2）设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨，根据第一、三次运输记录的数据，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用m辆A货车，n辆B货车，根据要一次运输190吨防疫物资且每辆货车均满载，列出二元一次方程，求出自然数解，即可得出各运输方案． 【详解】（1）解：∵， ∴表格中被污渍盖住的数是（吨）， 故答案为：540． （2）解：设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨． （3）解：设使用m辆A货车，n辆B货车， 依题意得：， 整理得：， 又∵m、n均为自然数， ∴或或， ∴共有3种可行的运输方案： 方案1：使用2辆A货车，10辆B货车； 方案2：使用5辆A货车，6辆B货车； 方案3：使用8辆A货车，2辆B货车． 题型20 数字问题（共3小题） 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 根据每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于的二元一次方程，化简后，即可得出的值． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则______________． 【答案】 【分析】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．根据题意可得关于、的方程，继而进行求解即可得答案． 【详解】根据题意可得： 解得， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出对应的方程组求解是解题的关键．根据内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等列出方程组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 两式相加得： ， 故答案为：3． 题型21 销售利润问题（共3小题） 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动： 购买礼盒金额 优惠政策 不超过700元 不享受优惠 超过700元，不超过1200元 总价享受9折优惠 超过1200元 总价享受8折优惠 (1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用． (2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元． ①求小李爸爸每种礼盒的购买数量． ②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用． 【答案】(1)购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 (2)①坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒；②妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用． （1）根据题意列出算式，即可求解． （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元．分，，三种情况分类讨论，分别根据优惠政策，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒的费用为：（元） 超过700元，不超过1200元 ∴（元） 答：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意得： ， 解得， 答：坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒， ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元， 由于总费用超过1200元，小李一个人购买可享8折优惠，节省204元， 说明合并后享受8折优惠（9折最多节省元，不足204元）， ， 当时，，解得：， 而，不符合题意； 当时，， 即， 解得：元， 妈妈支付元， 当时，无解； 答：妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）探究学校校服订购的方案． 素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录． 年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元 2022 100 80 7300 2023 120 60 7500 素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版． 【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价． 【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？ 【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有_件．（请直接写出答案） 【答案】任务1：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元；任务2：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件；任务3：11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． 任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元，根据题意列方程组求解即可； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件，则，得到，根据，且m， n均为正整数得到符合要求的解即可； 任务3：由题意可知一件新版衣服55元，一件新版裤子45元，设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的  1 4 1 4 ，可得 ，整理得  ，根据总花费9200元，列出二元一次方程，进而找出符合要求的解即可． 【详解】任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元， 由题意，得 解得 答：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件， 由题意，得， 化简，得， ∵，且m， n均为正整数， 或 答：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件； 任务3：∵每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元， ∴一件新版衣服55元，一件新版裤子45元， 设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的  1 4 1 4 ，可得 ，整理得  ， 由题意，得 ， 将 代入，得 ， 化简得． ∵， 且a， b均为正整数， ∴，． 