专题05 平面直角坐标系章末48道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题05 平面直角坐标系章末48道压轴题型专训（6大题型） 题型一 点坐标规律探索问题 题型二 平面直角坐标系中面积计算问题 题型三 平面直角坐标系中最值问题 题型四 平面直角坐标系中存在性问题 题型五 平面直角坐标系中动点问题 题型六 平面直角坐标系中旋转问题 【经典例题一 点坐标规律探索问题】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·月考）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题： (1)将表格填写完整： 点P出发时间 可得到整数点的坐标 可得到整数点的个数 1秒 ， 2 2秒 ，， 3 3秒 4 (2)当点P从点O出发11秒时，可得到的整数点的个数是 ． (3)当点P从点O出发 秒时，可得到整数点． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 3．（25-26七年级上·山东威海·期末）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，边轴，点的坐标为，点的坐标为． (1)分别写出点，点的坐标：___，_____； (2)若长方形与长方形关于轴对称，请分别写出点'的坐标：____，____，____，_____；若点是长方形上的一点，则在长方形上的对应点的坐标____． 4．（24-25七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，给定个不同的点，，⋯⋯，，若存在一点，使得满足的点和的点的个数相等，且满足的点和的点的个数也相等，则称点为的平分点．例如，点是，和的一个平分点． (1)已知点，，，，则点________（填“是”或“不是”），，，的平分点，________（填“是”或“不是”），，，的平分点； (2)已知的顶点坐标为，，， ①若，，线段以1个单位/秒的速度向右运动．当，，，，不存在平分点时，运动时间的取值范围是________； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，，要使点，，，，，，有且仅有一个平分点，请直接写出的值． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且平行于轴． (1)如果三个顶点的坐标分别是关于轴的对称图形为关于直线的对称图形为，写出三个顶点的坐标； (2)如果点的坐标是，其中，点关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长． 6．（24-25八年级上·安徽六安·月考）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向左、向下、向左的方向依次不断移动得，，，，，…，每次移动的距离分别为1，1，1，1，2，2，2，3，3，3，3…，其行走路线如图所示： (1)填写下列各点的坐标：、（____，____）、（____，____）； (2)写出点的坐标（为正整数）； (3)蚂蚁从原点到点移动的总路程是_____． 7．（24-25八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 8．（24-25七年级下·山东临沂·期中）【动手探索】 （1）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，并依次取的中点E，F，G，H，I，分别写出E，F，G，H的坐标． 【观察归纳】 （2）根据以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请根据你所观察到的规律用等式表示，． 【实践运用】 （3）利用上面得到的规律解决问题： ①若点，点，则线段的中点M的坐标为______； ②已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标． 【经典例题二 平面直角坐标系中面积计算问题】 9．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，，． (1)若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”___________； (2)若点在轴上，且三点的“矩面积”为10，直接写出点的坐标___________； (3)点， ①若三点的“矩面积”为8，求出满足题意的的取值范围； ②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围． 12．（24-25七年级下·重庆忠县·期中）如图所示，在直角梯形OABC中，，CB＝8，OC＝8， OA＝16． (1)求点A、B、C的坐标，并且求出直角梯形OABC的面积； (2)当P点沿OA方向以每秒2个单位的速度从O点出发，经过多少时间后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半？ (3)在（2）的条件下，若现在P、Q点同时出发，当Q点从A点出发，沿AO方向每秒3个单位的速度移动，问经过多少时间后△BPQ的面积等于直角梯形OABC的面积的？ 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与坐标轴交于A（﹣4，0），B（0，m）两点，点C（2，3），P（﹣，n）在直线AB上．我们可以用面积法求点B的坐标． (1)请阅读并填空： 一方面，过点C作CN⊥x轴于点N，我们可以由A，C的坐标，直接得出三角形AOC的面积为 　 　平方单位； 另一方面，过点C作CQ⊥y轴于点Q，三角形AOB的面积＝BO•AO＝2m，三角形BOC的面积＝　 　平方单位． ∵三角形AOC的面积＝三角形AOB的面积+三角形BOC的面积， ∴可得关于m的一元一次方程为 　 　，解这个方程，可得点B的坐标为 　 　． (2)如图，请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标． (3)若点H（3，h），且三角形ACH的面积等于24平方单位，请直接写出h的值． 14．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知是由经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：________，________，________． (2)在平面直角坐标系中画出平移后的，并求出的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以，，P三点为顶点的三角形的面积等于的面积？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，，其中，满足关系式，． (1)求A，B，C三点的坐标，并在坐标系中描出各点． (2)在坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如果在第四象限内有一点，请用含 m的代数式表示四边形的面积． 16．（24-25七年级下·广东惠州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C． (1)填空，点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．线段平移到扫过的面积为_______． (2)若点P是y轴上的动点，连接． ①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段与线段相交于点E，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标． 【经典例题三 平面直角坐标系中最值问题】 17．（24-25八年级上·江西南昌·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”． (1)若点，，．则“水平底”______，“铅垂高”______，“矩面积”______． (2)若点，，，且A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标． (3)若点，，，直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值． 18．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形关于直线的对称图形为，图形上任一点到轴，轴的距离的最大值是，称是图形关于直线的倍镜像“接收距离”．已知点，． (1)①线段关于直线的倍镜像“接收距离”是 ； ②线段关于直线的倍镜像“接收距离”是，的取值范围是 ； (2)点，关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值是 ． (3)点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”，直接写出的取值范围． 19．（24-25七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点A与点B的“纵横距离”，记为，即．若点P在线段CD上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点A的“视差”，记为．已知点，． (1)点A与点B的“纵横距离”的值为__________； (2)已知点C在x轴上，线段关于点A的“视差”为3，则点C的坐标为__________； (3)若点E与点A的“纵横距离”为4． ①的最小值为__________，最大值为__________； ②当取最小值时，请在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形． 20．（24-25七年级下·河北保定·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． (1)求点，，的“最佳间距”； (2)已知点，，； ①若点，，的“最佳间距”是，则的值为________； ②点，，的“最佳间距”的最大值为________； (3)当点，，的“最佳间距”取到最大值时，请直接写出点的坐标． 21．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，将一矩形纸片放在平面直角坐标系内，．    (1)动点Q从O出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C运动，运动秒时，动点从点出发以相同的速度沿向终点运动，当其中一个点到达终点时另一点也停止运动．设P点运动时间为t秒； ①求点B的坐标，并用t表示和； ②当时，将沿翻折，O恰好落在边上的D点处，求D点坐标； (2)若点Q在边上运动，点P在边上运动，将沿翻折，则线段的最大值和最小值分别为多少？（此问直接写出结果） 22．（24-25七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：任意两点横坐标差的最大值称为“水平底”a，任意两点纵坐标差的最大值称为“铅垂高”h，“水平底”与“铅垂高”的乘积为点A、B、C的“矩面积”S，即“矩面积”S＝ah． 例如：点A（1，2）、B（﹣3，1）、C（2，﹣2），它们的“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20． (1)已知点A（2，1）、B（﹣2，3），C（0，t）． ①若A、B、C三点的“矩面积”为12，写出点C的坐标：_______； ②写出A、B、C三点的“矩面积”的最小值：_____； (2)已知点D（﹣1，3）、E（4，0）、F（t，2t），设D、E、F三点的“矩面积”为S，求S（用含t的式子表示） 23．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． (1)理解：点，，的“最佳间距”是______； (2)探究：已知点，，． ①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______； ②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由； (3)迁移：当点，，的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标是______． 24．