重庆市南开中学校2026届高三下学期3月底质量检测（七）数学试题

重庆市南开中学高2026届高三年级质量检测（七） 数学试题 2026.3 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 设正实数，满足，则的最小值为（ ） A 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（ ） A. 第2项 B. 第3项 C. 第4项 D. 第5项 7. 过原点作直线交圆于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：，为偶函数，且，若，则正整数的最小值为（ ） A. 21 B. 25 C. 29 D. 33 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 成对数据和一元线性回归模型为，依据模型可建立经验回归方程，用回归方程可得到响应变量的预测值及残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果．对下列四幅残差图的描述正确的是（ ） A. 图甲显示残差的方差随观测时间变大而变大 B. 图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设 C. 图丙说明残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间非线性函数部分 D. 图丁说明残差与观测时间有线性相关性，故满足一元线性回归模型对随机误差假设 10. 在一个圆台形容器内放入一个球体，该球恰与圆台的上、下底面及侧面相切，轴截面如图所示．设球心为，半径为，圆台的母线为，上、下底面的半径分别为、，．若已知，则（ ） A. B. 圆台的侧面积为 C. D. 圆台体积的最大值为 11. 已知双曲线的一条渐近线为，，是双曲线的左、右焦点，过的动直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，点，均在轴上方，设与的内切圆半径分别为，，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. C. 若，则直线的斜率为 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则________． 13. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为________． 14. 已知5支球队两两之间都要进行一场比赛，任意两支球队之间的比赛都没有平局，则有且只有2支球队恰好获胜3场的情况种数为________．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及对称中心坐标； （2）已知，若关于的方程在区间上恰有两个不同实根，求的取值范围． 16. 已知正方形的边长为，将沿翻折至，如图，在二面角内有一点，满足，且． （1）求证：平面； （2）若二面角大小为，求与所成角的余弦值． 17. 某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下： 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）． 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析． （1）求此次分析触发预警的概率； （2）记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”． （i）求； （ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 18. 已知动点，分别在直线和上，且，为的中点，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线方程； （2）设点，在曲线上，，且的外心在直线上． （i）若直线过点，求直线的方程； （ii）求点到直线距离的最大值． 19. 已知函数． （1）证明：； （2）已知数列满足：，，．记． （i）证明：; （ii）是否存在小于的实数，使得对任意的正整数成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考数据： 重庆市南开中学高2026届高三年级质量检测（七） 数学试题 2026.3 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】360 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）0.0547 （2）（i）（ii）答案见解析 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析（ii）不存在，理由见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $