7.2 万有引力定律 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理同步重难点突破分层练（人教版必修第二册）

本讲义聚焦万有引力定律核心知识点，系统梳理行星与太阳间引力的推导、月—地检验的验证过程、万有引力定律的内容及表达式，以及引力常量的测定与意义，构建从具体现象到普适规律的学习支架。 该资料通过例题与变式题结合分层训练，强化科学推理与模型建构，如“鹊桥”号所受引力与高度关系的计算实例培养应用能力。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固知识，查漏补缺，提升物理观念与科学思维。

鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 必修第二册人教版(2019) 第2节 万有引力定律 目录 【知识要点】 1 一、行星与太阳间的引力 1 二、月—地检验 1 三、万有引力定律 2 四、引力常量 2 【题型专练】 2 一、万有引力定律的理解 2 二、万有引力定律的简单应用 3 三、万有引力与重力的关系 5 【分层训练】 6 一、行星与太阳间的引力 如图所示，设行星的质量为m，速度为v，行星与太阳间的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为F＝m① 天文观测可以测得行星公转的周期T，并据此可求出行星的速度v＝②联立①②整理后得F＝③ 根据开普勒第三定律得＝k④联立③④得F＝4π2k上式除m、r以外，其余都是常量，所以F∝ 力的作用是相互的，行星与太阳的引力也应与太阳的质量m太成正比，即F∝。 2.表达式：F＝G 式中量G与太阳、行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。 二、月—地检验 1.假设 (1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝＝G。 (2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝＝G。 上述公式中m地为地球质量，m月为月球质量，r为地球中心与月球中心的距离，R是地球中心与苹果间的距离。由以上两式可得＝。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以＝。 2.结论：月球绕地球运动的向心加速度与我们的预期符合得很好。这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。 三、万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式：F＝G。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。 四、引力常量 1.引力常量的测定 英国物理学家卡文迪什在实验室里通过扭秤装置，比较准确地得出了G值，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 2.引力常量测定的意义 (1)卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。 (2)引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。 一、万有引力定律的理解 1.对万有引力定律表达式F＝G的说明 (1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。 (2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。 2.F＝G的适用条件 (1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 【例题1】关于万有引力和万有引力定律的理解，正确的是（    ） A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知，两物体间距离减小时，它们之间的引力增大 D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且约等于 【答案】C 【详解】A．任意两个物体间都存在相互作用的引力，无论是否可视为质点，A错误； B．对于质量分布均匀的球体，也可用公式 计算引力，其中为球心间距，B错误； C．由公式 可知，引力大小与距离的平方成反比，因此减小，增大，C正确； D．万有引力常量的大小首先由卡文迪什通过扭秤实验测得，牛顿提出万有引力定律但未测定其值，D错误。故选C。 【变式1】对于万有引力定律的表达式，下列说法中正确的是（　　） A．只要是两个球体，就可用上式计算万有引力 B．r趋近0时，万有引力趋于无穷大 C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等 D．m1、m2受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 【答案】C 【详解】A．万有引力定律的表达式，适用于质量分布均匀的两个球体之间万有引力的计算，故A错误； B．当r→0时，两个物体均不能看成质点，上式不再成立，故B错误； CD．两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反、作用在两个物体上，故C正确，D错误。故选C。 二、万有引力定律的简单应用 1.任何两个物体间都存在着万有引力，但F＝G有其适用范围，在计算万有引力的大小时注意判断是否符合适用条件。 2.在应用万有引力定律表达式F＝G进行有关计算时，r是指两质点(或两球心，或质点与球心)之间的距离，而不是两物体(球)之间的距离。 【例题2】2018年5月21日，嫦娥四号中继星“鹊桥”号成功发射，为嫦娥四号的着陆器和月球车提供地月中继通信支持。当“鹊桥”号在高空某处所受的引力为它在地面某处所受引力的一半，则“鹊桥”号离地面的高度与地球半径之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地球半径为，卫星离地面的高度为，则地面处引力高空处引力由题意代入得整理得高度与地球半径之比为 ，即 故选B。 【变式2】有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，两者之间的万有引力大小为F1。现从球体中挖去一个半径为的小球体，如图所示，剩余球体部分对质点的万有引力大小为 F2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意及万有引力公式，可知由公式M=ρV和，联立解得挖去的小球体质量为则挖去的小球体与质点间的万有引力大小为则剩余球体部分对质点的万有引力大小为可知故选B。 