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点． （1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）． ①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为___________，最大值为___________． ②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（－2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是_____________． （2）直线平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线的距离都是1，若点C（x，y）是直线上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围． 【经典例题四 平面直角坐标系中存在性问题】 25．（24-25七年级上·山东东营·月考）已知，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标，并求出的面积 (2)在y轴上是否存在点P，使得以A，C，P为顶点的三角形的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在y轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标． 26．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，满足 (1)求A、B两点的坐标； (2)的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； (3)在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，点A，B的坐标分别为、，点C为x正半轴上一个动点． (1)当时，写出线段　　，_________； (2)求的面积（用含m的代数式表示） (3)当点C在运动时，是否存在点C使为直角三角形，若存在，请求出这个三角形面积；若不存在，请说明理由． 29．（24-25七年级下·广东云浮·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)如图，平移线段到线段，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接，．若三角形的面积为7，求点C，D的坐标； (2)在（1）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使三角形与三角形的面积之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接． (1)如图1，求点C，D的坐标及四边形的面积； (2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在； (3)如图2，在直线上是否存在点Q，连接，使，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，．现同时将点，向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，到达点，的位置，将各点依次连接． (1)点的坐标为_____．点的坐标为_____； (2)四边形的面积为_____； (3)在轴上是否存在一点，使得的面积是的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①     ②     ③    ④ (2)设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)从下列①，②两问中选择一个解答 ①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由． 【经典例题五 平面直角坐标系中动点问题】 33．（24-25七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称是点的“系联动点”．例如：点的“3系联动点”的坐标为． (1)点的“2系联动点”的坐标为______；若点的“系联动点”的坐标是，则点的坐标为______； (2)若点的“系联动点”与“系联动点”均关于轴对称，则点分布在______，请证明这个结论； (3)在（2）的条件下，点不与原点重合，点的“系联动点”为点，且的长度为长度的5倍，求的值． 34．（24-25七年级下·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 35．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 36．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，B的坐标分别为，，D是的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着运动，设点P运动的时间为t秒． (1)点B坐标是 ，点D的坐标是 ； (2)当点P在上(包含端点)运动时，求点P的坐标是 ，t的取值范围为 ． (3)当的面积为9时，求出点P的坐标； 37．（24-25七年级下·江苏南通·期中）阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： (1)已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． (2)对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 38．（24-25七年级下·上海·期末）如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若是轴上的一个动点，当三角形面积等于时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于，直接写出点的坐标． 39．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． 【问题初探】 （）①点的坐标为 ； ②若，则四边形的面积为 ； 【深入研究】 （）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度． 运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动． 设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； 【拓展提升】 （）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 40．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知M（0，4），N（3，2），线段MN平移得到线段PQ，使点M的对应点为P，点N的对应点为Q，若点P的坐标为，点Q的坐标为， (1)___________，___________； (2)若点E为x轴正半轴上的一个动点，探究、和之间的数量关系并证明；（注：、和均为大于且小于的角） (3)将线段MN向下平移得到线段AB，从使得点N的对应点B落在x轴上，点M的对应点A落在y轴上，动点C从点B出发，以每秒钟移动3个单位长度的速度沿x轴向左运动，动点D从点A出发，以每秒钟移动2个单位长度的速度沿y轴向下运动，直线BD与直线AC交于点F，设点F的坐标为．动点C和动点D同时出发且它们的运动时间为t秒． ①在时，试探究与的面积关系，并说明理由； ②若在点C、D的运动过程中，的面积为7，请直接写出m的值． 【经典例题六 平面直角坐标系中旋转问题】 41．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知射线，当绕端点按逆时针方向旋转到时，如果线段的长是，那么点用记号表示． (1)画出两点，的位置； (2)量出的长（精确到）； (3)求B点的方向角． 42．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）开心休博园坐落于长江世业洲生态岛，周末小明和小丽相约到休博园游玩，游玩结束后，他们绘制了开心休博园部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标为． (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中旋转木马的坐标________； (3)若在休博园内新建一个游客中心，该中心到旋转木马、碰碰车和大摆锤三个游乐场所的距离相等，请你在图中画出游客中心的位置，标记为点E． 43．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向上平移5个单位长度后，得到，请作出，并写出点的坐标； (2)将绕坐标原点O旋转，得到，请作出． 44．（24-25七年级下·天津河东·期末）在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 在 轴的正半轴上， ， 点 为 的中点． 把 绕点 逆时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ． (1)如图①，点 的坐标为_____，点 的坐标为_____； (2)如图②， 与 交于点 ，当 轴时，求点 的坐标； (3)连接 是 的中点，连接 ． 请直接写出 的取值范围． 45．（24-25七年级下·江西吉安·月考）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)平移，点的对应点的坐标为，作出平移后对应的； (2)将绕点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； (3)若上述通过旋转可得到，则旋转中心的坐标为______． 46．（24-25七年级下·河北保定·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)将绕点旋转得到，作出； (2)将向上平移4个单位得到，作出； (3)已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 47．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针旋转所得的，并求出在旋转过程中，点经过的路线长． 48．（24-25七年级下·河南开封·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标，点B的坐标． （1）画出关于原点O对称的（A，B的对称点分别为，）． （2）画出关于原点O按逆时针方向旋转90°所得的（A，B的对应点分别为，），并写出，的坐标． （3）若将点向上平移h个单位，使其落在的内部，请直接写出h的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面直角坐标系章末48道压轴题型专训（6大题型） 题型一 点坐标规律探索问题 题型二 平面直角坐标系中面积计算问题 题型三 平面直角坐标系中最值问题 题型四 平面直角坐标系中存在性问题 题型五 平面直角坐标系中动点问题 题型六 平面直角坐标系中旋转问题 【经典例题一 点坐标规律探索问题】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·月考）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题： (1)将表格填写完整： 点P出发时间 可得到整数点的坐标 可得到整数点的个数 1秒 ， 2 2秒 ，， 3 3秒 4 (2)当点P从点O出发11秒时，可得到的整数点的个数是 ． (3)当点P从点O出发 秒时，可得到整数点． 【答案】(1)，，， (2)12 (3)36 【分析】此题考查了平面直角坐标系中的规律问题解决能力，关键是能根据题目要求确定符合条件的点的坐标，并归纳出相关规律． （1）根据点的运动规律求解； （2）根据题意归纳出当点从点出发秒，可得到的整数点的个数是个，据此可求解； （3）由题意可得当点从点出发秒，可得到的整数点都在直线上，将整数点代入计算即可． 【详解】（1）解：（1）∵点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动， ∴点P从点出发1秒，整数点的坐标，， 点P从点出发2秒，整数点的坐标，，， ∴当点从点出发3秒，可得到的整数点为，，，， 故答案为：，，，； （2）解：由表可得：点P从点出发1秒，可得到整数点的个数为2个， 点P从点出发2秒，可得到整数点的个数为3个， 点P从点出发3秒，可得到整数点的个数为4个， … 点从点出发秒，可得到的整数点的个数是个， ∴当时，则， 当点从点出发11秒，可得到的整数点的个数是12， 故答案为：12； （3）解：点P从点出发1秒，整数点的坐标，，都要在直线上， 点P从点出发2秒，整数点的坐标，，，都要在直线上， 点P从点出发3秒，整数点的坐标，，，，都要在直线上， … 当点从点出发秒，可得到的整数点都在直线上， 把代入，得， 解得， 当点从点出发36秒时，可得到整数点， 故答案为：36． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)或或或3 【分析】本题考查了坐标变换、等距平移点的定义及几何图形的面积计算，解题的关键在于根据定义准确计算坐标，利用绝对值条件分类讨论，以及灵活运用几何公式求解面积． （1）直接应用定义计算坐标； （2）需结合点的位置与坐标关系求解面积； （3）需联立方程并分类讨论绝对值条件． 【详解】（1）解： ①由定义，N的坐标为：， 故N的坐标为； 故答案为：， 根据定义：， ，解得； 检验：当时，，成立， 故答案为：3． （2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得， ， ，解得，， ， 的坐标为， ，即N为， O为原点， ． （3）N的坐标为， ， ， ， 验证：，符合题意， 其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍， |或， 因，分情况讨论： 情况一： 即，分四种情况： ①：且（即）， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） ，此时， 方程为：解得，，符合题意； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 不合题意，舍去； ④：且（即且），矛盾，无解； 综上，情况一所有可能的a值为． 情况二： 即|，分四种情况： ①：且（即） ， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） 此时， 方程为：，解得，不合题意，舍去； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 符合题意； ④：且（矛盾），无解， 综上，情况二解为或． 综上所述，的值为或或或3． 3．（25-26七年级上·山东威海·期末）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，边轴，点的坐标为，点的坐标为． (1)分别写出点，点的坐标：___，_____； (2)若长方形与长方形关于轴对称，请分别写出点'的坐标：____，____，____，_____；若点是长方形上的一点，则在长方形上的对应点的坐标____． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了长方形的性质、平面直角坐标系、轴对称等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由题意可得轴，轴，再根据平面直角坐标系内点的坐标特点即可解答； （2）直接根据关于x轴对称的点的横坐标相同、纵坐标互为相反数即可求得对应点的坐标；根据图形上任意一点的对称方式与图形的对称方式相同即可解答． 【详解】（1）解：∵长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，边轴， ∴轴，轴， ∵点的坐标为，点的坐标为． ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：∵长方形与长方形关于轴对称， ∴， ∵点是长方形上的一点， ∴长方形上的对应点的坐标为． 4．（24-25七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，给定个不同的点，，⋯⋯，，若存在一点，使得满足的点和的点的个数相等，且满足的点和的点的个数也相等，则称点为的平分点．例如，点是，和的一个平分点． (1)已知点，，，，则点________（填“是”或“不是”），，，的平分点，________（填“是”或“不是”），，，的平分点； (2)已知的顶点坐标为，，， ①若，，线段以1个单位/秒的速度向右运动．当，，，，不存在平分点时，运动时间的取值范围是________； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，，要使点，，，，，，有且仅有一个平分点，请直接写出的值． 【答案】(1)不是，是 (2)①且；②或 【分析】本题考查平分点的定义，点的横纵坐标特点，解题的关键在于理解平分点的定义． （1）根据平分点的概念进行判断，即可解题； （2）①根据平分点定义，分别分析，，，，的横纵坐标特点，即可得到运动时间的取值范围； ②根据平分点定义，分别分析，，，，，，的横纵坐标特点，根据横纵坐标特点找出满足横坐标或纵坐标能平分的的取值，进而讨论另一种坐标是否能被平分，即可解题． 【详解】（1）解：， 点不是，，，的平分点， ，， 是，，，的平分点， 故答案为：不是，是． （2）①解：当运动时间为时，，， ， 即当纵坐标为时，能平分，，，，的纵坐标， ，，，，不存在平分点时， ，，，，的横坐标不能平分， ， 且时，，，，，的横坐标不能平分， 故答案为：且； ②解：，，，，，，有且仅有一个平分点， 又横坐标中，， 纵坐标中，， 当且仅当或（即）时，能够平分横坐标， 此时，当时，纵坐标，不能平分，舍去； 当时，纵坐标，即纵坐标为且只能为时，能平分； 又当且仅当（即）或（即）时，能够平分纵坐标， 此时，当时，横坐标，即横坐标为且只能为时，能平分； 当时，横坐标，不能平分，舍去； 综上所述，或时，点，，，，，，有且仅有一个平分点． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且平行于轴． (1)如果三个顶点的坐标分别是关于轴的对称图形为关于直线的对称图形为，写出三个顶点的坐标； (2)如果点的坐标是，其中，点关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长． 【答案】(1)； (2)6． 【分析】本题主要考查“轴对称”与坐标的相关知识，熟练掌握轴对称的性质和坐标与图形变化的性质是解题的关键． （1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出的三个顶点的坐标； （2）P与关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出的坐标，再由直线l的方程为直线，利用对称的性质求出的坐标，即可得出的长． 【详解】（1）解：三个顶点的坐标分别是， 且与关于轴对称， 三个顶点的坐标分别是， 直线过点，且平行于轴， 直线的方程为直线， 且与关于直线对称， 三个顶点的坐标为． （2）解：点的坐标是， 点关于轴的对称点的坐标是， 点关于直线的对称点的坐标是， ． 6．（24-25八年级上·安徽六安·月考）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向左、向下、向左的方向依次不断移动得，，，，，…，每次移动的距离分别为1，1，1，1，2，2，2，3，3，3，3…，其行走路线如图所示： (1)填写下列各点的坐标：、（____，____）、（____，____）； (2)写出点的坐标（为正整数）； (3)蚂蚁从原点到点移动的总路程是_____． 【答案】(1)、 (2)点的坐标为 (3)198 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律计算，有理数混合运算， （1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）分别找出坐标的特点，总结规律即可求解； （3）根据移动距离进行计算，找出规律即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得，，，，，，，，，， ∴，，在轴的负半轴上， ∴的横坐标为； （2）解：由（1）得出规律为：的坐标为； （3）解：∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴点移动的距离是：， 点移动的距离是：， 点移动的距离是：， ∴点移动距离是： ． 7．（24-25八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 (3)或 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． （1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解． （2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解； （3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ∴横坐标为对应的运动次数减3， 纵坐标依次为：，每5次一个循环， 则点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； 故答案为：． （2）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：2； ∴， 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； ∴， 故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． （3）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：； ∴， ∵点距离点5个单位长度，且轴， ∴，即， 或，即， 综上，或． 8．（24-25七年级下·山东临沂·期中）【动手探索】 （1）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，并依次取的中点E，F，G，H，I，分别写出E，F，G，H的坐标． 【观察归纳】 （2）根据以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请根据你所观察到的规律用等式表示，． 【实践运用】 （3）利用上面得到的规律解决问题： ①若点，点，则线段的中点M的坐标为______； ②已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标． 【答案】（1），，，（2）（3）①；② 【分析】本题考查了点的规律探究，通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系是解题关键． （1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案； （2）根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，即可得到答案； （3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段的中点的坐标； ②设点的坐标为，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点的坐标． 【详解】解：（1）根据图形可以直接读取各点坐标，，，，， ，，，的坐标分别为：，，，； （2）根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半， 、，线段的中点是， ； （3）①点，点， 根据（2）中发现的规律，线段的中点的坐标为，即 故答案为：； ②设点的坐标为， 点是线段的中点，且点，， ， ， 点的坐标为． 【经典例题二 平面直角坐标系中面积计算问题】 9．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 10．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或； (3)存在这样的点，点坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形等知识； （1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标及的面积； （2）设，由的面积为6，建立关于n的方程，求出n的值，即可求解； （3）设，由（1）知：；分点P位于y轴左侧，点P位于y轴右侧，两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：由得：，， ，， ，， ，， ， （2）解：设， ， ， ， 或， 点的坐标为或． （3）解：存在，理由：设， 由（1）知：， ， 当P位于y轴左侧时，设直线交y轴于点D，如图； ， ， ， ； 当P位于y轴右侧时，过点P作轴于点D，如图； ， ， ， ； 存在这样的点，点坐标为或． 11．