故答案为：11． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元；2只“冰墩墩”和6只“雪容融”的进价共计780元． (1)“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案； (3)若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润． 【答案】(1)“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是80元 (2)3种采购方案，方案1：购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具；方案2：购进14只“冰墩墩”毛绒玩具，30只“雪容融”毛绒玩具；方案3：购进6只“冰墩墩”毛绒玩具，45只“雪容融”毛绒玩具 (3)当购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具时，销售利润最大，最大利润是1400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的实际应用、有理数的四则混合运算的应用，正确理解题意找到等量关系列出对应的方程和方程组是解题的关键． （1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该专卖店购进只“冰墩墩”毛绒玩具，只“雪容融”毛绒玩具，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总利润每只的销售利润销售数量，可求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是80元； （2）解：设该专卖店购进只“冰墩墩”毛绒玩具，只“雪容融”毛绒玩具， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 该专卖店共有3种采购方案， 方案1：购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具； 方案2：购进14只“冰墩墩”毛绒玩具，30只“雪容融”毛绒玩具； 方案3：购进6只“冰墩墩”毛绒玩具，45只“雪容融”毛绒玩具； （3）解：选择方案1可获得的总利润为（元； 选择方案2可获得的总利润为（元； 选择方案3可获得的总利润为（元． ， 当购进22只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具时，销售利润最大，最大利润是1400元． 题型22 和差倍分问题（共3小题） 1．（2024·浙江·二模）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人， 依题意得：， 解得：， 即1艘大船可以满载游客的人数为人， 故选：C 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为_名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程_．（只需列出方程，不用解答） (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用代数式表示，一元一次方程的应用，二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系． （1）利用代数式表示出生产螺母的工人，再根据螺栓与螺母配套的数量关系“螺母数量螺栓”列出方程即可； （2）设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，根据车间工人总数，以及螺栓与螺母配套的数量关系建立二元一次方程组求解，即可解题． 【详解】（1）解：若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为名， 由题意可列出方程； 故答案为：，． （2）解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意得， 解得， 答：分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【答案】甲原来有38本书，乙原来有18本书 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲原来有x本书，乙原来有y本书，根据如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲原来有x本书，乙原来有y本书， 由题意得，， 解得， 答：甲原来有38本书，乙原来有18本书． 题型23 古代问题（共3小题） 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意如下：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差半斤（注：明代1斤＝16两，故有成语“半斤八两”），设有银子x两，人数y人，则下列方程正确的是（    ） ；；③；④． A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据银子总数不变和人数不变的等量关系，推导对应方程并判断选项正确性． 【详解】解：明代1斤两， 半斤两． 人数为人，银子为两， 根据“每人分7两，剩余4两”，可得银子总数：，人数： 根据“每人分9两，还差8两”，可得银子总数：，人数： ，即正确，错误； ，即正确，错误． 故选D 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键． 根据题意，设有x人，y辆车，第一种情况：每车坐3人，空余两辆车，则实际使用车辆为辆，故；第二种情况：每车坐2人，有9人步行，则总人数x等于坐车人数加上步行人数9，故，由此列出方程组． 【详解】解：∵每车坐3人，空余两辆车， ∴实际使用车辆为辆，得； ∵ 每车坐2人，有9人步行， ∴得 ； ∴ 方程组为 ， 故选：D． 3．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，则可列方程组________．（结果可以不化简） 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据总人数和总馒头数确定两个等量关系，结合设出的未知数即可列出方程组. 【详解】解：已知大和尚人，小和尚人，总共有个和尚，因此可得第一个方程：. 大和尚每人吃个馒头，个大和尚共吃个馒头；个小和尚吃个馒头，个小和尚共吃个馒头，总共有个馒头，因此可得第二个方程：. 联立两个方程可得方程组. 题型24 三元一次方程组及其解法（共3小题） 1．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）已知m，n，p，q为整数，且q为负整数，满足，，，则的最小值为（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】利用消元法把m， n ，p都用q表示，再代入所求代数式化简，最后根据q为负整数的条件求最小值． 