2.4.2 第2课时 向量与平行 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

2.4.2 第2课时 向量与平行 [课时跟踪检测] 1.在空间直角坐标系中,a=(1,2,1)为直线l的一个方向向量,n=(2,t,4)为平面α的一个法向量,且l∥α,则t= (　　) A.3 B.1 C.-3 D.-1 解析:选C　因为l∥α,所以a=(1,2,1)与n=(2,t,4)垂直,故a·n=(1,2,1)·(2,t,4)=2+2t+4=0,解得t=-3. 2.设u=(2,0,-1)是平面α的一个法向量,a=(1,0,2)是直线l的一个方向向量,则直线l与平面α的位置关系是 (　　) A.平行或直线在平面内 　　B.不能确定 C.相交但不垂直 　　D.垂直 解析:选A　因为u·a=2+0-2=0,所以u⊥a,所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内. 3.已知A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是 (　　) A.平行 　　B.垂直 C.相交但不垂直 　　D.无法确定 解析:选A　因为=(-2,-2,2),=(1,1,-1),所以=-2,所以与平行.又四点不共线,所以直线AB与CD平行. 4.已知平面α的法向量为n=(x,-1,t),t>0,平面β的法向量为m=,若α∥β,则x+y的 (　　) A.最大值为2 B.最大值为-2 C.最小值为-2 D.最小值为2 解析:选B　因为α∥β,所以m∥n,则存在唯一实数λ,使得n=λm,即(x,-1,t)=λ=,所以所以因为t>0,所以λ>0,所以x<0,y<0,则x+y=-[(-x)+(-y)]≤-2=-2,当且仅当-x=-y,即x=y=-1时取等号,所以x+y的最大值为-2. 5.(2025·全国Ⅰ卷)[多选]在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC中点,则 (　　) A.AD⊥A1C B.B1C1⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D 解析:选BD　法一　对于A,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC, 又AD⊂平面ABC,所以AA1⊥AD,则·=0.因为△ABC是正三角形,D为BC的中点,则AD⊥BC,则·=0.又=++,所以·=·=·++·=≠0,则AD⊥A1C不成立,故A错误;对于B,因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,又B1C1⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥B1C1.因为△ABC是正三角形,D为BC的中点,则AD⊥BC,AD⊥B1C1.又AA1∩AD=A,AA1,AD⊂平面AA1D,所以B1C1⊥平面AA1D,故B正确;对于D,因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1∥AA1,又AA1⊂平面AA1D,CC1⊄平面AA1D,所以CC1∥平面AA1D,故D正确;对于C,因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1∥AB,假设AD∥A1B1,则AD∥AB,这与AD∩AB=A矛盾,所以AD∥A1B1不成立,故C错误. 法二　如图,建立空间直角坐标系,设该正三棱柱的底边为2,高为h,则D(0,0,0),A(,0,0),A1(,0,h),C(0,-1,0),C1(0,-1,h),B(0,1,0),B1(0,1,h),对于A,=(-,0,0),=(-,-1,-h),则·=(-)×(-)+0+0=3≠0,则AD⊥A1C不成立,故A错误;对于B、D,=(0,-2,0),=(0,0,h),=(0,0,h),设平面AA1D的法向量为n=(x,y,z),则得x=z=0,令y=1,则n=(0,1,0),所以=(0,-2,0)=-2n,·n=0,则B1C1⊥平面AA1D,CC1∥平面AA1D,故B、D正确;对于C,=(-,1,0),则≠,显然AD∥A1B1不成立,故C错误. 6.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析: 选B　如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),A1(2,0,2),所以=(-1,2,0),=(-2,2,1),设平面AEF的一个法向量n=(x,y,z),则⇒取y=1,得n=(2,1,2),设P(a,2,c),0≤a≤2,0≤c≤2,则=(a-2,2,c-2),因为A1P平行于平面AEF,所以·n=2(a-2)+2+2(c-2)=0,整理得a+c=3,∴线段A1P长度||= = =,当且仅当a=c=时,线段A1P长度取最小值. 7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,平面α∥平面BDD1B1且与线段AB1,A1D分别交于点E,H,则EH长度的最小值为 (　　) A.1 B. C. D.2 解析: 选C　如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,连接DB,D1B1,AB1,A1D,EH,因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,所以D(0,0,0),B(3,3,0),B1(3,3,3),A1(3,0,3),A(3,0,0),而=(3,0,3),=(3,3,0),=(3,3,3),=(0,3,3),由题意得A,E,B1共线,A1,H,D共线,设=λ(0≤λ≤1),=μ(0≤μ≤1),E(a,b,c),H(a1,b1,c1),则=(a-3,b,c),=(a1-3,b1,c1-3),λ=(0,3λ,3λ),得到a-3=0,b=3λ,c=3λ,解得a=3,则E(3,3λ,3λ),而=(-3,0,-3),故μ=(-3μ,0,-3μ),得到a1-3=-3μ,b1=0,c1-3=-3μ,解得a1=3-3μ,b1=0,c1=3-3μ,则H(3-3μ,0,3-3μ), 故=(-3μ,-3λ,3-3μ-3λ),设平面BDD1B1的法向量为n=(x,y,z),结合=(3,3,0),=(3,3,3),则·n=3x+3y=0,·n=3x+3y+3z=0, 令x=1,则y=-1,z=0,故n=(1,-1,0), 因为平面α∥平面BDD1B1,所以n=(1,-1,0)也是平面α的法向量,则·n=0,即-3μ+3λ=0,解得λ=μ,此时=(-3λ,-3λ,3-6λ), 由向量模长公式得EH=|| =, = =, 若最小,则54λ2-36λ+9最小即可,令f(λ)=54λ2-36λ+9,由二次函数性质得对称轴为λ=,而0≤λ≤1,则当λ=时,f(λ)取得最小值,最小值为f=3,则的最小值为,即EH的最小值为,故C正确. 8.