7.2 万有引力定律（5个知识点＋3个方法技巧＋7大题型＋分层训练）-2024-2025学年高一物理同步题型分类讲与练（人教版2019必修第二册）

7.2 万有引力定律 01导图速览 02必备知识 ►知识点1 物理学史：行星运动的原因 ►知识点2 行星与太阳间的引力 ►知识点3 月—地检验 ►知识点4 万有引力定律 ►知识点5 引力常量 03方法技巧 ►方法技巧1 重力与万有引力的关系 ►方法技巧2 黄金代换 ►方法技巧3 空腔和实心球对质点的万有引力的计算 04经典题型 题型1 物理学史 题型2 月—地检验 题型3 万有引力的计算 题型4 万有引力和重力的关系 题型5 万有引力常量的测定 题型6 空壳内及地表下的万有引力 题型7 万有引力与抛体运动结合问题 05分层训练 基础练 提升练 知识点1 物理学史：行星运动的原因 1、科学家对行星运动原因的各种猜想 （1）伽利略：行星的运动与地面物体的运动遵循不同的规律，行星的运动是依靠“惯性”自行维持的。 （2）开普勒：行星的运动是受到了来自太阳的类似于磁力的作用，行星和太阳之间的这种磁力作用与行星和太阳之间的距离成反比。 （3）笛卡儿：创立了漩涡说，他认为太阳的周围有巨大的漩涡，带动着行星不断运转。 2、胡克、哈雷等人对行星运动原因的猜想 胡克等人认为，行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受引力的大小跟行星到太阳距离的二次方成反比。但是由于关于运动和力的清晰概念是由牛顿建立的，当时没有这些概念，因此他们无法深入研究。 3、牛顿给出了正确的解释 牛顿在前人对惯性研究的基础上，认为以任何方式改变速度（包括改变速度的方向）都需要力。因此，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该就是太阳对它的引力。牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了。 知识点2 行星与太阳间的引力 1、太阳对行星的引力 （1）模型简化 ①行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动。 ②太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力。 （2）太阳对行星的引力 设行星质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力 ，结合开普勒第三定律，可得，即。 2、行星对太阳的引力 根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F '的大小也存在与上述关系类似的结果，即。 3、太阳与行星间的引力 由于、，且F＝F '，则有，写成等式就是，式中G为比例系数。 知识点3 月—地检验 1、牛顿的猜想：使苹果下落的重力与使星体做圆周运动的力是同一种力。 2、理论分析：地球半径为R，地球与月球间距离为r。 （1）假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，满足。 （2）假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，则有。结论：。 （3）天文结果 3、检验结果 地面上的物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力为同种性质的力，遵从相同的规律。 知识点4 万有引力定律 1、万有引力定律 （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 （2）公式：。式中质量的单位用千克（kg），距离的单位用米（m），力的单位用牛（N）。G是比例系数，叫作引力常量。 2、适用条件 （1）万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 （2）质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 （3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 3、万有引力的特点 特点 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，它们总是大小相等、方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的物体之间的万有引力一般比较小，与其他力相比可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性的作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们的质量和距离有关，而与它们所在空间的性质及周围是否存在其他物体无关 知识点5 引力常量 1、引力常量的测量 （1）英国物理学家卡文迪什首先比较准确地测量出了G的值。 （2）国际科技数据委员会2014年的推荐值G=6.67408（31）×10-11N∙m2/kg2，通常取G=6.67×10-11N∙m2/kg2。 2、测量方法 卡文迪什扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效法合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代。 卡文迪什扭秤实验的工作原理是利用大球和小球间产生万有引力，如图所示，万有引力使T形架转动，T形架转动时带动平面镜M发生转动，使在镜面上反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时光点移动的距离，进而计算出偏转角度，利用石英丝N的扭转角度，可以求出大球和小球间的万有引力。利用，即，比较准确的得出G的值。 方法技巧1 重力与万有引力的关系 除南北两极外，由于地球自转，地面上的物体所受的引力被分成两部分（两个分力），一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果。 如图所示，地球的质量为m地，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得。 赤道上 物体m的重力和向心力在一条直线上，F＝Fn＋mg，即，所以 地球两极处 物体m的向心力为零，所以 其他位置 物体的重力是万有引力的一个分力，重力的大小，重力的方向偏离地心。 方法技巧2 黄金代换 由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑（忽略）地球自转的影响时，在地球附近有，化简得。通常叫作黄金代换，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径R和表面的“重力加速度g”代换M。 方法技巧3 空腔和实心球对质点的万有引力的计算 1、空腔对质点的万有引力的计算 计算一些不完整球形物体间的万有引力，常采用“割补法”解题思路是先把均匀球体上挖去的部分补上，然后计算完整球体对质点的万有引力，再计算补上部分产生的万有引力，两者之差即所求球体剩余部分对质点的万有引力。 如图所示，求圆环球壳与质点间的引力，可以转换为两个不同半径的球与质点间的引力之差：F＝F1－F2。 （1）质点位于球壳内部：均匀球壳空腔内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零。 （2）质点位于球壳外部：假设球壳半径为R，质点到球壳表面距离为r，那么，即质点受到的万有引力为将球壳视为一位于球心处的与球壳等质量的质点对壳外质点的万有引力。 2、实心球对质点的万有引力的计算 （1）质点位于实心球体外部：假设球半径为R，质点距离球表面距离为r，那么，即质点受到的万有引力为将球视为一位于球心处的等质量的质点对该质点的万有引力。 （2）质点位于实心球体内部：均匀球壳内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零，则质点所在处以外的球体部分均可视为均匀球壳，该部分对质点的引力为零。质点所在处以内的球体部分可视为一位于球心处的具有该部分球体质量的质点。 题型1 物理学史 1．（23-24高一下·广东广州·期中）在科学的发展中，许多科学家做出了杰出的贡献，下列叙述符合物理学史的是（    ） A．开普勒发现了万有引力定律 B．牛顿通过计算求出了引力常量 C．卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量 D．哈雷提出了月地检验，证明了万有引力定律的正确性 2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）下列说法中正确的是（　　） A．开普勒观测并记录了行星的轨道数据，最后总结出了行星运动三大定律 B．卡文迪什利用扭秤装置和科学放大思想，比较准确地测出了引力常量 C．地球和火星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等 D．牛顿进行了“月-地检验”，他比较的是月球表面上物体的重力加速度和地球表面上物体的重力加速度 3．（23-24高一下·广西河池·月考）在物理学建立、发展的过程中，许多物理学家的科学发现推动了人类历史的进步。关于科学家和他们的贡献，下列说法中正确的是（　　） A．第谷发现了行星运动规律 B．开普勒通过研究行星观测记录得出：“在相等时间内，地球与太阳的连线和火星与太阳的连线扫过的面积相等” C．提出“日心说”的科学家是牛顿 D．牛顿进行了“月一地检验”，从而测出了地球与月球中心的距离 题型2 月—地检验 4．（22-23高一下·湖北·月考）（多选）关于月—地检验，下列说法正确的是（　　） A．月—地检验是牛顿为了验证月球受到的引力与地面物体受到的引力是同种性质的力 B．月—地检验的基本思路是直接对比苹果受到的重力大小和月球受到的地球引力大小 C．由于月—地间距离约为地球半径的60倍，可知月球绕地球运动的向心加速度约为地球表面重力加速度的 D．牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月地检验 5．（23-24高一下·辽宁·期中）牛顿在建立万有引力定律的过程中进行了著名的“月地检验”。已知月地距离约为地球半径60倍，若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”是否遵循同样的规律，需要验证（    ） A．地球吸引苹果的力约为地球吸引月球的力的 B．地球吸引苹果的力约为地球吸引月球的力的 C．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 D．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 题型3 万有引力的计算 6．（24-25高三上·海南·月考）木星的半径约为地球半径的11倍，同一物体在木星表面与在地球表面受到引力的比值约为2.63，则木星的质量与地球质量的比值约为（忽略木星、地球自转的影响）（　　） A．300 B．318 C．400 D．360 7．（23-24高二上·云南·期末）北斗全球卫星导航系统是由中国自主建设、独立运行的卫星导航系统。如图所示，其空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成。其中静止轨道卫星又称为同步卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。若其中某颗静止轨道卫星质量为m，将其绕地球的运动视为匀速圆周运动，将地球视为质量分布均匀的球体。已知地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G．则地球对该静止轨道卫星的万有引力大小约为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东青岛·月考）太阳和月球对地球上某一区域海水引力的周期性变化引起了潮汐现象。已知太阳质量为，太阳与地球的距离为，月球质量为，月球与地球的距离为，地球质量为，地球半径为。对同一区域海水而言，太阳的引力和月球的引力之比约为（　　） A．1.75 B．17.5 C．175 D．1750 9．（多选）如图所示，三颗质量均为的卫星等间隔分布在半径为的圆轨道上，设地球质量为、半径为。已知引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．地球对一颗卫星的引力大小为 B．一颗卫星对地球的引力大小为 C．两颗卫星之间的引力大小为 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为 10．（2024·贵州遵义·一模）（多选）如图所示，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，运行周期为T。鹊桥二号在近月点和远月点时，受到的引力大小分别为F1和F2，加速度大小分别为a1和a2，速度大小分别为v1和v2，从远月点到近月点的时间为t，不考虑其他天体的影响。则（　　） A．v1 > v2 B．a1 > a2 C．F1 < F2 D．t < 0.5T 题型4 万有引力和重力的关系 11．（23-24高一下·广东广州·期中）关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（　　） A．物体在南极受到的万有引力大于重力 B．物体在赤道受到的万有引力大于重力 C．离地越高，物体的重力加速度越大 D．万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力 12．（24-25高三上·江苏南京·期中）如图所示的是一只处在南极极点的帝企鹅。把地球看成一个质量分布均匀的球体，帝企鹅（　　） A．受到的重力的方向一定指向地心 B．受到的重力的方向一定偏离地心 C．对地面的压力就是其受到的重力 D．受到的重力小于地球对它的吸引力 13．（23-24高一下·河北承德·月考）《夸父逐日》最早出自《山海经•海外北经》，反映了古代先民与自然灾害做斗争的事实。若夸父“逐日”的足迹遍及全球，且未离开地面，则对于夸父“逐日”的过程，下列说法正确的是（    ） A．夸父所受的重力垂直地面向下 B．夸父在赤道时所受的重力最大 C．夸父所受的重力和万有引力始终相等 D．夸父在两极时随地球转动所需的向心力最小 14．将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出（　　） A．g0小于g B．地球的质量为 C．地球自转的角速度为ω= D．地球的平均密度为 15．（23-24高一下·浙江·期中）用传感器测量一个质量为m的物体的重力时，在赤道测得的读数为G1，在北极测得的读数为G2。如果认为地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，下列说法正确的是（　　） A．在赤道时物体的向心力大小为 B．在北极时物体的向心力大小为 C．地球自转角速度为 D．地球自转周期为 题型5 万有引力常量的测定 16．（2024高二上·新疆·学业考试）如图所示，是利用扭秤测量万有引力常量的实验装置，该实验用到的科学研究方法是（    ） A．类比法 B．放大法 C．累积法 D．理想实验法 17．（22-23高一下·湖南郴州·期末）牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量G的值。这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来。1789年，英国物理学家 （选填“开普勒”或“卡文迪什”）巧妙地利用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较准确地测出了引力常量G的值。已知T型架水平横梁长度为，两端小球的质量均为，位于同一水平面，当横梁处于平衡状态时，测得，间的连线长度为，引力大小为，且与水平横梁垂直，则引力常量的表达式 。 18．（2024高二·山西·学业考试）卡文迪什利用如图所示的扭称实验装置测量了引力常量： （1）如图所示，横梁一端固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离为L，两球间的万有引力大小为F，则可以表示出引力常量 。 （2）为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是 。 A．增大石英丝的直径 B．增大刻度尺与平面镜的距离 C．利用平面镜对光线的反射 D．减小T形架横梁的长度 题型6 空壳内及地表下的万有引力 19．（23-24高一下·重庆·期中）已知物体在均匀球壳内部任意一点受到的万有引力为零。若地球质量分布均匀，半径为R，当某个物体下降到距离地球表面某一深度时，其所在位置的重力加速度为地球表面处重力加速度的，则该位置距离地球球心的距离为（　　） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·广西南宁·期中）中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，地球的质量为M，半径为R，且质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，当“海斗一号”下潜深度为h时，所处的重力加速度大小g是（    ） A． B． C． D． 21．半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·山东聊城·期中）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为的地方有一质量为m的质点，球体与质点间的万有引力大小为F。现从M中挖去半径为的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力大小为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高三上·河南开封·月考）在利用探测器探测石油的过程中，遇到空腔或者其他物质时，引力会发生变化，引起该区域重力加速度的大小和方向发生微小的变化，以此来探寻石油区域的位置。简化模型如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为（　　） A． B． C． D． 24．（22-23高一下·新疆·期末）如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且，则球体剩余部分对质点P的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 题型7 万有引力与抛体运动结合问题 25．（多选）若航天员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。忽略自转影响，则下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量 C．