【详解】解：根据题意，得， 将③代入①，得 ，化简得 ， 将代入②，得 ， 解得 ， 将代入③，得 ， 代入， 得， ∵q为负整数， ∴，且q为整数， ∴当q取最大负整数时，取得最小值， ∴最小值为：． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，若这组数第1个数为2，第5个数为，则第2025个数是______． 【答案】2 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出其规律，再根据周期性计算求值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．设第2个数为a，第3个数为b，第4个数为c，则有，再求出a，b，c的值，进而可得第2个数，第3个数，第4个数，第6个数，第7个数，第8个数的值；根据规律，可求得第2025个数的值． 【详解】解：设第2个数为a，第3个数为b，第4个数为c， 则有：，解得：， ∴第6个数为，第7个数为2，第8个数为4， ∴这一组有序排列的数为：2，4，2，，，，2，4，．．．， ∴这一组有序排列的数是以2，4，2，，，为一组，周期性出现， ， ∴第2025个数是2． 故答案为：2． 3．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知，，，，，均为不等于的实数，，，． (1)若，求的值． (2)请用含，，的代数式分别表示，，． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了代数式求值及解三元一次方程组，关键是如何消元； （1）采取设参数的方法将替换，进行适当的变换求得代数式的值； （2）用加减消元的方式解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，（）， ∵，，， ∴，，， ∴各方程两边都除以，得 ①，②，③， ，得  ， ∴. （2）解：， ，得，∴， ，得，∴， ，得，∴， ∴，，. / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02二元一次方程组 题型归纳·内容导航 题型1二元一次方程的定义 题型13列二元一次方程组 题型2二元一次方程的解 题型14分配问题（难点） 题型3二元一次方程组的判断 题型15图表信息题 题型4二元一次方程组解的判断 题型16行程问题 题型5已知方程解求参数（难点） 题型17工程问题 题型6代入消元法（常考点） 题型18几何问题（难点） 题型7加减消元法（常考点） 题型19方案问题（常考点） 题型8二元一次方程的特殊解法 题型20数字问题 题型9构造二元一次方程组求解 题型21销售利润问题（常考点） 题型10已知方程解的情况求参数（常考点） 题型22和差倍分问题 题型11方程的错解还原问题（难点） 题型23古代问题（常考点） 题型12方程组同解问题（难点） 题型24三元一次方程组及其解法 题型通关·靶向提分 题型1二元一次方程的定义（共3小题） 1.(23-24七年级下·浙江温州期中)下列方程是二元一次方程的是() A.3x-2=0B.x2-3x=2 C.-y=1 D.x-3y=-1 2.(23-24七年级下，浙江温州期末)下列各式是二元一次方程的是() A.x+1=1 B.xy=-1 C.x=y-2 D.x=y+c y 3.(24-25七年级下·浙江温州·月考)下列方程中，属于二元一次方程的是() A.x+2y=a B.x2+y=1 c.y-2=6 D.2x-3y=6 题型2二元一次方程的解（共3小题） 1.(24-25七年级下·浙江宁波期末)属于二元一次方程2x+3y=5的解是() x=1 x=2 x=0 A. B. y=1 y=-1 y=5 y=2 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(23-24七年级下·浙江温州·期中)已知 是方程+y=5的一组解，则a的值为 3.(23-24七年级下·浙江温州期中)已知方程x+y=2,用含x的代数式表示y,则y= 题型3二元一次方程组的判断_（共3小题） 1.(24-25七年级下·浙江温州期中)下列方程组中，是二元一次方程组的是() A. x+y=3 2x-y=4 x2+y=1 -+y=1 B. D y+z=5 x+3y=7 x-y=0 2x-y=6 2.(24-25七年级下·浙江金华·期中)下列各组方程中，是二元一次方程组的是（) x+3=0 1 x-3y=0 [2x-y=1 x+y=3 A. B C D 3x-2y=1 3y=3 x+2y-z=0 1 1 3 22 3.(24-25七年级下.浙江金华·月考)下列方程组中是二元一次方程组的是() 3x-y=5 x+y=3 x+2y=6 3n-m=1 +2y=6 1 B. D. y=1 2n+k=0 +3y=7 x 题型4二元一次方程组解的判断（共3小题） 1.(23-24七年级下·浙江金华·月考)已知二元一次方程组 的解是 x+y=1 y=a,则*表示的方程可能 是() A.2x-y=3B.x+y=4 C.2x+3y=-4 D.x-y=-3 2.(23-24七年级下·浙江宁波·期末)下列各组数是二元一次方程2x+y=5的解的是() x=1 x=2 x=3 x=2 A.1 B D. y=2 y=1 y=1 y=2 3. (22-23七年级下·浙江温州·月考)下列是二元一次方程x+3y=2的解的是() x=-4 x=4 x=1 x=0 A. B D. y=2 y=-2 y=-1 y=2 题型5已知方程解求参数（共3小题） x=4 1.（24-25七年级下·浙江杭州月考)方程组 ·的解为则被遮盖△和的两个数分别为（了 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.9,-1 B.9,1 C.7,-1 D.5,1 2.(24-25七年级下·浙江温州期中)如果方程组 X+y=* 3r-y=15的解为 x=6 那么被“*”遮住的数是 y= x=3 ax+by=-1 3.(24-25七年级下·浙江杭州月考)如果 y=2是方程组 ar-y=-5的解，则6a-2b3a+2b)=_ 题型6代入消元法（共3小题） y=x+3① 1.(24-25七年级下·浙江温州月考)用代入法解方程组 时，将①代入②得() x-2y=6② A.x-2x+3=6B.x-2x+6=6 C.x-2x-6=6 D.x-2x-3=6 2.（25-26七年级上浙江杭州月考)已知方程3y-2x=-5,用含x的代数式表示y,则y=· 3.(23-24七年级下·浙江温州期中)解方程组： 、x=y-1 (1) 2x+y=4 x+=3 (2) 2 2x+2y=10 题型7加减消元法（共3小题） 1.(24-25八年级上浙江杭州期末)定义一种运算※如下：x※y=ax+by,Q和b均为常数，已知： 3※5=12,4※7=20，则2※3= 2.(24-25七年级下，浙江温州期中)用适当的方法解下列方程组： x+y=6 (①3x-y=-2 x_y=1 (2)23 -2x+3y=1 3.(24-25八年级上浙江杭州期末)解方程组： m-”=2 (1) 2 2m+3n=12 e 题型8二元一次方程的特殊解法（共3小题） 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3x+4y=3 1.