1.3.2 第1课时 函数的极值与导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

　　　　　 1.3.2　函数的极值与导数 第1课时　函数的极值与导数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.体会导数与单调性、极值的关系. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.极大值点与极大值 如图(1),设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时x0称为f(x)的一个极大值点. 2.极小值点与极小值 如图(2),设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,此时x0称为f(x)的一个极小值点.极大值和极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点. |微|点|助|解| (1)把函数取得极大值时的x的值称为极大值点,把函数取得极小值时的x的值称为极小值点,极大值点与极小值点统称为极值点,故极值点不是点; (2)极值是函数的局部性质; (3)函数的极值不唯一; (4)极大值与极小值两者的大小不确定; (5)极值点出现在区间的内部,端点不能是极值点; (6)对于可导函数,若f'(x0)=0,则x0不一定是极值点,即f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件,函数y=f'(x)的变号零点,才是函数的极值点. 3.函数的驻点 若f'(c)=0,则x=c叫作函数f(x)的驻点. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点. (　　) (2)函数的极小值一定小于它的极大值. (　　) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. (　　) (4)如果f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不具有单调性. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:A 3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于　　　　.  解析:y'=-3x2+12x,由y'=0,得x=0或x=4,容易得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得m=-19. 答案:-19 题型(一)　函数极值的辨析 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　[多选]已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则 (　　) A.函数f(x)有极大值f(2) B.函数f(x)有极大值f(-2) C.函数f(x)有极小值f(-2) D.函数f(x)有极小值f(2) 解析:选BD　由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值. |思|维|建|模| 　　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的.若由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值. 　　[针对训练] 1.设f(x)=x2+cos x,则函数f(x) (　　) A.有且仅有一个极小值 　B.有且仅有一个极大值 C.有无数个极值 　D.没有极值 解析:选A　f'(x)=x-sin x,f″(x)=1-cos x≥0,∴f'(x)单调递增且f'(0)=0,∴当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故f(x)有唯一的极小值点.故选A. 2. [多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)在区间(1,3)内单调递减 B.f(1)<f(2) C.函数f(x)在x=1处取极大值 D.函数f(x)在区间(-2,5)内有两个极小值点 解析:选BD　由导函数y=f'(x)的图象,可知函数f(x)在(1,2)内单调递增,在(2,3)内单调递减,故f(1)<f(2),故A错误,B正确;由导函数的图象,可知f(x)在(-1,2)内单调递增,故x=1不是函数的极大值点,故C错误;由导函数图象可得在区间(-2,5)内有f'(-1)=f'(4)=0,且在(-2,-1)与(3,4)内导函数小于0,在(-1,0)和(4,5)内导函数大于0,故x=-1和x=4为函数的两个极小值点,故在区间(-2,5)内有两个极小值点,故D正确. 题型(二)　函数的驻点和极值点 [例2]　已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0),f'(-1)=f'(1)=0,且f(1)=-1. (1)试求常数a,b,c的值; (2)试求函数的驻点,判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号,并判断驻点是否为极值点. 解:(1)f'(x)=3ax2+2bx+c.由f'(-1)=f'(1)=0, 得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0. 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1, ∴a=,b=0,c=-. (2)由(1)可得f(x)=x3-x, ∴f'(x)=x2-=(x-1)(x+1). 令f'(x)=0,即(x-1)(x+1)=0, 解得x=1或x=-1,它们是此函数的驻点. 当x<-1或x>1时,f'(x)>0; 当-1<x<1时,f'(x)<0, ∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减. ∴x=1是函数的极小值点,x=-1是函数的极大值点. |思|维|建|模| 判断函数y=f(x)的驻点和极值点的方法 解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时,此时x0为f(x)的驻点. (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么x=x0是极大值点. (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么x=x0是极小值点. 　　[针对训练] 3.(2025·全国Ⅱ卷)[多选]已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则 (　　) A.f(0)=0 B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2,当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 解析:选ABD　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,A正确;当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2-3)e-x-2,B正确; 当x>0时,f'(x)=(x+3)(x-1)ex,∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,当x→0时,f(x)→-1,且f(1)=-2e+2<0,f()=2,结合f(x)是定义在R上的奇函数,可以画出f(x)的大致图象,由图可知C错误,D正确. 4.求函数f(x)=(x3-1)2+1的驻点,并判断其是否为极值点. 解:因为f(x)=(x3-1)2+1=x6-2x3+2, 所以f'(x)=6x5-6x2=6x2(x3-1). 令f'(x)=0,解得x=0或x=1, 所以x=0或x=1为函数的驻点. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 - 0 + f(x) 递减↘ 2 递减↘ 1 递增↗ 从表中可以看出,x=1是f(x)的极小值点. 题型(三)　求函数的极值　　　　　 [例3]　求下列函数的极值点和极值. (1)f(x)=x3-x2-3x+3; (2)f(x)=+3ln x. 解:(1)f(x)=x3-x2-3x+3的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x1=3,x2=-1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (-∞, -1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗ 因此当x=-1时,f(x)有极大值,并且极大值为f(-1)=;当x=3时,f(x)有极小值,并且极小值为f(3)=-6. (2)函数f(x)=+3ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+=,令f'(x)=0得x=1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 因此当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=3;无极大值. 　　|思|维|建|模|　求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求函数的定义域; (2)求函数的导数f'(x); (3)令f'(x)=0,求出全部的根x0; (4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内; (5)判断得结论:若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若左负右正,则在x0处取得极小值. 　　[针对训练] 5.(1)求f(x)=x2e-x的极值; (2)求函数f(x)=的极值. 解:(1)f'(x)=2xe-x-x2e-x, 令f'(x)=0,得x=0或x=2, 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 极大值 递减↘ 所以f(x)的极小值是f(0)=0,极大值是f(2)=. (2)函数f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),f'(x)=. 令f'(x)=0,得x1=-1,x2=2. 所以当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (-∞, -1) -1 (-1, 1) (1,2) 2 (2, +∞) f'(x) + 0 - + 0 + f(x) 递增↗ 极大值 递减 ↘ 递增↗ 非极值 递增↗ 故当x=-1时,f(x)有极大值,极大值为-. 学科网（北京）股份有限公司 $