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，，． (1)若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”___________； (2)若点在轴上，且三点的“矩面积”为10，直接写出点的坐标___________； (3)点， ①若三点的“矩面积”为8，求出满足题意的的取值范围； ②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围． 【答案】(1)18 (2)或 (3)①② 【分析】（1）利用公式直接求解即可； （2）首先由题意：，然后分别从①当时，，当时，，去分析求解即可求得答案； （3）①由三点的“矩面积”为8，当时，满足条件，求得的值即可 ②由，分析可得，，则可得， 由的范围即可求得S的取值范围． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）由题意：， 当时，，如图， 则， ； 当时，，如图， 则， ； 当时，，如图， 此时，不合题意； 故答案为：或； （3）①    当时，，如图， 此时三点的“矩面积”为8， 由， 得， 检验：当取其他值时，皆不满足三点的“矩面积”为8， 故； ②若，则x坐标最小值为0，最大值为m，如图， ； ∵m > 2，得2m > 4，y坐标最大值2m、最小值−1， ， ∴， 当m从2往大处变化时，从大于10开始增大， 故S的取值范围为． 12．（24-25七年级下·重庆忠县·期中）如图所示，在直角梯形OABC中，，CB＝8，OC＝8， OA＝16． (1)求点A、B、C的坐标，并且求出直角梯形OABC的面积； (2)当P点沿OA方向以每秒2个单位的速度从O点出发，经过多少时间后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半？ (3)在（2）的条件下，若现在P、Q点同时出发，当Q点从A点出发，沿AO方向每秒3个单位的速度移动，问经过多少时间后△BPQ的面积等于直角梯形OABC的面积的？ 【答案】(1)A的坐标是，B的坐标是，C的坐标是； 直角梯形OABC的面积是96； (2)4秒； (3)2秒或秒． 【分析】（1）根据已知中线段的长度即可直接求得A、B、C的坐标，利用梯形的面积公式求得梯形面积公式； （2）设t秒后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半，利用三角形面积公式，即可列方程求得t的值； （3）设t秒后△BPQ的面积等于直角梯形OABC的面积的，再利用P、Q相遇前以及相遇后分别得出方程求出答案． 【详解】（1）解：∵在直角梯形OABC中，， ，，， ∴A的坐标是，B的坐标是，C的坐标是； ∴直角梯形OABC的面积是：； （2）解：如图1所示：设经过t秒后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半， ∵， ∴， 解得：OP= 8， ∵P点沿OA方向以每秒2个单位的速度从O点出发， ∴经过8÷2 = 4秒后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半； （3）解：设t秒后△BPQ的面积等于直角梯形OABC的面积的， 由（1）的直角梯形OABC的面积为96， ∴， 当P、Q相遇前，如图2所示， ∴， ∴， 解得：； 当P、Q相遇后，如图3所示： ∴， ∴， 解得：， 综上所述，经过2秒或秒后△BPQ的面积等于直角梯形OABC的面积的． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及三角形的面积以及直角梯形的面积的综合应用，正确分类讨论是解题关键． 13．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与坐标轴交于A（﹣4，0），B（0，m）两点，点C（2，3），P（﹣，n）在直线AB上．我们可以用面积法求点B的坐标． (1)请阅读并填空： 一方面，过点C作CN⊥x轴于点N，我们可以由A，C的坐标，直接得出三角形AOC的面积为 　 　平方单位； 另一方面，过点C作CQ⊥y轴于点Q，三角形AOB的面积＝BO•AO＝2m，三角形BOC的面积＝　 　平方单位． ∵三角形AOC的面积＝三角形AOB的面积+三角形BOC的面积， ∴可得关于m的一元一次方程为 　 　，解这个方程，可得点B的坐标为 　 　． (2)如图，请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标． (3)若点H（3，h），且三角形ACH的面积等于24平方单位，请直接写出h的值． 【答案】(1)6，m，6=2m+m，（0，2） (2) (3)h的值为-4.5或11.5． 【分析】（1）用两种不同的方法求出△AOC的面积，构建方程求解即可； （2）利用面积法，构建方程求解即可； （3）分两种情形：当点H在直线AC的下方，当点H在直线AC的上方，分别利用面积法，构建方程求解． 【详解】（1）解：过点C作CN⊥x轴于点N， ∵A（-4，0），B（0，m），点C（2，3）， ∴S△AOC=×OA×CN=×4×3=6（平方单位）． 过点C作CQ⊥y轴于点Q，S△AOB=BO•AO=2m（平方单位），S△BOC=m（平方单位）． ∵S△AOC=S△AOB+S△BOC， ∴6=2m+m， 解得，m=2， ∴点B的坐标为（0，2）． 故答案为：6，m，6=2m+m，（0，2）； （2）解：如图，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵S△AOB=S△AOP+S△POB， ∴×4×2=×4×n+×2×， ∴n=， ∴点P的纵坐标为； （3）解：如图，过点H作x轴的垂线交AC于R． 设R（3，t），则有×4×t=×4×2+×2×3， 解得t=3.5， ∴R（3，3.5）； 当点H在直线AC的下方时，由S△ACH=S△ARH-S△CHR， 可得，24=×（3.5-h）×7-×1×（3.5-h）， 解得h=-4.5； 当点H在直线AC的上方时， 同法可得24=12×（h-3.5）×7+12×1×（h-3.5）， 解得h=11.5． 综上所述，h的值为-4.5或11.5． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，一元一次方程等知识，解题的关键是学会利用面积法构建方程解决问题． 14．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知是由经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：________，________，________． (2)在平面直角坐标系中画出平移后的，并求出的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以，，P三点为顶点的三角形的面积等于的面积？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)0；2；9 (2)见解析； (3)存在；或 【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标． （2）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （3）设点，根据题意，得，解答即可． 本题考查了坐标的平移，图形的面积，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得该平移变换是向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到新坐标为，，， 故答案为：0，2，9． （2）解：根据题意，得，，，画图如下： 则即为所求． 的面积为：． （3）解：存在；或，理由如下： 设点， 根据题意，得， ∴． 解得或， 故或． 15．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，，其中，满足关系式，． (1)求A，B，C三点的坐标，并在坐标系中描出各点． (2)在坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如果在第四象限内有一点，请用含 m的代数式表示四边形的面积． 【答案】(1)点，，；，作图见解析 (2)存在，点Q的坐标为或或或； (3) 【分析】（1）根据非负数的性质列式求出、，再求出，然后在平面直角坐标系中找出点、、的位置即可； （2）先求出的面积，再分点在轴上和点在轴上两种情况求出的长，然后分情况写出点的坐标即可； （3）根据列式计算即可得解． 本题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，以及三角形的面积，（2）难点在于要分情况讨论，（3）把四边形的面积分成两个三角形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 解得，， ， 点，，； 如图所示： （2）解：存在， ， 点在轴上时，， 解得， 点的坐标为或， 点在轴时，， 解得， 点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或或； （3）解：依题意， ． 16．（24-25七年级下·广东惠州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C． (1)填空，点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．线段平移到扫过的面积为_______． (2)若点P是y轴上的动点，连接． ①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段与线段相交于点E，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1)，，20 (2)①②坐标为或 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键． （1）由平移的性质得出点坐标，，再求出，即可得出结论； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解： 点，将向下平移5个单位得线段， ，即：， 由平移得，，四边形是长方形， ，， ， ，即：线段平移到扫过的面积为20， 故答案为：，，20； （2）①如图1， 过点作于， 由平移知，轴， ， ， 由平移知，， ，， ， 即：； ②（ⅰ）如图2，当交线段于，且将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交轴于点，则， ， 连接，则， 将四边形的面积分成两部分， ， 由①知， ， ， ， ， ． （ⅱ）如图3，当交于点，将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交轴于点，则， ，连接，则， 将四边形的面积分成两部分， ， ， 过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， 即：点坐标为或． 【经典例题三 平面直角坐标系中最值问题】 17．（24-25八年级上·江西南昌·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”． (1)若点，，．则“水平底”______，“铅垂高”______，“矩面积”______． (2)若点，，，且A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标． (3)若点，，，直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值． 【答案】(1)，， (2)或 (3)4 【分析】（1）根据材料所给信息即可求解； （2）由“矩面积”可求出的值，再分类讨论即可求解； （3）分类讨论的值即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴． （2）解：由题意知：； ∵“矩面积”为12 ∴ 则，此时； 或，此时（舍去） 则，此时； 或，此时（舍去） 综上所述：或 （3）解：由（2）得：； ，则； ，则， ∴ ，则， ∴ 综上所述：“矩面积”的最小值为4． 【点睛】本题以新定义题型为背景，重新定义了距离、面积．正确理解材料所包含的信息是解题关键． 18．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形关于直线的对称图形为，图形上任一点到轴，轴的距离的最大值是，称是图形关于直线的倍镜像“接收距离”．