(25-26九年级下·浙江台州月考)已知x,y满足方程组 x+2y=1，则x+y [x-y+x=5 2.(25-26七年级下·浙江宁波·月考)实数x,y满足 3-+2x=12'则w= a-2b=7 3.(2025浙江杭州·二模)已知二元一次方程组 a+b=-2’则2a-b的值为 题型9构造二元一次方程组求解（共3小题） 1.(24-25九年级上·浙江宁波自主招生)关于x,y的方程组 (ax+by=m的解是 x=2 cx+dy=n =5,则关于xy的 ax+by=m+2a 方程组 的解是 cx+dv=n+2c 2.(23-24七年级下.浙江温州期中)已知(2x-3y+1)与4x-3y-1的值互为相反数，则x-y的值为 3.(24-25七年级下.浙江杭州月考)对于实数，规定新运算：x*y=ax+b,其中a、b是常数.己知 2*3=7,（-1)*(-3=-5. (1)求a、b的值： (2)求1*5的值. 题型10已知方程解的情况求参数（共3小题） 2x-y=5k+6 1.(2025七年级下·浙江·专题练习)若关于x,y的方程组 4x+7y=k 的解满足x+y=2024,则k的 值为() A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 x+2y=k+3 2.(23-24七年级下·浙江温州期末)己知关于x,y的方程组 2x-3y=3认-2无论k取何值，x+9y的值都 是一个定值，则这个定值为 3.(24-25七年级下·浙江杭州·月考)对于有理数x,y,定义新运算：x#y=ax+by,x田y=ax-by,其 中4，b是常数.已知1#1=1,3⊕2=8. (1)求a,b的值； (2)若关于x,y的方程组 =4-m的解也满足方程x+y=3,求m的值： x⊕y=5m 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型11方程的错解还原问题（共3小题） c+7y=5时，甲同学正确地解出 ax+by=4」 x=I 1.(24-25七年级下·浙江杭州期中)两位同学在解方程组 y=-1乙 x=4 同学因把c抄错了解得 y=8' 则a,b,c正确的值应为() A.a=-3,b=-1,c=12 B.a=-3,b=-1,c=-12 C.a=3,b=-1,c=-12 D.a=3,b=-1,c=12 x+by=3 2.(24-25七年级下·浙江金华期末)已知关于x,y的方程组 ar+2y=-5'甲同学看错了字母a解得 少=1：乙同学看错了字母b解得 x=4 x=3 y=-1’ 则该方程组的解为() x=1 x=2 x=-1 x=-2 A. B D y=-2 y=-1 y=2 y=1 3.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)甲、乙两个小马虎，在解方程组 ax+y=10 x+by=7 时，由于粗心，甲看错 =6,乙看错了方程组中的6，得到方程组的解为 x=1 x=-1 了方程组中的α，得到方程组的解为 =12’则原 方程组正确的解是。 题型12方程组同解问题（共3小题） 1.(2425七年级下·浙江宁波月考)己知关于x,y的二元一次方程a+1x+(a-2y+4-2a=0,当a每 取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为一· 2.(25-26七年级上浙江杭州期中)已知关于x的方程mx+m3= 2=x和52-x)=2x+3的解相同，求 2 3 m的值， 3.(24-25七年级下·浙江丽水月考)若关于x,y的方程组 3x-y=7 ax+y=6有相同的解. x+by=a 。和方程组 2x+y= (1)求关于x,y的方程组正确的解. (2)求a,b的值. 题型13列二元一次方程组（共3小题） 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(23-24七年级下·浙江温州·期中)某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果 每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多2个，每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的2倍，则该兴趣小组男 女生分别有多少人？设男生有x人，女生有y人，则下列方程正确的是() x-1=y+2 x-1=y+2 A. B. x=2(y-1 x=2y x-1=y+2 x=y+2 C. D. x=2y-1 1x=2y 2.(2024九年级下·浙江学业考试)购买甲、乙两种纯净水共用250元，已知甲种水每桶8元，乙种水 每桶6元；甲种水的桶数是乙种水桶数的75%·设买甲种水x桶，买乙种水y桶，则所列方程 组中正确的是() 8.x+6y=250 8x+6y=250 A. y=75%x B. x=75%y 6.x+8y=250 6x+8y=250 C. D. (y=75%x x=75%y 3.(24-25七年级下·浙江绍兴期末)现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1），将三张纸片按图 2,图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为C,面积S；图3中阴影部分周长 3C1=2C2 为C,面积为S2.己知 1 S2-S=CC2 a b 6 甲 甲 商 分 乙丙 丙 图1 图2 图3 题型14分配问题（共3小题） 1.(23-24七年级下·浙江温州期末)2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区 人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份， 小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为 () A. x+y=300 x+y=1000 B. 4x+3y=1000 4x+3y=300 C. x+y=300 x+y=1000 D. 3x+4y=1000 3x+4y=300 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(2024浙江金华.二模)一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一 个盒身与两个盒底配成一套糖果盒.现有35张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制 成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是() x+y=35 x+y=35 A. B. (y=2x 2×20x=30y 「x+y=35 x+y=35 C. D. 20x=2×30y 2x= 2030 3.(24-25七年级下，浙江温州期中)综合与实践 【素材1】某工厂计划日生产290件零件. 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 10 6 日薪酬（元/人） 150 480 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划. 