月球的自转周期 D．小球在空中的飞行时间为 26．（22-23高一下·山东威海·期末）一宇航员在距某星球表面高度h处以一定的速度水平抛出一小球，小球平抛的水平位移为l，已知星球半径为R，引力常量为G。求： （1）该星球的质量； （2）若要使小球不再落回星球表面，小球抛出的最小速度。 27．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，人造卫星能够绕地球做匀速圆周运动是因为地球对卫星的万有引力提供了卫星做圆周运动所需要的向心力。已知地球的质量为 M，卫星的质量为 m，卫星与地球之间的距离为 d，万有引力常量为 G。 （1）求卫星运动的线速度大小； （2）若卫星与地球之间的距离为 2d，求卫星运动的周期。 28．（23-24高一下·四川成都·期末）一宇航员到达某星球表面后，为测定该星球的平均密度，做了如下实验：取一细线，细线一端拴一小球，使它在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，测得细线长度为L，细线与轴线之间的夹角为θ。小球质量为m，圆周运动的周期为T。已知引力常量为G，星球半径为R。 （1）根据测得数据推导该星球表面的重力加速度； （2）求出该星球的平均密度； 基础练 1．（24-25高三上·江苏扬州·月考）关于万有引力定律和开普勒定律的说法中正确的是（   ） A．无论和是否相等，它们之间的万有引力大小都相等 B．在和之间放入第三个物体，则和间的万有引力将增大 C．由开普勒第三定律得，k为中心天体的质量 D．火星与太阳中心连线和地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等 2．（24-25高三上·广西南宁·月考）中国空间站轨道高度约为400千米，地球半径约为6400千米。当航天员出舱在空间站舱外作业时，其所受地球的引力大约是他在地面所受地球引力的（　　） A．0.1倍 B．0.5倍 C．0.09倍 D．0.9倍 3．两个大小相同的实心匀质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径为小铁球2倍的实心匀质大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（　　） A．2F B．4F C．8F D．16F 4．（24-25高三上·广西·开学考试）2024年7月5日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将天绘五号02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。该卫星从发射到进入预定轨道的过程中，所受的地球引力F和距地面高度h的变化关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 5．嫦娥五号探测器曾实施月面“挖土”，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为，半径为。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，引力常量为，忽略月球自转。某次钻取中质量为的钻尖进入月球表面以下深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（　　） A．0 B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江·期中）地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间。当地球对它的引力大小是月球对它的引力大小4倍时，该飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为（    ） A．2∶9 B．9∶2 C．1∶9 D．9∶11 7．（23-24高三上·河南南阳·期末）若地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零，地球表面的重力加速度为g，则地面以下深为0.4R处的重力加速度大小为（　　） A．0.16g B．0.36g C．0.4g D．0.6g 8．（多选）如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图乙所示。下列说法中正确的是（　　） A．卫星运动周期是 B．卫星运动周期是 C．地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍 D．地球与M点间距离是地球与N点间距离的4倍 9．（多选）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果，已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．在北极地面称量时，弹簧测力计示数 B．在赤道地面称量时，弹簧测力计示数 C．在北极地面上空高度为h处称量时，弹簧测力计示数 D．粗略计算时，可以认为地面附近物体受到地球的引力等于重力 10．（22-23高一下·新疆·期中）计算下列小题。 （1）设两名同学的质量均为50kg，估算这两名同学相距100m时他们间的万有引力的大小。 （2）已知地球质量为，地球半径为6371km，估算其中一位同学和地球之间的万有引力的大小。 11．（23-24高一下·山西·期末）月球对地球施加的引力是造成潮汐的主要原因。如图所示，当月球在某个位置时，它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用，导致海水向月球方向隆起，形成高潮。已知地球质量为M，地球半径为R，地球自转周期为T，月球质量为m，月球到地球的距离为r，引力常量为G，取地月连线上靠近月球一侧的地球表面上质量为的小水球作为研究对象，求： （1）小水球绕地心做圆周运动的向心力大小； （2）月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比。 12．如图所示，阴影区域是质量为、半径为的球体挖去一个小圆球后的剩余部分。所挖去的小圆球的球心和大球体球心的距离是。求球体的剩余部分对球体外离球心距离为、质量为的质点的引力在两球心连线的延长线上）。 提升练 13．（24-25高二上·重庆北碚·月考）如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。仅考虑太阳对地球的引力，关于地球绕太阳公转过程，下列说法正确的是（　　） A．在夏至位置地球所受万有引力最大 B．在立春位置，根据万有引力定律可得 C．地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 D．经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03 14．（24-25高三上·江西赣州·期中）利用重力加速度反常可探测地下的物质分布情况。在地下某处（远小于地球半径）的球形区域内有一重金属矿，如图甲所示，探测人员从地面O点出发，沿地面相互垂直的x、y轴两个方向测量不同位置的重力加速度值，得到重力加速度值随位置变化分别如图乙、丙所示。由此可初步判断（　　） A．重金属矿的位置坐标约为，且图像中 B．重金属矿的位置坐标约为，且图像中 C．重金属矿的位置坐标约为，且图像中 D．重金属矿的位置坐标约为，且图像中 15．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）如图所示一半径为R、质量均匀分布的球体，从中挖去直径为R的球体，虚线过两球的球心，一质点分别位于图中的1、2、3点时，受到的万有引力分别为、、，则有（　　） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·广东佛山·期末）苏轼的诗句“定知玉兔十分圆，已作霜风九月寒，寄语重门休上钥，夜潮留向月中看”形象地描述了八月十五日看潮的情景。如图所示，太阳、月亮和地球处于一条直线上，会在海面上引起“大潮”，已知太阳质量是月球质量的2700万倍，日地距离是月地距离的390倍，以下说法正确的是（　　） A．海水在A处受到太阳的引力比受到月球的引力小 B．海水在B处受到太阳的引力比受到月球的引力小 C．同一质量的海水在A处受到月球的引力比在B处小 D．同一质量的海水在A点受到太阳和月球引力的合力比B处小 17．（23-24高一下·安徽黄山·期末）如图所示，均匀球球心为O、半径为R、质量为M，现被挖去一个球形空腔，此空腔与原球面内切于A点，AO为球形空腔的一条直径，球形空腔的球心为，为与AO垂直的半径，D与共线且在球体表面，现将一质量为m的小球（可视为质点）放在球体的球面上，引力常量为G，关于该球剩余部分对小球的万有引力判断正确的是（    ） A．小球在D处所受万有引力大于在A处所受万有引力 B．若小球放在A处，万有引力大小为 C．小球放在A处所受万有引力最大 D．小球在D处所受万有引力方向与夹角为 18．（23-24高一下·河南洛阳·期末）有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m0的质点。现从m中挖去半径为 的球体，然后在空心处填满密度为原球密度一半的物质，如图所示，则新组成的球体对m0的万有引力F为（　　） A． B． C． D． 19．（22-23高三下·浙江·期中）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（　　） A．B与A的绕行周期之比为:1 B．