已知点，． (1)①线段关于直线的倍镜像“接收距离”是 ； ②线段关于直线的倍镜像“接收距离”是，的取值范围是 ； (2)点，关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值是 ． (3)点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）①求出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断； ②表示出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，解不等式组即可求解； （2）可推出、关于直线的倍镜像、的距离之差也是，从而得出关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值； （3）表示出A、B、D、E于直线l的倍镜像的对应点坐标，关于直线l的n倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线l的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的倍镜像“接收距离”时，即当的横坐标关于轴对称时，得出，从而求得临界的值，进而得出结果． 【详解】（1）解：①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为， 如图， ，， ∵点距离y轴距离最大为：4， ∴线段关于直线的倍镜像“接收距离”是； 故答案为：4； ②点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的倍镜像“接收距离”是， ， ， 故答案为：； （2）解：如图， ，，， 、距离轴的距离之差是， 、关于直线的倍镜像、的距离之差也是， ，关于直线l的倍镜像“接收距离”的最小值是 ， 故答案为：； （3）解：如图， 点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的倍镜像的线段是，则，， 当点，，线段关于直线l的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的n倍镜像“接收距离”时， 当的横坐标关于轴对称时，线段关于直线的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线的倍镜像“接收距离” 即， ， 当点，，线段关于直线l的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的倍镜像“接收距离”时，． 19．（24-25七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点A与点B的“纵横距离”，记为，即．若点P在线段CD上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点A的“视差”，记为．已知点，． (1)点A与点B的“纵横距离”的值为__________； (2)已知点C在x轴上，线段关于点A的“视差”为3，则点C的坐标为__________； (3)若点E与点A的“纵横距离”为4． ①的最小值为__________，最大值为__________； ②当取最小值时，请在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形． 【答案】(1)2 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中“纵横距离”及“视差”的意义． （1）根据“纵横距离”的定义：计算即可； （2）①当点C在x轴上，根据点C的位置不同分两种情况：在点B的左侧或右侧讨论其最大值与最小值，根据线段关于点A的“视差”为3，列方程即可求解； ②根据当取最小值时，此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是，画出点E组成的图形． 【详解】（1）解：点，． ∴． 故答案为2； （2）设点C坐标为， 当点C在x轴上，并且在点B的左侧时，如图： 此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为， ∴，解得， 当点C在x轴上，并且在点B的右侧时，如图： ∵，最大值不能为，∴点C在x轴正半轴， 此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为， ∴，解得， 综上所述：点C的坐标为或， 故答案为：或； （3）①若点E与点A的“纵横距离”为4． 此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是， 此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最小值最大为，最小为OE过点A，0， 的最小值为，最大值为， 故答案为3；4． ②当取最小值时，在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形是折线，如图： 此时折线的端点为、、、、． 20．（24-25七年级下·河北保定·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． (1)求点，，的“最佳间距”； (2)已知点，，； ①若点，，的“最佳间距”是，则的值为________； ②点，，的“最佳间距”的最大值为________； (3)当点，，的“最佳间距”取到最大值时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)3 (2)①；②4． (3)或 【分析】（1）求平行于坐标轴的直线上两点的距离：的长即可求解； （2）①根据“最佳间距”的定义，列方程求解即可；②“最佳间距”为OA或AB的长度，比较OA与AB的长度即可求出点O，A，B的“最佳间距”的最大值； （3）同（2），当点，，的“最佳间距”为CD或者DE的长度，用m表示出线段CD和线段DE的长度，分两类讨论，当CD≥DE和CD＜DE时，求出各自条件下的“最佳间距”，比较m的范围，确定“最佳间距”的最大值，进一步求解出E点坐标． 【详解】（1）解：已知点，，， ∴，． ∵， ∴． ∵垂线段最短， ∴， ∴点，，的“最佳间距”是3． （2）解：①∵点，，的“最佳间距”是， ∴， ， 故答案为：． ②∵点，，； ∴△OAB是直角三角形，∠OAB=90°， 当-4≤y≤4时，点O，A，B的“最佳间距”是|y|=AB≤4， 当y＞4或＜-4时，AB＞4，点O，A，B的“最佳间距”是OA=4， ∴点O，A，B的“最佳间距”为4， 故答案为：4． （3）解：点的坐标是或． 由（2）问的第②小问可知，当时，点，，的“最佳间距”取到最大值． ∵，， ∴或． 当时，解得， ∴点的坐标是； 当时，解得， ∴点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键，（2）中OA与AB的长度大小不确定时，需要分类讨论，是解决此题的突破口． 21．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，将一矩形纸片放在平面直角坐标系内，．    (1)动点Q从O出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C运动，运动秒时，动点从点出发以相同的速度沿向终点运动，当其中一个点到达终点时另一点也停止运动．设P点运动时间为t秒； ①求点B的坐标，并用t表示和； ②当时，将沿翻折，O恰好落在边上的D点处，求D点坐标； (2)若点Q在边上运动，点P在边上运动，将沿翻折，则线段的最大值和最小值分别为多少？（此问直接写出结果） 【答案】(1)①点B的坐标为，，；② (2)线段的最大值和最小值分别为和3 【分析】（1）①由矩形的性质可知，，，，则；由题意知，，，则；②当时，，，则；如图1，由翻折可知，，由勾股定理得，，进而可求D点坐标； （2）如图2，当点P与点A重合时，线段最大，由翻折的性质可知，，由勾股定理得，；如图3，当点Q与点C重合时，线段最小，由翻折的性质可知，，则；计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）①解：由矩形的性质可知，，，， ∴； 由题意知，，， ∴； ∴点B的坐标为，，； ②解：当时，，，则； 如图1，    由翻折可知，， 由勾股定理得，， ∴， ∴D点坐标为； （2）解：如图2，当点P与点A重合时，线段最大，    由翻折的性质可知，， 由勾股定理得，； 如图3，当点Q与点C重合时，线段最小，    由翻折的性质可知，， ∴； ∴线段的最大值和最小值分别为和3． 【点睛】本题考查了列代数式，点坐标，矩形与折叠，勾股定理等知识．熟练掌握列代数式，点坐标，矩形与折叠，勾股定理是解题的关键． 22．（24-25七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：任意两点横坐标差的最大值称为“水平底”a，任意两点纵坐标差的最大值称为“铅垂高”h，“水平底”与“铅垂高”的乘积为点A、B、C的“矩面积”S，即“矩面积”S＝ah． 例如：点A（1，2）、B（﹣3，1）、C（2，﹣2），它们的“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20． (1)已知点A（2，1）、B（﹣2，3），C（0，t）． ①若A、B、C三点的“矩面积”为12，写出点C的坐标：_______； ②写出A、B、C三点的“矩面积”的最小值：_____； (2)已知点D（﹣1，3）、E（4，0）、F（t，2t），设D、E、F三点的“矩面积”为S，求S（用含t的式子表示） 【答案】(1)①或；②8； (2)①当时，；②当时，；③当时，；④当时，；⑤当时， 【分析】（1）①首先由题意：，然后分别从①当时，，当时，，去分析求解即可求得答案； ②首先根据题意得：的最小值为2，继而求得，，三点的“矩面积”的最小值． （2）分情况讨论，由矩面积” 即可得出答案． 【详解】（1）由题意：． ①当时，， 则，可得，故点的坐标为； 当时，， 则，可得，故点 的坐标为； 故答案为：或； ②根据题意得：，的最小值为：2， 、、三点的“矩面积”的最小值为； 故答案为：8； （2）分情况讨论：如图所示：    ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“矩面积”；解题的关键是理解“水平底”与“铅垂高”以及“矩面积”，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用． 23．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． (1)理解：点，，的“最佳间距”是______； (2)探究：已知点，，． ①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______； ②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由； (3)迁移：当点，，的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标是______． 【答案】(1)3 (2)①  ②4；理由见解析 (3)或 【分析】（1）分别计算出，再由点到直线，垂线段最短，可得，即可求解； （2）①分别计算出OA，AB的长度，由于斜边大于直角边，故OB>OA，OB>AB，所以“最佳间距”为OA或者AB的长度，由于“最佳间距”为2，而OA=4，故OB=2，即可求解y的值；②△OAB是以点A为直角顶点的直角三角形，由①可得，“最佳间距”为OA或AB的长度，即4或，分当OA>AB时、当OA=AB时、当OA<AB时，分别计算“最佳间距”，即可解答； （3）同（2）②得，当OE=PE时，点O（0，0），E（m，0），P（m，-2m+1）的“最佳间距”取到最大值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴，轴， 轴， ∴， ∵点到直线，垂线段最短， ∴， ∴点，，的“最佳间距”是3； 故答案为∶3 （2）解：①∵点O（0，0），A（-4，0），B（-4，y）， ∴AB∥y轴， ∴OA=4， ∵垂线段最短， ∴OB>OA， ∵点O，A，B的“最佳间距”是2， ∴AB=2， ∴y=±2； 故答案为：； ②点O，A，B的“最佳间距”最大是4；理由如下： ∵点，是x轴上两点， ∴； ∵点，， ∴轴，且； ∴是以点A为直角顶点的直角三角形， 所以“最佳间距”等于或的长度，即4或． 当时，“最佳间距”等于，此时； 当时，“最佳间距”等于4； 当时，“最佳间距”等于4； 所以点O，A，B的“最佳间距”最大是4． （3）解：同（2）②得，当OE=PE时，点O（0，0），E（m，0），P（m，-2m+1）的“最佳间距”取到最大值， ∵， ∴m=-2m+1或m=2m-1． ∴或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键，（2）中OA与AB的长度大小不确定时，需要分类讨论，是解决此题的突破口． 24．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点． （1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）． ①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为___________，最大值为___________． ②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（－2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是_____________． （2）直线平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线的距离都是1，若点C（x，y）是直线上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围． 【答案】（1）①；5；②；（2）或． 【分析】（1）根据平面直角坐标系内两点间的距离公式，即可求解； （2）根据相好点的定义，即可求解； （3）根据相好点的定义，得到，，设 ，求出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：（1）①由题意可得：， ， ∴d的最小值为 ，最大值为5； ②如图①， ∵P1（2.5，0），P2（2，4），P3（－2，0）， 点P1（2.5，0）到线段AB的最小距离为3，最大距离为 ， ∴在线段AB上存在点到P1的距离等于O到AB的距离，即点P1与点O是线段AB的一对相好点， P2（2，4）到AB的最大距离为 ， ∴在线段AB上存在点到P1的距离等于O到AB的距离，即点P2与点O不是线段AB的一对相好点， P3（－2，0）到线段AB的最小距离为 ， ∴在线段AB上存在点到P3的距离等于O到AB的距离，即点P3与点O是线段AB的一对相好点， ∴与点O是线段AB的一对相好点的是； （3）∵直线平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线的距离都是1， ∴直线l为y=4或y=2， ∵点C与点O是线段AB的一对相好点，， ， 当，，即，， 设 ，当点C在y=4上时， 则 ， 解得：， 当，即，, 则， 解得：， 同理 ，当点C在y=2上时，或， 综上所述，x的取值范围或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，解不等式组，理解新定义是解题的关键． 【经典例题四 平面直角坐标系中存在性问题】 25．（24-25七年级上·山东东营·月考）已知，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标，并求出的面积 (2)在y轴上是否存在点P，使得以A，C，P为顶点的三角形的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在y轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为或，的面积为8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）根据，点B在x轴上，且，可知点B的横坐标与点A的横坐标的差的绝对值为4，从而可以求得点B的坐标，从而可以求得的面积． （2）根据题意可知点P在点C的上方或者下方，从而可以求得点P的坐标． （3）根据已知条件可以将各种情况在坐标系中表示出来，利用勾股定理列式计算从而可以得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，点B在x轴上，且， ∴设点B的坐标为，． 解得，或． ∴点B的坐标为或． 在平面直角坐标系中画出，如下图所示： ∴，． 即的面积为8； （2）解：在y轴上存在点P，使得以A、C、P三点为顶点的三角形的面积为9． 设点P的坐标为， 由题意可知点P可能在点C的上方或下方． 当点P在点C上方时，， 解得，． 当点P在C点下方时，， 解得，． 由上可得，点P的坐标为或； （3）解：在y轴上存在点Q，使得是等腰三角形． 如下图所示： ∵， ∴， 当时，点Q的坐标为：或； 当时，点Q与点C关于x轴对称，点Q的坐标为：； 当时，设点Q的坐标为， 则， 解得， ∴点Q的坐标为， 综上，使得是等腰三角形，点Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是能根据图形写出各点的坐标，能根据坐标求出相应图形的面积． 26．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点M的坐标为或 【分析】（1）由A、B的坐标，根据，列出关于m的方程，解方程； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，先求出，得到，设M的坐标是，根据三角形面积公式得出，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：∵，，点A、B在原点两侧，且， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G，如图所示： 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 【点睛】注意纵轴上两点间的距离为这两个点纵坐标之差的绝对值． 27．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，满足 (1)求A、B两点的坐标； (2)的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； (3)在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）将用完全平方公式变形为，得出，即可求解； （2）由的平分线与的外角平分线AM交于点，可得出，再由三角形外角和定理，得 ,即，即可求解； （3）根据A、B、P构成等腰三角形，设点P坐标为当点B与点A为顶点时，就有两个点，由图形中的三角形的全等性求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ， ． （2）解：平分，平分， ， ， ； （3）解：存在，理由如下： ∵是以为腰的等腰直角三角形 ∴当B点为等腰直角三角形的顶点，如图所示： ， ， ， ， 过点作于点C， ， ∵ ∴， ， 在和中 ， ，， ， ； 过点作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点在第二象限， ∴； 当A点为等腰直角三角形的顶点，如图所示： 同理证明出， ，， ， ； 同理证明出， ，， ， ∵点在第三象限， ； 故或或或 【点睛】本题考查了点的坐标，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，运用分类讨论思想时解题关键，属于较难题． 28．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，点A，B的坐标分别为、，点C为x正半轴上一个动点． (1)当时，写出线段　　，_________； (2)求的面积（用含m的代数式表示） (3)当点C在运动时，是否存在点C使为直角三角形，若存在，请求出这个三角形面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，面积为或或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）直接利用两点距离计算公式求解即可； （2）过点作轴于，分点C在线段上（不包括点O）和点在线段的延长线上两种情况，讨论求解即可； （3）利用两点距离计算公式分别求出，再分， 和三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，点C的坐标为 点，点， ，， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴于，当点C在线段上（不包括点O）时， 点，点，点 ，，，， ； 当点在线段的延长线上， ∴ ； 综上所述：； （3）解：点，点，点， ∴，， ； 当时，由勾股定理得， ∴，   ， ； 当时，由勾股定理得， ∴， 解得 ； 当时，由勾股定理得， ∴， ， ； 综上所述，存在点C使为直角三角形，为直角三角形时，其面积为或或． 29．（24-25七年级下·广东云浮·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)如图，平移线段到线段，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接，．若三角形的面积为7，求点C，D的坐标； (2)在（1）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使三角形与三角形的面积之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】（1）根据平移的性质，设出平移单位，根据三角形的面积为7建立方程求解即可． （2）根据三角形的面积，分点P在y轴的正半轴和负半轴两种情况，计算线段的长，求解即可． 本题考查了平移的性质，三角形面积的表示法，分类思想，熟练掌握平移，三角形面积表示法是解题的关键． 【详解】（1）解：(1)由题意，得点B向左平移了3个单位长度才得到点C的横坐标0． ∴点A向左平移3个单位长度，得到点D的横坐标． ∵对应点D在第二象限， 设， 则点A，B向上平移了个单位长度，． ∴，． 如答图所示，连接， ∴ ∴ ∴ ∴． ∴，． （2）解：由(1)得． ∵ ∴ ①当点P在x轴上方时，如答图1． ∴ ∴ 解得． ∴； ②当点P在x轴下方时，如答图2． ∴ ∴ 解得， ∴； 综上所述，存在点P满足题意，且或． 30．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接． (1)如图1，求点C，D的坐标及四边形的面积； (2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在； (3)如图2，在直线上是否存在点Q，连接，使，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，18 (2)存在，或 (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形的面积计算、点的坐标特征等知识点，根据平移变换的性质求出点C，D的坐标是解题的关键． （1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形的面积； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）根据直线上点的坐标特征设出点Q的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为，线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段， ∴点C的坐标为，点D的坐标为，， ∴四边形的面积． （2）解：存在， 设点P的坐标为， 由题意得：，解得：， ∴点P的坐标为或． （3）解：设点Q的坐标为，则， 由题意得：，解得：或， 则点Q的坐标为或． 【点睛】 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，．现同时将点，向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，到达点，的位置，将各点依次连接． (1)点的坐标为_____．点的坐标为_____； (2)四边形的面积为_____； (3)在轴上是否存在一点，使得的面积是的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论； （2）利用面积公式直接求解即可； （3）先求出的面积，然后得到的面积，设点的坐标为，根据三角形面积公式求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：，． 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，到达点， 则坐标为，即； 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，到达点， 则坐标为，即． （2）解：． ，， ， ． （3）解：存在． 点在轴上， ． 设点的坐标为． 的面积是的2倍， ， 解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化，平移，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 32．（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①     ②     ③    ④ (2)设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)从下列①，②两问中选择一个解答 ①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①②③ (2) (3)选择①，不存在．