【问题】 (1)若工厂指派10名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬7950元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算， 指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬)，请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最 低)的工人安排方案。 n 0 10 15 m 29 21 13 5 参与指导的高 8 6 2 级工人数 高级工人数 11 14 17 费用 8190 8430 8670 8910 题型15图表信息题（共3小题） 1.(24-25七年级下，浙江嘉兴月考)小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程， 小亮36分 笑笑30分 小红分 2.(23-24七年级下·浙江金华·期末)某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文 体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 货物或应税劳务、服务名称 规格型号 单位 数量 单位 金额 税率税额 篮球 6 100.00 600.00 钢笔 支 15.00 笔记本 本 5.00 合计 46 900.00 价税合计（大写） 玖佰元整 (小写) 900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据， 即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金 额 (23-24七年级下，浙江温州期中)根据以下素材，探索完成任务 “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 起 送 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费， 费 每单10元. 用 “同城跑腿急送”送件费用 里 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里 素 为起送费用、里程费用与 程 程费用为每千米Q元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元 材 重量费用的和，具体计费 费 (实际里程不足1千米，按1千米计算.例如送件实际里程为7.3 方式如右. 用 千米，按8千米算，即计价里程为8千米) 重 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重 量 量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元 费 (实际重量不足1千克，按1千克计算.例如送件实际重量为6.4 用 千克，按7千克算，即计价重量为7千克) 素 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 材 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；送件里程10千米，送件重量7千克，费用26 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 元 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克. 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克， 总费用是25元. 解决问题 任 务 请你确定a,b的值. 1 任 务 帮助乙计算这单跑腿需要的费用， 2 任 务 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量， 3 题型16行程问题（共3小题） 1.(23-24七年级下·浙江台州·期末)A地至B地的航线长9750km,一架飞机从A地顺风飞往B地需 12.5h,设飞机无风时的平均速度为xkm/h,风速为km/h,则可列方程为() A.12.5x+y)=9750 B.12.5(x-y=9750 C.12.5y-x=9750 D.12.5y=9750 2。(2324七年级下渐江期中)甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经}小时相透.如 果甲t乙先出发号小时，形么在乙出发后经子小时两人相冠。测甲的速度为《)千米/小时。 A.2 B.4.5 C.5 D.5.5 3.(24-25七年级下·浙江宁波期末)某科研团队对两款仿生机器人A,B进行步行性能测试，计划让一台 A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着 走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15 步，接着B型机器人走20步，共需要27秒. (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台 / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完 成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 题型17工程问题（共3小题） 1.(2023九年级上浙江宁波竞赛)某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有 的是出水管.已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为() A.① B.② C.③ D.④ 2.(24-25七年级下·浙江温州期中)某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子.该厂一天能生产 桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅.如果要使生产的桌子和椅子正好配 套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为() A. x+y=20 x+y=20 4×12x=32y B. 12x=4×32y x+y=20 x+y=20 C. D. 4×32x=12y 32x=4×12y 3. (22-23七年级下·浙江金华期末)东阳江是东阳的母亲河.为打造东阳江风光带，现有一段长400米的 河道整治任务，原计划由A,B两个工程队先后接力完成，共用时20天.已知A工程队每天整治24米， B工程队每天整治16米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： a+b=① 甲： 24a+16b=② [x+y=③ 乙： x+义=④ 2416 (1)根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义. 甲：未知数a,b分别表示 乙：未知数，y分别表示 (2)补全甲、乙两名同学所列的方程组. (3)若A工程队完成原计划河道整治任务后，B工程队接到通知需提前5天完成剩余的整治任务，问B工 程队现在每天需整治多少米河道？