rB的最大值与rB的最小值之比为2:1 C．rA的最大值与rA的最小值之比为3:1 D．rB的最小值小于rA的最大值 20．（24-25高三上·安徽·月考）如图，在一半径为R，质量分布均匀的大球内部挖去一个半径为的小球（两球相切于P点），，分别为大球、小球的球心。另外有一个可视为质点、质量为m的物体N。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球的密度为，引力常量为G。 （1）若将物体N置于处，求大球剩余部分对物体N的万有引力大小； （2）若仅考虑大球剩余部分对物体N的万有引力的作用，将物体N从P处由静止释放，求物体N到达处的时间。 21．（22-23高一下·江西抚州·月考）通过学习我们了解到地球南北极的重力加速度大于地球上其他地方，这是因为地球自转带来的影响，如果忽略了星体自转带来的影响，星体表面的重力等于其对表面物体的引力大小，若已知火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50kg的宇航员（地球表面的重力加速度g取10m/s2） （1）在火星表面上受到的重力是多少？ （2）若宇航员在地球表面能跳高，那他在火星表面能跳多高？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 万有引力定律 01导图速览 02必备知识 ►知识点1 物理学史：行星运动的原因 ►知识点2 行星与太阳间的引力 ►知识点3 月—地检验 ►知识点4 万有引力定律 ►知识点5 引力常量 03方法技巧 ►方法技巧1 重力与万有引力的关系 ►方法技巧2 黄金代换 ►方法技巧3 空腔和实心球对质点的万有引力的计算 04经典题型 题型1 物理学史 题型2 月—地检验 题型3 万有引力的计算 题型4 万有引力和重力的关系 题型5 万有引力常量的测定 题型6 空壳内及地表下的万有引力 题型7 万有引力与抛体运动结合问题 05分层训练 基础练 提升练 知识点1 物理学史：行星运动的原因 1、科学家对行星运动原因的各种猜想 （1）伽利略：行星的运动与地面物体的运动遵循不同的规律，行星的运动是依靠“惯性”自行维持的。 （2）开普勒：行星的运动是受到了来自太阳的类似于磁力的作用，行星和太阳之间的这种磁力作用与行星和太阳之间的距离成反比。 （3）笛卡儿：创立了漩涡说，他认为太阳的周围有巨大的漩涡，带动着行星不断运转。 2、胡克、哈雷等人对行星运动原因的猜想 胡克等人认为，行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受引力的大小跟行星到太阳距离的二次方成反比。但是由于关于运动和力的清晰概念是由牛顿建立的，当时没有这些概念，因此他们无法深入研究。 3、牛顿给出了正确的解释 牛顿在前人对惯性研究的基础上，认为以任何方式改变速度（包括改变速度的方向）都需要力。因此，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该就是太阳对它的引力。牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了。 知识点2 行星与太阳间的引力 1、太阳对行星的引力 （1）模型简化 ①行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动。 ②太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力。 （2）太阳对行星的引力 设行星质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力 ，结合开普勒第三定律，可得，即。 2、行星对太阳的引力 根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F '的大小也存在与上述关系类似的结果，即。 3、太阳与行星间的引力 由于、，且F＝F '，则有，写成等式就是，式中G为比例系数。 知识点3 月—地检验 1、牛顿的猜想：使苹果下落的重力与使星体做圆周运动的力是同一种力。 2、理论分析：地球半径为R，地球与月球间距离为r。 （1）假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，满足。 （2）假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，则有。结论：。 （3）天文结果 3、检验结果 地面上的物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力为同种性质的力，遵从相同的规律。 知识点4 万有引力定律 1、万有引力定律 （1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 （2）公式：。式中质量的单位用千克（kg），距离的单位用米（m），力的单位用牛（N）。G是比例系数，叫作引力常量。 2、适用条件 （1）万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 （2）质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 （3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 3、万有引力的特点 特点 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，它们总是大小相等、方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的物体之间的万有引力一般比较小，与其他力相比可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性的作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们的质量和距离有关，而与它们所在空间的性质及周围是否存在其他物体无关 知识点5 引力常量 1、引力常量的测量 （1）英国物理学家卡文迪什首先比较准确地测量出了G的值。 （2）国际科技数据委员会2014年的推荐值G=6.67408（31）×10-11N∙m2/kg2，通常取G=6.67×10-11N∙m2/kg2。 2、测量方法 卡文迪什扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效法合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代。 卡文迪什扭秤实验的工作原理是利用大球和小球间产生万有引力，如图所示，万有引力使T形架转动，T形架转动时带动平面镜M发生转动，使在镜面上反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时光点移动的距离，进而计算出偏转角度，利用石英丝N的扭转角度，可以求出大球和小球间的万有引力。利用，即，比较准确的得出G的值。 方法技巧1 重力与万有引力的关系 除南北两极外，由于地球自转，地面上的物体所受的引力被分成两部分（两个分力），一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果。 如图所示，地球的质量为m地，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得。 赤道上 物体m的重力和向心力在一条直线上，F＝Fn＋mg，即，所以 地球两极处 物体m的向心力为零，所以 其他位置 物体的重力是万有引力的一个分力，重力的大小，重力的方向偏离地心。 方法技巧2 黄金代换 由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑（忽略）地球自转的影响时，在地球附近有，化简得。通常叫作黄金代换，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径R和表面的“重力加速度g”代换M。 方法技巧3 空腔和实心球对质点的万有引力的计算 1、空腔对质点的万有引力的计算 计算一些不完整球形物体间的万有引力，常采用“割补法”解题思路是先把均匀球体上挖去的部分补上，然后计算完整球体对质点的万有引力，再计算补上部分产生的万有引力，两者之差即所求球体剩余部分对质点的万有引力。 如图所示，求圆环球壳与质点间的引力，可以转换为两个不同半径的球与质点间的引力之差：F＝F1－F2。 （1）质点位于球壳内部：均匀球壳空腔内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零。 （2）质点位于球壳外部：假设球壳半径为R，质点到球壳表面距离为r，那么，即质点受到的万有引力为将球壳视为一位于球心处的与球壳等质量的质点对壳外质点的万有引力。 2、实心球对质点的万有引力的计算 （1）质点位于实心球体外部：假设球半径为R，质点距离球表面距离为r，那么，即质点受到的万有引力为将球视为一位于球心处的等质量的质点对该质点的万有引力。 （2）质点位于实心球体内部：均匀球壳内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零，则质点所在处以外的球体部分均可视为均匀球壳，该部分对质点的引力为零。质点所在处以内的球体部分可视为一位于球心处的具有该部分球体质量的质点。 题型1 物理学史 1．（23-24高一下·广东广州·期中）在科学的发展中，许多科学家做出了杰出的贡献，下列叙述符合物理学史的是（    ） A．开普勒发现了万有引力定律 B．