理由见解析；选择②，不存在．理由见解析 【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标特征，理解“坐标相合”的点的定义是解题的关键； （1）根据“坐标相合”的点的定义逐个判断即可； （2）根据“坐标相合”的定义得到，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上，据此列不等式求解即可； （3）选择①，利用假设法证明不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的； 选择②，利用假设法证明不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的． 【详解】（1）解：①与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ②与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ③与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ④与，，作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，由于轴，则，必定在长方形一条边上，与，，，分别落在该长方形的四条边上矛盾，与，，不是“坐标相合”的点； 故答案为：①②③； （2）解：∵，两点的纵坐标相同，且，，，是“坐标相合”的， ∴，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， ∴点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上， ∴ 解得； （3）解：选择①，不存在．理由如下： 假设存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的， 所以，，，和，，，均是“坐标相合”的， 同（2）的分析可知，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， 所以在，，，中需要落在长方形的上边界上，即在直线上方；在，，，中需要落在长方形的下边界上，即在直线下方，相互矛盾． 所以不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的． 选择②，不存在．理由如下： 假设存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的．设这五点为，根据“坐标相合”的定义可知：中的最小数和最大数不等，不妨设最小数为，最大数为，且． （i）考察．若中至少有一点在某长方形的水平边上，不妨设为，因为是“坐标相合”的，所以位于该长方形左侧竖直边的点的横坐标小于，与是最小数矛盾．类似的，若在某长方形的水平边上，则位于该长方形右侧竖直边的点的横坐标大于，与是最大数矛盾．所以分别在长方形的左、右侧竖直边上，在两条水平边上，不妨设在下水平边上，在上水平边上，如图所示，即； （ii）考察．同（i）可知： ； （iii）考察．同（i）可知： ，与矛盾． 综上所述，不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的． 【经典例题五 平面直角坐标系中动点问题】 33．（24-25七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称是点的“系联动点”．例如：点的“3系联动点”的坐标为． (1)点的“2系联动点”的坐标为______；若点的“系联动点”的坐标是，则点的坐标为______； (2)若点的“系联动点”与“系联动点”均关于轴对称，则点分布在______，请证明这个结论； (3)在（2）的条件下，点不与原点重合，点的“系联动点”为点，且的长度为长度的5倍，求的值． 【答案】(1)， (2)在轴上，证明见解析 (3) 【分析】本题考查几何变换综合题、二元一次方程组、坐标与图形的性质、是点的“系联动点”的定义等知识． （1）根据是点的“系联动点”的定义，计算或构建方程组解决问题即可； （2）根据是点的“系联动点”的定义的定义，理由轴对称的性质构建方程组即可解决问题； （3）构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：点的“2系联动点”的坐标为，即， 点的“系联动点”的坐标是，则， 解得，即， 故答案为：，； （2）解：结论：点分布在轴上． 理由如下：点的“系联动点”的坐标为（其中为常数，且， 点的“系联动点”为． 点的“系联动点”与“系联动点”均关于轴对称， ， ， ， 点在轴上． 故答案为：在轴上； （3）解：在（2）的条件下，点不与原点重合， 点的坐标为，， 点的“系联动点”为点， 点的坐标为， 的长度为长度的5倍， ， ， ． 34．（24-25七年级下·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2)①点D到直线的距离为；②点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，点的平移，平面直角坐标系中求三角形面积，平面直角坐标系中求三角形面积时，如果三角形中无一边与坐标轴平行，则常常用割补的方法，使得三角形表示为易于求得面积的三角形或四边形面积的和或差．注意（2）问中点P的坐标有两种情况，不要忽略x轴负半轴上的情况． （1）由题意可得、的长，由三角形面积公式即可求得； （2）①过点D作轴于E，由求出的面积，然后再求出距离即可； ②由面积可得，根据点P在x轴上的位置即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：9； （2）解：①如图，过点D作轴于E， ∵点D坐标为， ∴点E坐标为， ∵， ∴，，， ∴ ， ∵线段的长为5， ∴点D到直线的距离为： ； ②由题意得：， 即 ∴ ∵点P在x轴上 ∴点P的坐标为或． 35．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 平移到向下平移了， 到向下平移了， ； （2）解：，，， ， 设交轴于，作轴于，如图： 设， ， ， 解得：， ， 设， ，， ， 当或时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或； （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 36．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，B的坐标分别为，，D是的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着运动，设点P运动的时间为t秒． (1)点B坐标是 ，点D的坐标是 ； (2)当点P在上(包含端点)运动时，求点P的坐标是 ，t的取值范围为 ． (3)当的面积为9时，求出点P的坐标； 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形，一元一次方程的几何应用，解答的关键是分类讨论； （1）利用长方形的性质以及坐标与图形性质求出、两点坐标，再利用中点坐标公式即可求得点D坐标； （2）点在线段上，求出的长，进而即可求解； （3）分三种情形分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形，，， ∴，，，， ∴，，， 是的中点， ∴， ． 故答案为：；； （2）解：当在上运动时，, ∴，， 故答案为：，； （3）解：分三种情况： ①当时，点在上运动，坐标为，如图， 由题意得：， 解得：， 点的坐标为； ②当时，点在上运动，坐标为，如图， 由题意得：， ， 解得：， 点的坐标为； ③当时，点在上运动，坐标为，，如图， ， 解得：不合题意，舍去， ∵， ∴点P不可能在上， 综上所述，当或时，的面积为． 37．（24-25七年级下·江苏南通·期中）阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： (1)已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． (2)对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①点的坐标为或；②2；③ (2) 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形性质，正确理解“绝对距离”的定义是解题的关键． （1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标； ②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是2可得的最小值为2； ③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形周长为32计算即可； （2）由题意，分情况列出不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：①设， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②∵，设， ∴， ∴的最小值为2； ③∵，点满足， ∴点C在以为中心，以为边长的正方形上， ∴， ∴； （2）解：∵点，点， ∵有动点，使得， ∴分类讨论， ①当时，，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，，符合题意； ③当时，由题意得：， 解得：， ∴ 综上，的取值范围为． 38．（24-25七年级下·上海·期末）如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若是轴上的一个动点，当三角形面积等于时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，熟练的利用数形结合与方程思想解题是关键． （1）根据平移的性质可以直接写出点，点的坐标； （2）设点，根据三角形面积等于列出关于的方程，解此方程可得到点的坐标； （3）①依据，两个动点的运动速度之比为，可得到，，，，由此便可计算三角形之间的关系，最终得到；②由小问①可以直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：点，，且将线段平移得到线段，由于点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 可判断线段先向下平移个单位，再向右平移个单位， ，； （2）如图所示，设点， ，， ，， ， ， 或， 或； （3）① ， 理由：由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是，设，，当点在第二象限时，如图所示： ，，，， ， ， ， ，， ； ②由题意可知，存在两种情况，分别是在第二象限和在第四象限的情况； 当点在第二象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，，此时，，，， ， ， ， ，， ，设点， 则可得：， 整理得到：， 故设点， ，， ， ∵， ， ， 解得：， 故点； 当点在第四象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，， 此时，，，， ， ， ， ，， ， 设点， 则可得：， 整理得到：， 故设点， ， 解得：， 故点； 综上所述，点的坐标为或． 39．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． 【问题初探】 （）①点的坐标为 ； ②若，则四边形的面积为 ； 【深入研究】 （）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度． 运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动． 设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； 【拓展提升】 （）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 【答案】（）①；②；（）；（） 【分析】（）①由题意可得，即得，即可求解；②由题意得，即得，再根据四边形的面积解答即可求解； （）由题意得，，，，即得，即得到，解方程即可求解； （）连接，设点到轴的距离为，可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】解：（）①∵点在第二象限，轴交轴于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点在轴负半轴上， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：； （）由题意得，，，，， ∴， ∵恰好平分四边形的面积， ∴， 解得； （）连接，设点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即点的横坐标是． 