三、万有引力与重力的关系 1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示。 (1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝G。 (2)当物体在赤道上时，F′＝mω2R最大，此时重力最小，Gmin＝G－mω2R (3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大。因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<G。 2.重力加速度与高度的关系 若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)。在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小。 3.特别说明 (1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力。 (2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G。 【例题3】设地球质量为，半径为，万有引力常量为，重力加速度为，地球上的物体质量为，关于地球表面上万有引力与重力的关系，考虑地球的自转，把地球看作质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．在任何地方重力都等于万有引力，方向都指向地心 B．地球两极处物体的万有引力等于重力，即 C．在地球除两极的其他位置，重力是万有引力的一个分力，重力的大小 D．赤道上物体的万有引力等于物体的向心力，即 【答案】B 【详解】B．考虑地球的自转，地球表面的物体相对地轴做圆周运动，向心力方向垂直于地轴，万有引力始终沿半径指向球心，在地球两极处，物体不随地球自转，向心力为零，重力等于万有引力，即有故B正确； AC．结合上述可知，在除两极的其他位置，万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力即重力，两个分力的夹角小于，故重力小于万有引力，即有可知，除两极和赤道，重力都不指向地心，故AC错误； D．结合上述可知，在赤道上，物体的重力和向心力在一条直线上，与万有引力方向相同，则有故D错误。故选B。 【变式3】假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为，在赤道处的大小为，地球的半径为，则地球的自转周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两极处有赤道处有联立解得故选D。 1．如图所示，“南大仙林星”绕太阳依次从a→b→c→d→a运动。在轨道上、、、四个位置中，该行星受太阳引力最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据万有引力定律可知 相同条件下，两个物体间的距离越小，它们之间的万有引力就越大，由于“南大仙林星”在a点离太阳最近，故该行星在a点受到太阳的引力最大。 故选A。 2．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，大小分别为m1、m2，则两球的万有引力大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由公式可知两球间万有引力 故选D。 3．有关万有引力的说法中，正确的有（　　） A．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力 B．中的G是比例常数，对于不同的星球G的值不同 C．公式只适用于天体，不适用于地面物体 D．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力 【答案】D 【详解】ACD．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，是任意两物体之间的相互作用力，公式适用于天体，也适用于地面物体，地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力，物体落到地面上，说明地球对物体有引力，根据相互作用，物体对地球也有引力，故AC错误，D正确； B．中的G是比例常数，对于不同的星球G的值相同，故B错误。 故选D。 4．关于万有引力定律，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿是在开普勒揭示的行星运动规律的基础上，发现了万有引力定律，因此万有引力定律仅适用于天体之间 B．卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常量G的数值 C．两物体各自受到对方的引力的大小不一定相等，质量大的物体受到的引力也大 D．万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体不适用 【答案】B 【详解】AD．牛顿是在开普勒揭示的行星运动规律的基础上，发现了万有引力定律，且万有引力定律适用于任何两个有质量的物体之间，故AD错误； B．卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常量G的数值，故B正确； C．两物体各自受到对方的引力的是一对相互作用力，大小一定相等，故C错误； 故选B。 5．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是（　　） A．牛顿、伽利略 B．开普勒、伽利略 C．开普勒、卡文迪许 D．牛顿、卡文迪许 【答案】D 【详解】发现万有引力定律的科学家是牛顿，他提出了万有引力定律。首次比较精确地测出引力常量的科学家是卡文迪许，牛顿得到万有引力定律之后，并没有测得引力常量，引力常量是由卡文迪许用扭秤实验测得的。 故选D。 6．牛顿发现了万有引力定律，其内容是：自然界中任何两个物体都互相吸引，引力方向在它们的连线上，引力大小F跟它们的质量、的乘积成正比，跟它们的距离r的平方成反比，即。请你根据所学知识，推导比例系数G的国际制单位为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据万有引力定律 可得 力的单位是N 距离r的单位是m，质量m的单位是kg，所以万有引力常量G的单位是 故选A。 7．2023年12月9 日，“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入预定轨道。