牛顿通过计算求出了引力常量 C．卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量 D．哈雷提出了月地检验，证明了万有引力定律的正确性 【答案】C 【解析】A．牛顿发现了万有引力定律，故A错误； BC．卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量，故B错误，C正确； D．牛顿提出了月地检验，得出天上和地面引力遵循相同规律，证明了万有引力定律的正确性，故D错误。 故选C。 2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）下列说法中正确的是（　　） A．开普勒观测并记录了行星的轨道数据，最后总结出了行星运动三大定律 B．卡文迪什利用扭秤装置和科学放大思想，比较准确地测出了引力常量 C．地球和火星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等 D．牛顿进行了“月-地检验”，他比较的是月球表面上物体的重力加速度和地球表面上物体的重力加速度 【答案】B 【解析】A．第谷观测并记录了行星的轨道数据，开普勒总结出了行星运动三大定律，故A错误； B．卡文迪什利用扭秤装置和科学放大思想，比较准确地测出了引力常量，故B正确； C．根据开普勒第二定律：对同一行星，行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故地球和火星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故C错误； D．牛顿进行了“月-地检验”，他比较的是月球绕地球公转的向心加速度和地球表面上物体的重力加速度，故D错误。 故选B。 3．（23-24高一下·广西河池·月考）在物理学建立、发展的过程中，许多物理学家的科学发现推动了人类历史的进步。关于科学家和他们的贡献，下列说法中正确的是（　　） A．第谷发现了行星运动规律 B．开普勒通过研究行星观测记录得出：“在相等时间内，地球与太阳的连线和火星与太阳的连线扫过的面积相等” C．提出“日心说”的科学家是牛顿 D．牛顿进行了“月一地检验”，从而测出了地球与月球中心的距离 【答案】B 【解析】A．开普勒发现了行星运动规律，故A错误； B．开普勒通过研究行星观测记录得出：“在相等时间内，地球与太阳的连线和火星与太阳的连线扫过的面积相等”，故B正确； C．提出“日心说”的科学家是哥白尼，故C错误； D．牛顿进行了“月一地检验”，证明了万有引力定律的正确性，并没有测出了地球与月球中心的距离，故D错误。 故选B。 题型2 月—地检验 4．（22-23高一下·湖北·月考）（多选）关于月—地检验，下列说法正确的是（　　） A．月—地检验是牛顿为了验证月球受到的引力与地面物体受到的引力是同种性质的力 B．月—地检验的基本思路是直接对比苹果受到的重力大小和月球受到的地球引力大小 C．由于月—地间距离约为地球半径的60倍，可知月球绕地球运动的向心加速度约为地球表面重力加速度的 D．牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月地检验 【答案】AC 【解析】A．牛顿做月地检验的目的在于对开普勒三定律进行研究后得出的星体间的引力方程，对比地球上物体受到重力，从而验证这两个力是同种性质的力，故A正确； B．由于苹果和月球质量差距非常大，直接比较引力大小并无意义，故B错误； C．进行月—地检验时，根据 得到月球绕地球运动的向心加速度约为地球表面重力加速度的，故C正确； D．由于牛顿并没有测量出万有引力常量的值，因此他并没有计算出月球表面的重力加速度，故D错误。 故选AC。 5．（23-24高一下·辽宁·期中）牛顿在建立万有引力定律的过程中进行了著名的“月地检验”。已知月地距离约为地球半径60倍，若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”是否遵循同样的规律，需要验证（    ） A．地球吸引苹果的力约为地球吸引月球的力的 B．地球吸引苹果的力约为地球吸引月球的力的 C．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 D．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 【答案】D 【解析】根据万有引力定律和牛顿第二定律可得 可得 已知月地距离约为地球半径60倍，所以想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”是否遵循同样的规律，需要验证月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的。 故选D。 题型3 万有引力的计算 6．（24-25高三上·海南·月考）木星的半径约为地球半径的11倍，同一物体在木星表面与在地球表面受到引力的比值约为2.63，则木星的质量与地球质量的比值约为（忽略木星、地球自转的影响）（　　） A．300 B．318 C．400 D．360 【答案】B 【解析】设物体的质量为m，地球质量为M，半径为R，木星的质量为，则木星的半径为11R，由万有引力公式可知：物体在木星表面受到的引力 物体在地球表面受到的引力 因为 所以 故选B。 7．（23-24高二上·云南·期末）北斗全球卫星导航系统是由中国自主建设、独立运行的卫星导航系统。如图所示，其空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成。其中静止轨道卫星又称为同步卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。若其中某颗静止轨道卫星质量为m，将其绕地球的运动视为匀速圆周运动，将地球视为质量分布均匀的球体。已知地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G．则地球对该静止轨道卫星的万有引力大小约为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据万有引力公式 故选A。 8．（24-25高三上·山东青岛·月考）太阳和月球对地球上某一区域海水引力的周期性变化引起了潮汐现象。已知太阳质量为，太阳与地球的距离为，月球质量为，月球与地球的距离为，地球质量为，地球半径为。对同一区域海水而言，太阳的引力和月球的引力之比约为（　　） A．1.75 B．17.5 C．175 D．1750 【答案】C 【解析】根据万有引力公式，设海水的质量为m，太阳的质量为，太阳与地球的距离为，月球的质量为，月球与地球的距离为，太阳对海水的引力 月球对海水的引力 代入数据可得 故选C。 9．（多选）如图所示，三颗质量均为的卫星等间隔分布在半径为的圆轨道上，设地球质量为、半径为。已知引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．地球对一颗卫星的引力大小为 B．一颗卫星对地球的引力大小为 C．两颗卫星之间的引力大小为 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为 【答案】BC 【解析】AB．根据万有引力定律，地球与一颗卫星之间的引力大小，由于一颗卫星对地球的引力与地球对一颗卫星的引力是一对相互作用力，其大小相等，故B正确，A错误； C．三颗卫星等间隔分布，由几何关系知，两颗卫星间的距离 则两颗卫星间的万有引力大小 故C项正确； D．卫星对地球的引力均沿卫星与地球球心间的连线向外，由于三颗卫星质量相等，各自对地球的引力大小相等，且三颗卫星等间隔分布，由几何关系知，相邻两个力的夹角为，故三颗卫星对地球引力的合力大小为零，故D错误。 故选BC。 10．（2024·贵州遵义·一模）（多选）如图所示，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，运行周期为T。鹊桥二号在近月点和远月点时，受到的引力大小分别为F1和F2，加速度大小分别为a1和a2，速度大小分别为v1和v2，从远月点到近月点的时间为t，不考虑其他天体的影响。则（　　） A．v1 > v2 B．a1 > a2 C．F1 < F2 D．t < 0.5T 【答案】AB 【解析】A．根据开普勒第二定律，鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，中继星与月球连线相同时间内扫过的面积相等，可知近月点速度大，远月点速度小，v1 > v2，故A正确； B．鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，所受合力为万有引力，设月球质量为M，中继星的质量为m，中继星到月球球心距离为r，根据万有引力公式 在近月点受到的万有引力大于远月点受到的万有引力，根据牛顿第二定律 得 在近月点的加速度大于远月点的加速度，即a1 > a2，故B正确； C．设月球质量为M，中继星的质量为m，中继星到月球球心距离为r，根据万有引力公式 中继星在近月点受到的万有引力大于远月点受到的万有引力，F1 > F2，故C错误； D．鹊桥二号中继星在椭圆轨道上绕月球运行，轨道关于长轴对称，从远月点到近月点的时间与从近月点到远月点的时间相等，t = 0.5T，故D错误。 故选AB。 题型4 万有引力和重力的关系 11．（23-24高一下·广东广州·期中）关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（　　） A．物体在南极受到的万有引力大于重力 B．物体在赤道受到的万有引力大于重力 C．