1.3.1 第2课时 导数与函数单调性的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

第2课时 导数与函数单调性的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系;能求简单的含参的函数的单调区间. 2.能根据函数的单调性求参数的取值范围,比较大小解不等式等. 题型(一)　讨论含参函数的单调性 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性. 解:函数f(x)的定义域是(0,+∞), f'(x)=2x-=(x>0), 设g(x)=2x2-a,由g(x)=0,得2x2=a. 当a=0时,f'(x)=2x>0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 当a>0时,由g(x)=0,得x=或x=-(舍去). 当x∈时,g(x)<0,即f'(x)<0; 当x∈时,g(x)>0,即f'(x)>0. ∴当a>0时,函数f(x)在区间内单调递减,在区间上单调递增. 综上,当a=0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,函数f(x)在上单调递增,在内单调递减. 　　[变式拓展] 　已知函数f(x)=x2-2x+aln x(a>0),求函数f(x)的单调递增区间. 解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2+=,x>0, 令h(x)=2x2-2x+a,注意到Δ=4(1-2a). ①当a≥时,Δ≤0,f'(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当0<a<时,Δ>0,令f'(x)=0,得x1=>0,x2=>0,令f'(x)>0, 解得x∈∪, 所以f(x)的单调递增区间为,. 综上,当a≥时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当0<a<时,f(x)的单调递增区间为,. |思|维|建|模| 　　在讨论含有参数的函数单调性时,若f'(x)中的参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准: (1)按导函数是否有零点分大类; (2)在大类中再按导数零点的大小分小类; (3)在小类中再按零点是否在定义域中分类. 　　[针对训练] 1.已知函数f(x)=ax-(a+2)ln x--ln a(a>0),讨论函数f(x)的单调性. 解:由题意知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)==,x>0, 令f'(x)=0,解得x1=1,x2=. ①当<1,即a>2时,若x∈∪(1,+∞),则f'(x)>0;若x∈,则f'(x)<0. ∴f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减. ②当=1,即a=2时,f'(x)=≥0且f'(x)不恒等于0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. ③当>1,即0<a<2时,若x∈(0,1)∪,则f'(x)>0;若x∈,则f'(x)<0. ∴f(x)在(0,1),上单调递增, 在内单调递减. 综上所述,当a>2时,f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0<a<2时,f(x)在(0,1),上单调递增,在内单调递减. 题型(二)　根据函数的单调性求参数 [例2]　已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0). (1)函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (2)若函数f(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围. 解:(1)因为f(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),所以f'(x)=-ax-2.由于f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>-有解. 设G(x)=-,所以只要a>G(x)min即可.又G(x)=-1,所以G(x)min=-1.所以a>-1. 又因为a≠0,所以a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). (2)因为f(x)在[1,4]上单调递减, 所以当x∈[1,4]时,f'(x)=-ax-2≤0恒成立, 即a≥-恒成立.由(1)知G(x)=-, 所以a≥G(x)max,又G(x)=-1,x∈[1,4],所以∈,所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-. 又因为a≠0,所以a的取值范围是∪(0,+∞). 　　[变式拓展] 1.本例条件不变,若f(x)在[1,4]上存在单调递增区间,求a的取值范围. 解:f(x)在[1,4]上存在单调递增区间, 则f'(x)>0在[1,4]上有解, 所以当x∈[1,4]时,a<-有解. 又当x∈[1,4]时,=-,所以a<-,所以a的取值范围是. 2.若本例条件不变,f(x)在[1,4]上单调递增,求a的取值范围. 解:因为f(x)在[1,4]上单调递增, 所以当x∈[1,4]时,f'(x)≥0恒成立. 所以当x∈[1,4]时,a≤-恒成立. 又当x∈[1,4]时,=-1(此时x=1), 所以a≤-1,即a的取值范围是(-∞,-1]. 　　|思|维|建|模| 1.已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集; (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立. 2.恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max; (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. 　　[针对训练] 2.若函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,求实数a的取值范围. 解:函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,则f'(x)=4x+-a≥0在(0,+∞)上恒成立, 即a≤4x+(x>0)恒成立. 令g(x)=4x+(x>0),则a≤g(x)min. g(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时取等号,故a≤4; 当a=4时,f'(x)=4x+-4==≥0恒成立,满足题意,所以a≤4. 故实数a的取值范围是(-∞,4]. 题型(三)　根据函数的单调性比较大小或解不等式 [例3]　已知函数f(x)=+ln x,则有 (　　) A.f(e)<f(3)<f(2) 　B.f(3)<f(e)<f(2) C.f(e)<f(2)<f(3) 　D.f(2)<f(e)<f(3) 解析:选D　f'(x)=+,所以x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,又2<e<3,所以f(2)<f(e)<f(3). [例4]　已知函数f(x)=1-x+-,若不等式f(a2+a)≤f(2a+2)成立,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:由f(x)=1-x+-,得f'(x)=-1+x-x2=--<0,所以f(x)在R上为减函数.由f(a2+a)≤f(2a+2),得a2+a≥2a+2,解得a≤-1或a≥2. 答案:(-∞,-1]∪[2,+∞) |思|维|建|模| (1)在比较两数(式)的大小关系时,首先要判断所给函数的单调性,再根据函数的单调性比较大小. (2)在解一些不等式时,先判断函数的单调性,再利用单调性脱去f,即可得到变量的大小关系. 　　[针对训练] 3.若f(x)=,e<a<b,则 (　　) A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 解析:选A　因为f'(x)==,当x∈(e,+∞)时,1-ln x<0,所以f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减.故f(a)>f(b). 4.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是　　　　.  解析:因为f(x)=x-sin x,所以f(-x)=-x+sin x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f'(x)=1-cos x≥0,则函数f(x)是增函数,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3). 答案:(-∞,3) 学科网（北京）股份有限公司 $