40．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知M（0，4），N（3，2），线段MN平移得到线段PQ，使点M的对应点为P，点N的对应点为Q，若点P的坐标为，点Q的坐标为， (1)___________，___________； (2)若点E为x轴正半轴上的一个动点，探究、和之间的数量关系并证明；（注：、和均为大于且小于的角） (3)将线段MN向下平移得到线段AB，从使得点N的对应点B落在x轴上，点M的对应点A落在y轴上，动点C从点B出发，以每秒钟移动3个单位长度的速度沿x轴向左运动，动点D从点A出发，以每秒钟移动2个单位长度的速度沿y轴向下运动，直线BD与直线AC交于点F，设点F的坐标为．动点C和动点D同时出发且它们的运动时间为t秒． ①在时，试探究与的面积关系，并说明理由； ②若在点C、D的运动过程中，的面积为7，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②m的值为或 【分析】（1）由由平移到确定平移的方式，从而可得答案； （2）分三种情况讨论：如图，当在的左边时，连接NQ，如图，当在的右边，直线的左边时，（包括E在这两条直线上），如图，当在直线的右边时，记直线MN与EQ的交点为F，再根据平行线的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质可得答案； （3）①当时，如图，由题意可得： 记四边形OCFD的面积为m，再分别表示两个三角形的面积即可得到答案；②由 可得都在负半轴上，再分两种情况讨论：交点F在第三象限，如图，证明 即 ,作A，F作x轴的平行线，过F，B作y轴的平行线，交点分别即为L，P，Q，则四边形LFQP为矩形，再利用面积列方程，如图，当交点F在第一象限，同理利用面积列方程即可． 【详解】（1）解：由平移到 而平移到 ∴ （2）如图，当在的左边时，连接NQ， 由平移可得： 如图，当在的右边，直线的左边时，（包括E在这两条直线上）， 同理可得： 如图，当在直线的右边时，记直线MN与EQ的交点为F， 同理： ∴ （3）①当时，如图， 由题意可得： 记四边形OCFD的面积为m， ∴ ② 则都在负半轴上，交点F在第三象限，如图， 同理可得： 而 解得： 作A，F作x轴的平行线，过F，B作y轴的平行线，交点分别即为L，P，Q， 则四边形LFQP为矩形， 解得： 如图，当交点F在第一象限， 同理可得： 解得： 综上：m的值为或 【点睛】本题考查的是坐标与图形，坐标系内图形的平移，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，利用割补法求解图形的面积，一元一次方程的应用，整式的乘法运算，本题的综合程度高，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【经典例题六 平面直角坐标系中旋转问题】 41．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知射线，当绕端点按逆时针方向旋转到时，如果线段的长是，那么点用记号表示． (1)画出两点，的位置； (2)量出的长（精确到）； (3)求B点的方向角． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)点的方向角为北偏东． 【分析】本题考查了通过坐标确定位置：一对有序实数确定平面内一点的位置．也考查了对题意的理解能力以及方向角的概念． （1）根据的含义，把绕端点按逆时针方向旋转到，且；同样得到点； （2）连，测量即可； （3）根据方位角的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：量得的长为； （3）解：点的方向角为北偏东． 42．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）开心休博园坐落于长江世业洲生态岛，周末小明和小丽相约到休博园游玩，游玩结束后，他们绘制了开心休博园部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标为． (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中旋转木马的坐标________； (3)若在休博园内新建一个游客中心，该中心到旋转木马、碰碰车和大摆锤三个游乐场所的距离相等，请你在图中画出游客中心的位置，标记为点E． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）表示碰碰车的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就是原点位置，可以画出平面直角坐标系； （2）观察表示旋转木马的点的位置，可得其坐标； （2）根据线段垂直平分线的性质，作出的垂直平分线，其交点E就是游客中心的位置． 【详解】（1）解：∵表示碰碰车的点的坐标为， ∴表示碰碰车的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到原点， 画出平面直角坐标系，如图： （2）解：由图看出，表示旋转木马的点的坐标是 （3）解：如图，点E即为游客中心位置， 理由：如下图， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴点E到点A、B、C的距离相等． 【点睛】本题考查了网格作图，熟练掌握坐标平移，全等三角形的判定和性质，三角形的外心性质，是解题的关键 43．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向上平移5个单位长度后，得到，请作出，并写出点的坐标； (2)将绕坐标原点O旋转，得到，请作出． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换： （1）根据平移的性质，画出，进而写出的坐标即可； （2）根据中心对称性质，画出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由图可知：； （2）如图，即为所求； 44．（24-25七年级下·天津河东·期末）在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 在 轴的正半轴上， ， 点 为 的中点． 把 绕点 逆时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ． (1)如图①，点 的坐标为_____，点 的坐标为_____； (2)如图②， 与 交于点 ，当 轴时，求点 的坐标； (3)连接 是 的中点，连接 ． 请直接写出 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知、根据直角三角形中的边角关系可得∶，从而得到点B的坐标；由已知“点C为的中点可得点C的坐标； （2）由已知、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知∶，得是等边三角形，由旋转知∶、，由已知、根据“平面内，如图一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”知∶轴，设交y轴于点E、由直角三角形中的边角关系得，从而得到，在中，由边角关系得到，即可得出点D的坐标； （3）取的中点，连接，则是的中位线，从而得到，进而可得∶在的旋转过程中点P在以点M为圆心、为半径的圆上，从而可得∶当点P在与的交点处时，的值最小，为；当点P在M与的交点处时，的值最大，为，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：点 ， ， ， ， 点 在 轴的正半轴上， ， 点 为 的中点， ，即； 故答案为：，； （2）解：设与轴的交点为E， ， ， 点 为 的中点， ， 是等边三角形， 由旋转的性质可知：， ，， 轴， ， ， ， ， ， ； （3）解：取的中点，连接，如图： 则， 点是的中点， 是的中位线 ， 在的旋转过程中，点在以点为圆心、为半径的圆上， 当点在与的交点处时，的值最小，为； 当点在与的交点处时，的值最大，为． 的取值范围是 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质，旋转的性质、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质及解直角三角形的相关知识等，综合性强，有一定难度，正确找到动点的运动轨迹是解题的关键。 45．（24-25七年级下·江西吉安·月考）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)平移，点的对应点的坐标为，作出平移后对应的； (2)将绕点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； (3)若上述通过旋转可得到，则旋转中心的坐标为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查画平移图形，画旋转后图形，确定旋转中心位置等． （1）根据题意先将三点坐标列出，再根据的坐标为，利用平移性质得出坐标，并在图中找出点坐标连接继而得到图形； （2）先将逆时针旋转后线段画出，再将逆时针旋转后线段画出，连接即可； （3）依次连接和中的对应点，再作出对应点连线的垂直平分线即可得到交点即为旋转中心． 【详解】（1）解：由图可知，， ∵点的坐标为， ， 将依次连接，如下图所示： （2）解：先将逆时针旋转后线段画出，再将逆时针旋转后线段画出，连接即可，如下图所示： （3）解：依次连接和中的对应点，再作出对应点连线的垂直平分线即可得到交点即为旋转中心，如下图所示： ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 46．（24-25七年级下·河北保定·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)将绕点旋转得到，作出； (2)将向上平移4个单位得到，作出； (3)已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点． （1）分别作出 的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移分别作出点的对应点再顺次连接即可； （3）根据所画图形，写出对应坐标的变化规律即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：是内一点，其坐标为， ∵上的点是由上的点横纵坐标都乘以，然后横坐标不变，纵坐标得到的， ∴中的对应点的坐标为． 47．（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针旋转所得的，并求出在旋转过程中，点经过的路线长． 【答案】(1)见解析， (2)见解析, 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称变换，求弧长； （1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点，即可，勾股定理求得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求． 勾股定理可得， ∴在旋转过程中，点经过的路线长为：； 48．（24-25七年级下·河南开封·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标，点B的坐标． （1）画出关于原点O对称的（A，B的对称点分别为，）． （2）画出关于原点O按逆时针方向旋转90°所得的（A，B的对应点分别为，），并写出，的坐标． （3）若将点向上平移h个单位，使其落在的内部，请直接写出h的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析，、；（3） 【分析】（1）先描出A，B关于原点对称点，，再连接即可得到； （2）先描出A，B关原点O按逆时针方向旋转90°所对应的，，再连接即可； （3）结合所画图象即可得出． 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 由图可得：、； （3）点向上平移h个单位，使其落在的内部，由图： 当，会使得点落在的内部． 【点睛】本题考查了中心对称、图形的旋转、平移，解题的关键是掌握图形旋转、平移的特征． 学科网（北京）股份有限公司 $