离地越高，物体的重力加速度越大 D．万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力 【答案】B 【解析】ABD．万有引力的一个分力表现为重力，另一分力提供物体转动的向心力，在赤道处地球自转线速度最大，所需向心力最大，故此地重力最小，所以物体在赤道受到的万有引力大于重力，在地球两极万有引力等于重力，故AD错误，B正确； C．离地越高，物体的重力加速度越小，故C错误。 故选B。 12．（24-25高三上·江苏南京·期中）如图所示的是一只处在南极极点的帝企鹅。把地球看成一个质量分布均匀的球体，帝企鹅（　　） A．受到的重力的方向一定指向地心 B．受到的重力的方向一定偏离地心 C．对地面的压力就是其受到的重力 D．受到的重力小于地球对它的吸引力 【答案】A 【解析】AB．重力的方向竖直向下，由于把地球看成一个均匀的球体，则帝企鹅受到的重力的方向一定指向地心。故A正确；B错误； C．帝企鹅对地面的压力的受力物体是地球，帝企鹅的重力的受力物体是企鹅，压力与重力作用在不同物体上，因此，不能够认为帝企鹅对地面的压力就是其受到的重力。故C错误； D．由于帝企鹅处在南极极点，帝企鹅相对于地心处于静止状态，并没有随地球自转，则帝企鹅受到的重力等于地球对它的吸引力。故D错误。 故选A。 13．（23-24高一下·河北承德·月考）《夸父逐日》最早出自《山海经•海外北经》，反映了古代先民与自然灾害做斗争的事实。若夸父“逐日”的足迹遍及全球，且未离开地面，则对于夸父“逐日”的过程，下列说法正确的是（    ） A．夸父所受的重力垂直地面向下 B．夸父在赤道时所受的重力最大 C．夸父所受的重力和万有引力始终相等 D．夸父在两极时随地球转动所需的向心力最小 【答案】D 【解析】A．夸父所受的重力竖直向下，不一定垂直地面向下，故A错误； BCD．夸父所受地球的万有引力，按其作用效果分为重力和向心力，向心力使夸父随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对夸父万有引力的一个分力；当夸父在赤道时，随地球转动所需的向心力最大，所受的重力最小；当夸父在两极时，随地球转动所需的向心力最小，所受的重力最大；故BC错误，D正确。 故选D。 14．将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出（　　） A．g0小于g B．地球的质量为 C．地球自转的角速度为ω= D．地球的平均密度为 【答案】C 【解析】A．设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有 物体在极地的重力等于万有引力，即 综合以上可知 故A错误； B．在极地 解得 故B错误； C．以上分析有 联立得 ω＝ 故C正确； D．由密度 结合B选项分析得 故D错误。 故选C 。 15．（23-24高一下·浙江·期中）用传感器测量一个质量为m的物体的重力时，在赤道测得的读数为G1，在北极测得的读数为G2。如果认为地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，下列说法正确的是（　　） A．在赤道时物体的向心力大小为 B．在北极时物体的向心力大小为 C．地球自转角速度为 D．地球自转周期为 【答案】C 【解析】AB．在赤道时，有 在两极，有 所以在赤道时物体的向心力大小为 在两极时物体的向心力大小为0，故AB错误； CD．根据以上分析可知 所以 ， 故C正确，D错误。 故选C。 题型5 万有引力常量的测定 16．（2024高二上·新疆·学业考试）如图所示，是利用扭秤测量万有引力常量的实验装置，该实验用到的科学研究方法是（    ） A．类比法 B．放大法 C．累积法 D．理想实验法 【答案】B 【解析】利用扭秤测量万有引力常量的实验装置，该实验用到的科学研究方法是放大法。 故选B。 17．（22-23高一下·湖南郴州·期末）牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量G的值。这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来。1789年，英国物理学家 （选填“开普勒”或“卡文迪什”）巧妙地利用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较准确地测出了引力常量G的值。已知T型架水平横梁长度为，两端小球的质量均为，位于同一水平面，当横梁处于平衡状态时，测得，间的连线长度为，引力大小为，且与水平横梁垂直，则引力常量的表达式 。 【答案】卡文迪什 【解析】[1]1789年，英国物理学家卡文迪什巧妙地利用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较准确地测出了引力常量G的值。 [2]根据万有引力表达式可得 解得引力常量的表达式 18．（2024高二·山西·学业考试）卡文迪什利用如图所示的扭称实验装置测量了引力常量： （1）如图所示，横梁一端固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离为L，两球间的万有引力大小为F，则可以表示出引力常量 。 （2）为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是 。 A．增大石英丝的直径 B．增大刻度尺与平面镜的距离 C．利用平面镜对光线的反射 D．减小T形架横梁的长度 【答案】 BC/ CB 【解析】（1）[1] 根据万有引力公式可得 得引力常量 （2）[2] A．当增大石英丝的直径时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故A错误； BC．为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采用使“微小量放大”。利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的，或当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故BC正确； D．当减小T型架横梁的长度时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故D错误； 故选BC。 题型6 空壳内及地表下的万有引力 19．（23-24高一下·重庆·期中）已知物体在均匀球壳内部任意一点受到的万有引力为零。若地球质量分布均匀，半径为R，当某个物体下降到距离地球表面某一深度时，其所在位置的重力加速度为地球表面处重力加速度的，则该位置距离地球球心的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据万有引力定律，距离地表某一深度h时，有 联立可得 距离地表 则该位置距离地心距离为： 故选A。 20．（23-24高一下·广西南宁·期中）中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，地球的质量为M，半径为R，且质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，当“海斗一号”下潜深度为h时，所处的重力加速度大小g是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设地球密度为，则有 当“海斗一号”下潜深度为h时，有 其中 联立解得 故选B。 21．半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设小球对另一个大球的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球的万有引力大小为，小球对小球的万有引力大小为，小球对另一个大球剩余部分的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球剩余部分的万有引力大小为。由题可知，挖掉小球的质量 所以 故选D。 22．（23-24高一下·山东聊城·期中）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为的地方有一质量为m的质点，球体与质点间的万有引力大小为F。现从M中挖去半径为的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】质量为M的球体对质点m的万有引力 挖去的球体的质量 质量为的球体对质点m的万有引力 则剩余部分对质点m的万有引力 故选D。 23．（23-24高三上·河南开封·月考）在利用探测器探测石油的过程中，遇到空腔或者其他物质时，引力会发生变化，引起该区域重力加速度的大小和方向发生微小的变化，以此来探寻石油区域的位置。简化模型如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设质点与原球体球心相距l，万有引力为F，则 在球体中央挖去半径为r的一部分球体后，质点与原球体剩余部分之间的万有引力 故选C。 24．（22-23高一下·新疆·期末）如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且，则球体剩余部分对质点P的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设球体质量为，挖去的中央球体的质量为，球体的密度为，质点P的质量为，质点P距球心的距离为，则根据题意可得 ， 可知 两个球体对质点的万有引力分别为 ， 可知，当将中央球体挖去后剩余部分对质点P的万有引力大小为 故选D。 