已知“鸿鹄卫星”离地面高度为h，其质量为m，地球质量为m地，地球半径为R，引力常量为G，则地球和“鸿鹄卫星”间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】结合题中数据，根据万有引力表达式可得地球和“鸿鹄卫星”间的万有引力大小为 r为卫星到地心的距离，即 故二者间万有引力大小为 故选 D。 8．中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的 D．地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为 【答案】B 【详解】A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，近地点的速度大于远地点的速度，所以冬至时运行速度大，A错误； B．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积；同理行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积，；根据开普勒第二定律，得，即速度之比为，B正确； C．由开普勒第二定律可知，冬至附近速度快，时间短，所以周期小于公转的，C错误； D．由万有引力公式 可知，与成反比，所以引力之比为，D错误。 故选B。 9．将地球看成均匀球体，已知均匀球体对球外物体的万有引力相当于将球体的质量集中于球心的质点对物体的万有引力。假设在紧贴地球表面处挖去一半径为的球（R为地球半径），如图所示，在图中A点放置一质量为m的质点，则该质点在挖空前后受到的万有引力的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】未挖前，在A处的质点受到的万有引力为 挖去部分对A处质点的万有引力为 故A处质点在挖空前后受到的万有引力的比值为 故选A。 10．若测量出地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为Δg，已知地球半径为R，则地球自转的周期T为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球的质量为M，物体的质量为m，地球两极处的重力加速度为g0，赤道处的重力加速度为g，在地球两极处有 在赤道处有 又有 g0－g = Δg 联立解得 故选C。 11．（多选）要使两物体间万有引力减小到原来的，可采用的方法是（　　） A．使两物体的质量各减少一半，距离变为原来的2倍 B．两物体间距离增至原来的2倍，质量不变 C．使两个物体质量减为原来的，距离变为原来的一半 D．使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的 【答案】BC 【详解】A．使两物体的质量各减少一半，距离变为原来的2倍，根据 可知万有引力减小到原来的，A错误； B．两物体间距离增至原来的2倍，质量不变，根据 可知两物体间的万有引力变为原来的，B正确； C．使两个物体质量减为原来的，距离变为原来的一半，根据 可知两物体间的万有引力变为原来的，C正确； D．使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的，根据 可知，物体间的万有引力不变， D错误。 故选BC。 12．（多选）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射并进入近地点距离地面为a、远地点距离地面为b的椭圆轨道，飞船只在引力作用下绕地球运行。若地球可看作半径为R的匀质球体，飞船视为质点，下列说法正确的是（　　） A．飞船从远地点飞往近地点过程中机械能变大 B．飞船在近地点受到的万有引力和在远地点受到的万有引力大小之比为 C．若飞船在远地点加速进入圆轨道，飞船在圆轨道上的运动周期与椭圆轨道相比变大 D．若飞船在远地点加速进入圆轨道，飞船在圆轨道上的运动周期与椭圆轨道相比变小 【答案】BC 【详解】A．飞船只在引力作用下绕地球运行，只有引力做功，引力做功不改变机械能，所以飞船从远地点飞往近地点过程中机械能守恒，故A错误； B．由题意可知，飞船在近地点的轨道半径为 飞船在远地点的轨道半径为 根据万有引力公式 可得飞船在近地点受到的万有引力和在远地点受到的万有引力大小之比为，故B正确； CD．若飞船在远地点加速进入圆轨道，飞船在圆轨道上运动的半径大于椭圆轨道上运动的半长轴，根据开普勒第三定律可知，飞船在圆轨道上的运动周期与椭圆轨道相比变大，故C正确，D错误。 故选BC。 13．（多选）科学家通过研究发现，行星绕恒星的运动轨迹其实并不是正圆，而是一个椭圆。如图为某一行星绕太阳的运动轨迹，BD是椭圆的长轴，D到太阳中心的距离是B到太阳中心距离的5倍；AC是椭圆的短轴，O是椭圆中心，该行星绕太阳运动一周的时间为T。则下列说法正确的是（　　） A．行星从A经D到C的运动时间大于 B．行星从B经A到D的过程中速度先增大后减小 C．行星在B、D两点的加速度大小之比为25∶1 D．行星在A点的加速度方向沿AC连线 【答案】AC 【详解】AB．行星围绕太阳做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从B→A→D做减速运动，从D→C→B做加速运动，则从A→D→C的运动时间大于半个周期，故A正确，B错误； C．根据万有引力定律 结合牛顿第二定律可知，近日点与远日点加速度比等于距离平方的反比，所以是25∶1，C正确； D．行星在A点的加速度方向与万有引力方向相同，指向太阳，故D错误。 故选AC。 14．（多选）已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零。现在质量为，半径为，球心在点的地球内部挖一个半径为，球心在的球形洞。现将一质量为的小球从洞内点由静止释放。其中地球可视为质量均匀分布。关于小球的运动，以下说法正确的是（　　） A．小球做变加速运动，最终撞到点 B．小球在点时的加速度方向为 C．小球在点时的加速度大小为 D．小球在点时所受万有引力的大小为 【答案】BC 【详解】BCD．根据割补法可知，小球所受万有引力等于大球对其万有引力与挖去部分对其万有引力的矢量差值，如图所示，， 又质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，则大球对小球的万有引力等于以为半径的球体对其的引力，挖去部分对其的万有引力等于以为半径的球体对其的引力，设地球密度为，则 方向为 方向为 可得 则球对其万有引力与挖去部分对其万有引力的矢量差值，即剩余部分对其产生的引力方向必平行于，有 可得小球在点时所受万有引力的合力 可知小球在点时的加速度大小为，加速度不变。 故BC正确，D错误； A．