(5分)已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,则k=　　　　.  解析:因为a∥b,所以m=λn,即(4,k,k-1)=λ,所以 解得λ=-2,k=-2. 答案:-2 9.(5分)平面α经过点A(0,0,2)且一个法向量n=(1,-1,-1),则平面α与x轴的交点坐标是　　　　.  解析:设平面α与x轴的交点为B(m,0,0),因为平面α经过点A(0,0,2),所以AB⊂平面α.又=(m,0,-2),平面α的一个法向量n=(1,-1,-1),所以·n=0,即m×1+(-2)×(-1)=0,解得m=-2,故平面α与x轴的交点坐标是(-2,0,0). 答案:(-2,0,0) 10.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的三等分点(靠近D1点),点F在棱C1D1上,且=λ,若B1F∥平面A1BE,则λ=　　　.  解析: 建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为3, E(0,0,2),A1(3,0,3),B(3,3,0),B1(3,3,3), 设F(0,a,3), 所以=(-3,0,-1),=(0,3,-3), 设平面A1BE的法向量为m=(x,y,z), 所以取x=1, 则m=(1,-3,-3),=(-3,a-3,0), 由于B1F∥平面A1BE,所以⊥m, 即·m=-3-3(a-3)=0,故a=2, 所以||=2,所以=. 答案: 11.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,正方形A1B1C1D1内部有一片区域I,E是BB1的中点,F是CC1的中点,若对于区域I内的任意一点P,总存在线段EF上一点Q,使得PQ∥平面AD1C,则区域I的面积最大值是　　　　　.  解析: 以D为顶点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,1,0),E,F,线段EF满足y=1,z=,x∈[0,1], 设P(x0,y0,1),Q,t∈[0,1], 设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z), =(-1,0,1),=(-1,1,0), =, ⇒ 令x=1,得y=1,z=1,则n=(1,1,1), 因为PQ∥平面AD1C,所以⊥n,·n=(t-x0)+(1-y0)-=0⇒t=x0+y0-, 因为点Q在线段EF上,所以0≤x0+y0-≤1,即≤x0+y0≤,所表示的范围为多边形GA1KJC1H, 其中G,K,J,H,面积为1-2×=, 所以区域I的面积最大值是. 答案: 12.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,PA⊥底面ABCD,PA=2,点M为PA的中点,点N为BC的中点,AF⊥CD于F,如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD. 证明:由题设知,在Rt△AFD中,AF=FD=,A(0,0,0),B(1,0,0),F, D,P(0,0,2),M(0,0,1), N.=, =,=. 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则⇒ 令z=,得n=(0,4,).因为·n=·(0,4,)=0, 又MN⊄平面PCD,所以MN∥平面PCD. 13.(10分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2. 求证:平面A1C1B∥平面ACD1.(使用向量方法) 证明:由题可以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(3,0,0),B(3,4,0),C(0,4,0),A1(3,0,2),C1(0,4,2),D1(0,0,2), 则=(-3,4,0),=(0,4,-2), =(-3,4,0),=(-3,0,2). 设平面A1C1B的法向量为n=(x,y,z), 则所以 取x=4,则y=3,z=6, 所以平面A1C1B的一个法向量为n=(4,3,6). 设平面ACD1的法向量为m=(a,b,c), 则所以 取a=4,则b=3,c=6, 所以平面ACD1的一个法向量为m=(4,3,6), 因为m=n,即m∥n, 所以平面A1C1B∥平面ACD1. 14.(15分)如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求证:BD⊥AA1;(6分) (2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.(9分) 解:(1)证明:设BD与AC交于点O, 则BD⊥AC,连接A1O, 在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,所以A1O2=A+AO2-2AA1·AOcos 60°=3, 所以AO2+A1O2=A,所以A1O⊥AO. 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O⊂平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABCD. 以OB,OC,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0), B(,0,0),C(0,1,0), D(-,0,0), A1(0,0,),C1(0,2,). 因为=(-2,0,0),=(0,1,), ·=0×(-2)+1×0+×0=0,所以⊥,即BD⊥AA1. (2)假设在直线CC1上存在点P, 使BP∥平面DA1C1. 设=λ,P(x,y,z),则(x,y-1,z) =λ(0,1,),即x=0,y=λ+1,z=λ. 从而有P(0,1+λ,λ),=(-,1+λ,λ). 设平面DA1C1的法向量为n=(x,y,z), 则 又=(0,2,0),=(,0,), 则取n=(1,0,-1). 因为BP∥平面DA1C1,所以n⊥, 即n·=--λ=0,解得λ=-1, 即点P在C1C的延长线上,且CP=CC1. 学科网（北京）股份有限公司 $