题型7 万有引力与抛体运动结合问题 25．（多选）若航天员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。忽略自转影响，则下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量 C．月球的自转周期 D．小球在空中的飞行时间为 【答案】ABD 【解析】AD．根据平抛运动规律得 联立解得 ， 故AD正确； B．对于月球表面质量为m的物体有 解得 故B正确； C．v0是小球做平抛运动的初速度，而非月球自转的线速度，所以题中的公式不能计算出月球的自转周期，故C错误。 故选ABD。 26．（22-23高一下·山东威海·期末）一宇航员在距某星球表面高度h处以一定的速度水平抛出一小球，小球平抛的水平位移为l，已知星球半径为R，引力常量为G。求： （1）该星球的质量； （2）若要使小球不再落回星球表面，小球抛出的最小速度。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）小球作平抛运动，有 又 解得 （2）由万有引力提供向心力可得 解得 27．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，人造卫星能够绕地球做匀速圆周运动是因为地球对卫星的万有引力提供了卫星做圆周运动所需要的向心力。已知地球的质量为 M，卫星的质量为 m，卫星与地球之间的距离为 d，万有引力常量为 G。 （1）求卫星运动的线速度大小； （2）若卫星与地球之间的距离为 2d，求卫星运动的周期。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据万有引力充当向心力 解得 （2）根据万有引力充当向心力 解得 28．（23-24高一下·四川成都·期末）一宇航员到达某星球表面后，为测定该星球的平均密度，做了如下实验：取一细线，细线一端拴一小球，使它在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，测得细线长度为L，细线与轴线之间的夹角为θ。小球质量为m，圆周运动的周期为T。已知引力常量为G，星球半径为R。 （1）根据测得数据推导该星球表面的重力加速度； （2）求出该星球的平均密度； 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）小球在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得 可得该星球表面的重力加速度为 （2）在星球表面，由万有引力等于重力可得 联立解得该星球的平均密度为 基础练 1．（24-25高三上·江苏扬州·月考）关于万有引力定律和开普勒定律的说法中正确的是（   ） A．无论和是否相等，它们之间的万有引力大小都相等 B．在和之间放入第三个物体，则和间的万有引力将增大 C．由开普勒第三定律得，k为中心天体的质量 D．火星与太阳中心连线和地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等 【答案】A 【解析】A．根据牛顿第三定律可知，无论和是否相等，它们之间的万有引力大小都相等，故A正确； B．根据万有引力表达式 可知在和之间放入第三个物体，则和间的万有引力不变，故B错误； C．由开普勒第三定律得，k为与中心天体质量有关的值，但不是中心天体的质量，故C错误； D．根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，但火星与太阳中心连线和地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。 故选A。 2．（24-25高三上·广西南宁·月考）中国空间站轨道高度约为400千米，地球半径约为6400千米。当航天员出舱在空间站舱外作业时，其所受地球的引力大约是他在地面所受地球引力的（　　） A．0.1倍 B．0.5倍 C．0.09倍 D．0.9倍 【答案】D 【解析】设地球半径为R，空间站的轨道高度为h，航天员的质量为m，地球质量为M，在地球表面时 在空间站时 代入数据可得 故选D。 3．两个大小相同的实心匀质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径为小铁球2倍的实心匀质大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（　　） A．2F B．4F C．8F D．16F 【答案】D 【解析】设小铁球的半径为R，则两小球间的万有引力为 同理，两大铁球之间的万有引力 故选D。 4．（24-25高三上·广西·开学考试）2024年7月5日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将天绘五号02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。该卫星从发射到进入预定轨道的过程中，所受的地球引力F和距地面高度h的变化关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设地球质量为，地球半径为，卫星质量为，根据万有引力表达式可得 可知随着高度增大，引力减小，且与不是线性关系。 故选A。 5．嫦娥五号探测器曾实施月面“挖土”，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为，半径为。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，引力常量为，忽略月球自转。某次钻取中质量为的钻尖进入月球表面以下深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】设月球密度为，则月球质量 半径为的球体质量为 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力是零，则质量为的钻尖进入月球表面以下深处受到的万有引力 故选D。 6．（23-24高一下·浙江·期中）地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间。当地球对它的引力大小是月球对它的引力大小4倍时，该飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为（    ） A．2∶9 B．9∶2 C．1∶9 D．9∶11 【答案】B 【解析】设飞行器距地心的距离与距月心的距离分别为和，根据题意有 可得该飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为 故选B。 7．（23-24高三上·河南南阳·期末）若地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零，地球表面的重力加速度为g，则地面以下深为0.4R处的重力加速度大小为（　　） A．0.16g B．0.36g C．0.4g D．0.6g 【答案】D 【解析】设地球的密度为ρ，则在地球表面有 地面以下深0.4R处的重力加速度相当于半径为0.4R的球体表面的重力加速度，即 联立可得 故选D。 8．（多选）如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图乙所示。下列说法中正确的是（　　） A．卫星运动周期是 B．卫星运动周期是 C．地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍 D．地球与M点间距离是地球与N点间距离的4倍 【答案】AC 【解析】AB．从图乙可知，卫星从近地点到远地点再回到近地点，万有引力完成一个周期性变化，这个过程所用时间为，而卫星运动的周期是完成一次完整的椭圆轨道运动的时间，所以卫星运动周期为，故A正确，B错误； CD．根据万有引力定律 设地球与近地点间的距离为，与远地点再间的距离为 则在点 在点 将两式相比可得 即 所以地球与点间距离是地球与点间距离的倍，故C正确，D错误。 故选 AC。 9．（多选）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果，已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．在北极地面称量时，弹簧测力计示数 B．在赤道地面称量时，弹簧测力计示数 C．在北极地面上空高度为h处称量时，弹簧测力计示数 D．粗略计算时，可以认为地面附近物体受到地球的引力等于重力 【答案】ACD 【解析】A．南北极地面上物体受到的万有引力等于重力，则有 故A正确； B．在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上随地球一起自转所需要的向心力，则 故B错误； C．在北极地面上空高度为h处称量时，万有引力等于重力，有 故C正确； D．粗略计算时（或忽略地球自转的情况下），可以认为地面附近物体受到地球的引力等于重力，故D正确。 故选ACD。 10．（22-23高一下·新疆·期中）计算下列小题。 （1）设两名同学的质量均为50kg，估算这两名同学相距100m时他们间的万有引力的大小。 （2）已知地球质量为，地球半径为6371km，估算其中一位同学和地球之间的万有引力的大小。 【答案】（1） （2）490.11N 【解析】（1）由万有引力公式得 （2）由万有引力公式得 11．（23-24高一下·山西·期末）月球对地球施加的引力是造成潮汐的主要原因。如图所示，当月球在某个位置时，它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用，导致海水向月球方向隆起，形成高潮。已知地球质量为M，地球半径为R，地球自转周期为T，月球质量为m，月球到地球的距离为r，引力常量为G，取地月连线上靠近月球一侧的地球表面上质量为的小水球作为研究对象，求： （1）小水球绕地心做圆周运动的向心力大小； （2）月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）地球表面上质量为的小水球，随地球自转，半径为，周期为，则向心力为 （2）月球对水球引力为 地球对水球引力 联立可得 12．如图所示，阴影区域是质量为、半径为的球体挖去一个小圆球后的剩余部分。所挖去的小圆球的球心和大球体球心的距离是。求球体的剩余部分对球体外离球心距离为、质量为的质点的引力在两球心连线的延长线上）。 【答案】 【解析】将挖去的部分补上，则完整的大球对球外质点的引力 半径为的小球的质量 补上的小球对质点的引力 因而挖去小球后剩余部分对质点的引力 提升练 13．（24-25高二上·重庆北碚·月考）如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。仅考虑太阳对地球的引力，关于地球绕太阳公转过程，下列说法正确的是（　　） A．在夏至位置地球所受万有引力最大 B．在立春位置，根据万有引力定律可得 C．地球自转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 D．经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03 【答案】D 【解析】A．根据万有引力表达式，由图可知，在夏至位置地球离太阳最远，所受万有引力最小，故A错误； B．由于地球绕太阳做椭圆运动，不是匀速圆周运动，所以在立春位置 故B错误； C．根据开普勒第三定律可知，地球公转周期的平方与轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数，故C错误； D．根据开普勒第二定律可知，经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比为 故D正确。 故选D。 14．（24-25高三上·江西赣州·期中）利用重力加速度反常可探测地下的物质分布情况。在地下某处（远小于地球半径）的球形区域内有一重金属矿，如图甲所示，探测人员从地面O点出发，沿地面相互垂直的x、y轴两个方向测量不同位置的重力加速度值，得到重力加速度值随位置变化分别如图乙、丙所示。由此可初步判断（　　） A．重金属矿的位置坐标约为，且图像中 B．重金属矿的位置坐标约为，且图像中 C．重金属矿的位置坐标约为，且图像中 D．重金属矿的位置坐标约为，且图像中 【答案】C 【解析】由图像可知，重力加速度最大的位置处于、的位置，由于在处重金属矿产生的引力和地球产生的引力直接相加，而在处是金属矿产生的引力分量和地球产生的引力相加，因此，在处重力加速度比处大，且无穷远处的加速度均为g，所以 故选C。 15．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）如图所示一半径为R、质量均匀分布的球体，从中挖去直径为R的球体，虚线过两球的球心，一质点分别位于图中的1、2、3点时，受到的万有引力分别为、、，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设球体的密度为，则没有挖去小球体前的质量为 被挖去的小球体质量为 根据万有引力定律可得 采用填补法，可知剩余部分在位置“2”的万有引力大小等于挖掉的部分在位置“2”的万有引力大小，即 则有 故选D。 16．（23-24高一下·广东佛山·期末）苏轼的诗句“定知玉兔十分圆，已作霜风九月寒，寄语重门休上钥，夜潮留向月中看”形象地描述了八月十五日看潮的情景。如图所示，太阳、月亮和地球处于一条直线上，会在海面上引起“大潮”，已知太阳质量是月球质量的2700万倍，日地距离是月地距离的390倍，以下说法正确的是（　　） A．海水在A处受到太阳的引力比受到月球的引力小 B．海水在B处受到太阳的引力比受到月球的引力小 C．同一质量的海水在A处受到月球的引力比在B处小 D．同一质量的海水在A点受到太阳和月球引力的合力比B处小 【答案】D 【解析】A．海水在A处时，设海水的质量为m，到月球的距离为r，月球的质量为M，地球半径为R，则万有引力为 所以 故A错误； B．海水在B处时，万有引力为 所以 故B错误； C．根据 可知，海水在A点比B点距离月球距离小，则万有引力大，故C错误； D．海水在A处比在B处所受的太阳的引力近似不变，受到的月球的引力大，所以太阳和月球引力的合力较小，即同一质量的海水在A点受到太阳和月球引力的合力比B处小，故D正确。 故选D。 17．（23-24高一下·安徽黄山·期末）如图所示，均匀球球心为O、半径为R、质量为M，现被挖去一个球形空腔，此空腔与原球面内切于A点，AO为球形空腔的一条直径，球形空腔的球心为，为与AO垂直的半径，D与共线且在球体表面，现将一质量为m的小球（可视为质点）放在球体的球面上，引力常量为G，关于该球剩余部分对小球的万有引力判断正确的是（    ） A．小球在D处所受万有引力大于在A处所受万有引力 B．若小球放在A处，万有引力大小为 C．小球放在A处所受万有引力最大 D．小球在D处所受万有引力方向与夹角为 【答案】A 【解析】AC．根据万有引力定律公式有 未挖去球形空腔时，整个球体对A、D两点的小球万有引力相等，挖去空腔的球形质量对A点的引力较大，根据隔补的思想可知，小球在D处所受万有引力大于在A处所受万有引力，故A正确，C错误； B．根据万有引力定律有 由于密度相等，则 解得小球放在A处，万有引力大小为 故B错误； D．根据半径关系可知，未挖去球形空腔时，小球在D处所受万有引力方向与夹角为，挖去空腔后，夹角大于30°，故D错误； 故选A。 18．（23-24高一下·河南洛阳·期末）有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m0的质点。现从m中挖去半径为 的球体，然后在空心处填满密度为原球密度一半的物质，如图所示，则新组成的球体对m0的万有引力F为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】质量为m、半径为R、密度均匀的球体在未被挖去半径为 的球体之前与m0间的万有引力大小为 由质量与半径公式得 挖去半径为的球体的质量为 所以挖去半径为的球体与m0间的万有引力大小为 同理可得，在空心处填满密度为原球密度一半的物质的质量为 故该物质与m0间的万有引力大小为 联立可得新组成的球体对m0的万有引力为 故选C。 19．（22-23高三下·浙江·期中）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（　　） A．B与A的绕行周期之比为:1 B．rB的最大值与rB的最小值之比为2:1 C．rA的最大值与rA的最小值之比为3:1 D．rB的最小值小于rA的最大值 【答案】D 【解析】A．由图可知，A、B的周期为 所以B与A的绕行周期之比为 故A错误； B．由图可知，当rB最小时，有 当rB最大时，有 所以rB的最大值与rB的最小值之比为 故B错误； C．同理，当rA最小时，有 当rA最大时，有 所以rA的最大值与rA的最小值之比为 故C错误； D．根据开普勒第三定律，有 解得 所以rB的最小值小于rA的最大值，故D正确。 故选D。 20．（24-25高三上·安徽·月考）如图，在一半径为R，质量分布均匀的大球内部挖去一个半径为的小球（两球相切于P点），，分别为大球、小球的球心。另外有一个可视为质点、质量为m的物体N。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球的密度为，引力常量为G。 （1）若将物体N置于处，求大球剩余部分对物体N的万有引力大小； （2）若仅考虑大球剩余部分对物体N的万有引力的作用，将物体N从P处由静止释放，求物体N到达处的时间。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力。未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分的引力等于小球对物体N的引力， 方向沿指向 解得 （2）如图，假设物体N运动到了P、连线上的Q点 设、Q距离为x，未挖去前，大球对物体N引力 小球对物体N引力 大球剩余部分的引力 所以物体N的加速度 物体N从P到达，有 解得 21．（22-23高一下·江西抚州·月考）通过学习我们了解到地球南北极的重力加速度大于地球上其他地方，这是因为地球自转带来的影响，如果忽略了星体自转带来的影响，星体表面的重力等于其对表面物体的引力大小，若已知火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50kg的宇航员（地球表面的重力加速度g取10m/s2） （1）在火星表面上受到的重力是多少？ （2）若宇航员在地球表面能跳高，那他在火星表面能跳多高？ 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设地球质量为，地球半径为，宇航员质量为，火星表面的重力加速度为，则在地球表面有 而根据题意可知在火星表面有 联立解得 由此可得宇航员在火星表面上受到的重力是 （2）设宇航员起跳时的初速度为，则根据运动学公式有 解得 则在火星上有 联立解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$