由此可知，将小球由静止释放后，其沿与平行的方向做匀加速直线运动，直到与洞壁相撞，故A错误。 故选BC。 15．（多选）卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，只考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知下列说法正确的是（　　） A．P、Q绕行星公转的周期之比为 B．P、Q到行星中心距离的最小值之比为 C．P、Q的质量之比为 D．Q的轨道长轴与短轴之比为 【答案】ACD 【详解】A．由图可知故A正确： B．当P离行星最近时 当P离行星最远时 当Q离行星最近时 当Q离行星最远时 由开普勒第三定律可知联立解得故B错误； C．由B可知解得故C正确； D．设卫星Q的轨迹半长轴为a，半短轴为b，焦距为c，则有，，联立解得所以Q的轨道长轴与短轴之比为，故D正确。故选ACD。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 必修第二册人教版(2019) 第2节 万有引力定律 目录 【知识要点】 1 一、行星与太阳间的引力 1 二、月—地检验 1 三、万有引力定律 2 四、引力常量 2 【题型专练】 2 一、万有引力定律的理解 2 二、万有引力定律的简单应用 3 三、万有引力与重力的关系 4 【分层训练】 5 一、行星与太阳间的引力 如图所示，设行星的质量为m，速度为v，行星与太阳间的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为F＝m① 天文观测可以测得行星公转的周期T，并据此可求出行星的速度v＝②联立①②整理后得F＝③ 根据开普勒第三定律得＝k④联立③④得F＝4π2k上式除m、r以外，其余都是常量，所以F∝ 力的作用是相互的，行星与太阳的引力也应与太阳的质量m太成正比，即F∝。 2.表达式：F＝G 式中量G与太阳、行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。 二、月—地检验 1.假设 (1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝＝G。 (2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝＝G。 上述公式中m地为地球质量，m月为月球质量，r为地球中心与月球中心的距离，R是地球中心与苹果间的距离。由以上两式可得＝。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以＝。 2.结论：月球绕地球运动的向心加速度与我们的预期符合得很好。这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。 三、万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式：F＝G。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。 四、引力常量 1.引力常量的测定 英国物理学家卡文迪什在实验室里通过扭秤装置，比较准确地得出了G值，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 2.引力常量测定的意义 (1)卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。 (2)引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。 一、万有引力定律的理解 1.对万有引力定律表达式F＝G的说明 (1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。 (2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。 2.F＝G的适用条件 (1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 【例题1】关于万有引力和万有引力定律的理解，正确的是（    ） A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知，两物体间距离减小时，它们之间的引力增大 D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且约等于 【变式1】对于万有引力定律的表达式，下列说法中正确的是（　　） A．只要是两个球体，就可用上式计算万有引力 B．r趋近0时，万有引力趋于无穷大 C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等 D．m1、m2受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 二、万有引力定律的简单应用 1.任何两个物体间都存在着万有引力，但F＝G有其适用范围，在计算万有引力的大小时注意判断是否符合适用条件。 2.在应用万有引力定律表达式F＝G进行有关计算时，r是指两质点(或两球心，或质点与球心)之间的距离，而不是两物体(球)之间的距离。 【例题2】2018年5月21日，嫦娥四号中继星“鹊桥”号成功发射，为嫦娥四号的着陆器和月球车提供地月中继通信支持。当“鹊桥”号在高空某处所受的引力为它在地面某处所受引力的一半，则“鹊桥”号离地面的高度与地球半径之比为（　　） A． B． C． D． 【变式2】有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，两者之间的万有引力大小为F1。现从球体中挖去一个半径为的小球体，如图所示，剩余球体部分对质点的万有引力大小为 F2，则的值为（　　） A． B． C． D． 三、万有引力与重力的关系 1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示。 (1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝G。 (2)当物体在赤道上时，F′＝mω2R最大，此时重力最小，Gmin＝G－mω2R (3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大。因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<G。 2.重力加速度与高度的关系 若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)。在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小。 3.特别说明 (1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力。 (2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G。 【例题3】设地球质量为，半径为，万有引力常量为，重力加速度为，地球上的物体质量为，关于地球表面上万有引力与重力的关系，考虑地球的自转，把地球看作质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．在任何地方重力都等于万有引力，方向都指向地心 B．地球两极处物体的万有引力等于重力，即 C．在地球除两极的其他位置，重力是万有引力的一个分力，重力的大小 D．赤道上物体的万有引力等于物体的向心力，即 【变式3】假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为，在赤道处的大小为，地球的半径为，则地球的自转周期为（    ） A． B． C． D． 1．如图所示，“南大仙林星”绕太阳依次从a→b→c→d→a运动。在轨道上、、、四个位置中，该行星受太阳引力最大的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，大小分别为m1、m2，则两球的万有引力大小为（　　）    A． B． C． D． 3．有关万有引力的说法中，正确的有（　　） A．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力 B．中的G是比例常数，对于不同的星球G的值不同 C．公式只适用于天体，不适用于地面物体 D．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力 4．关于万有引力定律，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿是在开普勒揭示的行星运动规律的基础上，发现了万有引力定律，因此万有引力定律仅适用于天体之间 B．卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常量G的数值 C．两物体各自受到对方的引力的大小不一定相等，质量大的物体受到的引力也大 D．万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体不适用 5．发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是（　　） A．牛顿、伽利略 B．开普勒、伽利略 C．开普勒、卡文迪许 D．牛顿、卡文迪许 6．牛顿发现了万有引力定律，其内容是：自然界中任何两个物体都互相吸引，引力方向在它们的连线上，引力大小F跟它们的质量、的乘积成正比，跟它们的距离r的平方成反比，即。请你根据所学知识，推导比例系数G的国际制单位为（　　） A． B． C． D． 7．2023年12月9 日，“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入预定轨道。已知“鸿鹄卫星”离地面高度为h，其质量为m，地球质量为m地，地球半径为R，引力常量为G，则地球和“鸿鹄卫星”间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 8．中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的 D．地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为 9．将地球看成均匀球体，已知均匀球体对球外物体的万有引力相当于将球体的质量集中于球心的质点对物体的万有引力。假设在紧贴地球表面处挖去一半径为的球（R为地球半径），如图所示，在图中A点放置一质量为m的质点，则该质点在挖空前后受到的万有引力的比值为（　　） A． B． C． D． 10．若测量出地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为Δg，已知地球半径为R，则地球自转的周期T为（   ） A． B． C． D． 11．（多选）要使两物体间万有引力减小到原来的，可采用的方法是（　　） A．使两物体的质量各减少一半，距离变为原来的2倍 B．两物体间距离增至原来的2倍，质量不变 C．使两个物体质量减为原来的，距离变为原来的一半 D．使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的 12．（多选）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射并进入近地点距离地面为a、远地点距离地面为b的椭圆轨道，飞船只在引力作用下绕地球运行。若地球可看作半径为R的匀质球体，飞船视为质点，下列说法正确的是（　　） A．飞船从远地点飞往近地点过程中机械能变大 B．飞船在近地点受到的万有引力和在远地点受到的万有引力大小之比为 C．若飞船在远地点加速进入圆轨道，飞船在圆轨道上的运动周期与椭圆轨道相比变大 D．若飞船在远地点加速进入圆轨道，飞船在圆轨道上的运动周期与椭圆轨道相比变小 13．（多选）科学家通过研究发现，行星绕恒星的运动轨迹其实并不是正圆，而是一个椭圆。如图为某一行星绕太阳的运动轨迹，BD是椭圆的长轴，D到太阳中心的距离是B到太阳中心距离的5倍；AC是椭圆的短轴，O是椭圆中心，该行星绕太阳运动一周的时间为T。则下列说法正确的是（　　） A．行星从A经D到C的运动时间大于 B．行星从B经A到D的过程中速度先增大后减小 C．行星在B、D两点的加速度大小之比为25∶1 D．行星在A点的加速度方向沿AC连线 14．（多选）已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零。现在质量为，半径为，球心在点的地球内部挖一个半径为，球心在的球形洞。现将一质量为的小球从洞内点由静止释放。其中地球可视为质量均匀分布。关于小球的运动，以下说法正确的是（　　） A．小球做变加速运动，最终撞到点 B．小球在点时的加速度方向为 C．小球在点时的加速度大小为 D．小球在点时所受万有引力的大小为 15．（多选）卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，只考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知下列说法正确的是（　　） A．P、Q绕行星公转的周期之比为 B．P、Q到行星中心距离的最小值之比为 C．P、Q的质量之比为 D．Q的轨道长轴与短轴之比为 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $