1.3.1 第2课时 导数与函数单调性的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

导数与函数单调性的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系；能求简单的含参的函数的单调区间. 2.能根据函数的单调性求参数的取值范围，比较大小解不等式等. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 讨论含参函数的单调性　 题型(二) 根据函数的单调性求参数　 题型(三) 根据函数的单调性比 较大小或解不等式　 4 课时跟踪检测 题型(一)　讨论含参函数的单调性 01 [例1]　讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性. 解：函数f(x)的定义域是(0，+∞)，f'(x)=2x-=(x>0)， 设g(x)=2x2-a，由g(x)=0，得2x2=a. 当a=0时，f'(x)=2x>0，函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增. 当a>0时，由g(x)=0，得x=或x=-(舍去). 当x∈时，g(x)<0，即f'(x)<0； 当x∈时，g(x)>0，即f'(x)>0. ∴当a>0时，函数f(x)在区间内单调递减，在区间上单调递增.综上，当a=0时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，函数f(x)在上单调递增，在内单调递减. 　[变式拓展] 　已知函数f(x)=x2-2x+aln x(a>0)，求函数f(x)的单调递增区间. 解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x-2+=，x>0， 令h(x)=2x2-2x+a，注意到Δ=4(1-2a). ①当a≥时，Δ≤0，f'(x)≥0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增； ②当0<a<时，Δ>0，令f'(x)=0，得x1=>0，x2=>0，令f'(x)>0， 解得x∈∪， 所以f(x)的单调递增区间为. 综上，当a≥时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)； 当0<a<时，f(x)的单调递增区间为. |思|维|建|模| 　　在讨论含有参数的函数单调性时，若f'(x)中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标准： (1)按导函数是否有零点分大类； (2)在大类中再按导数零点的大小分小类； (3)在小类中再按零点是否在定义域中分类. 针对训练 1.已知函数f(x)=ax-(a+2)ln x--ln a(a>0)，讨论函数f(x)的单调性. 解：由题意知f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)==，x>0，令f'(x)=0，解得x1=1，x2=. ①当<1，即a>2时，若x∈∪(1，+∞)，则f'(x)>0； 若x∈，则f'(x)<0. ∴f(x)在，(1，+∞)上单调递增，在内单调递减. ②当=1，即a=2时，f'(x)=≥0且f'(x)不恒等于0， ∴f(x)在(0，+∞)上单调递增. ③当>1，即0<a<2时，若x∈(0，1)∪，则f'(x)>0； 若x∈，则f'(x)<0. ∴f(x)在(0，1)，上单调递增，在内单调递减. 综上所述，当a>2时，f(x)在，(1，+∞)上单调递增，在内单调递减；当a=2时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当0<a<2时， f(x)在(0，1)，上单调递增，在内单调递减. 题型(二)　根据函数的单调性求参数 02 [例2]　已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0). (1)函数f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； 解：因为f(x)=ln x-ax2-2x，x∈(0，+∞)，所以f'(x)=-ax-2. 由于f(x)在(0，+∞)上存在单调递减区间， 所以当x∈(0，+∞)时，-ax-2<0有解，即a>-有解. 设G(x)=-，所以只要a>G(x)min即可.又G(x)=-1， 所以G(x)min=-1.所以a>-1.又因为a≠0， 所以a的取值范围为(-1，0)∪(0，+∞). (2)若函数f(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 解：因为f(x)在[1，4]上单调递减， 所以当x∈[1，4]时，f'(x)=-ax-2≤0恒成立， 即a≥-恒成立.由(1)知G(x)=-， 所以a≥G(x)max，又G(x)=-1，x∈[1，4]，所以∈， 所以G(x)max=-(此时x=4)，所以a≥-. 又因为a≠0，所以a的取值范围是∪(0，+∞). 　　[变式拓展] 1.本例条件不变，若f(x)在[1，4]上存在单调递增区间，求a的取值范围. 解：f(x)在[1，4]上存在单调递增区间， 则f'(x)>0在[1，4]上有解，所以当x∈[1，4]时，a<-有解. 又当x∈[1，4]时，=-，所以a<-， 所以a的取值范围是. 2.若本例条件不变，f(x)在[1，4]上单调递增，求a的取值范围. 解：因为f(x)在[1，4]上单调递增， 所以当x∈[1，4]时，f'(x)≥0恒成立. 所以当x∈[1，4]时，a≤-恒成立. 又当x∈[1，4]时，=-1(此时x=1)， 所以a≤-1，即a的取值范围是(-∞，-1]. 　|思|维|建|模| 1.已知f(x)在区间(a，b)内的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)内单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)内单调递增(减)的问题，则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立. 2.恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max； (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min. 针对训练 2.若函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围. 解：函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增， 则f'(x)=4x+-a≥0在(0，+∞)上恒成立， 即a≤4x+(x>0)恒成立.令g(x)=4x+(x>0)，则a≤g(x)min. g(x)=4x+≥2=4，当且仅当4x=，即x=时取等号，故a≤4； 当a=4时，f'(x)=4x+-4==≥0恒成立， 满足题意，所以a≤4. 故实数a的取值范围是(-∞，4]. 题型(三)　根据函数的单调性比 较大小或解不等式 03 [例3]　已知函数f(x)=+ln x，则有(　　) A.f(e)<f(3)<f(2) 　B.f(3)<f(e)<f(2) C.f(e)<f(2)<f(3) 　D.f(2)<f(e)<f(3) √ 解析：f'(x)=+，所以x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，又2<e<3，所以f(2)<f(e)<f(3). [例4]　已知函数f(x)=1-x+-，若不等式f(a2+a)≤f(2a+2)成立，则实数a的取值范围为____________________.  解析：由f(x)=1-x+-，得f'(x)=-1+x-x2=--<0，所以f(x)在R上为减函数.由f(a2+a)≤f(2a+2)，得a2+a≥2a+2，解得a≤-1或a≥2. (-∞，-1]∪[2，+∞) |思|维|建|模| (1)在比较两数(式)的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小. (2)在解一些不等式时，先判断函数的单调性，再利用单调性脱去f，即可得到变量的大小关系. 针对训练 3.若f(x)=，e<a<b，则(　　) A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 √ 解析：因为f'(x)==，当x∈(e，+∞)时，1-ln x<0， 所以f'(x)<0，所以f(x)在(e，+∞)上单调递减.故f(a)>f(b). 4.已知函数f(x)=x-sin x，则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是_______________.  解析：因为f(x)=x-sin x，所以f(-x)=-x+sin x=-f(x)，即函数f(x)为奇函数，函数的导数f'(x)=1-cos x≥0，则函数f(x)是增函数， 则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2)， 即x+1>2x-2，解得x<3，故不等式的解集为(-∞，3). (-∞，3) 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数，则a的取值范围为 (　　) A.(-∞，0] B.(-∞，1) C.(-∞，2) D. √ 解析：f'(x)=3ax2-1≤0恒成立，∴a≤0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为，则a的值为(　　) A.(-∞，-3) B.-3 C.3 D.(-∞，3) 解析：由题意得函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=+2x+a=<0的解集为， 所以不等式2x2+ax+1<0的解集为，所以+1=-，解得a=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知函数f(x)=ax+cos x在内单调递增，则a的取值范围是(　　) A.[-1，+∞) B.[1，+∞) C. D. √ 解析：f'(x)=a-sin x≥0在上恒成立，即a≥(sin x)max，所以a≥1，则a的取值范围是[1，+∞).故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.[多选]若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是 (　　) A.-3 B.-1 C.0 D.2 √ √ 解析：依题意知，f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点， 故解得a>-3且a≠0.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.若f(x)=xsin x+cos x，a=f(-3)，b=f()，c=f(2)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a √ 解析：因为f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x)，可知函数f(x)为偶函数，所以a=f(-3)=f(3).又因为f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x，且x∈，则x>0，cos x<0，即f'(x)=xcos x<0，所以f(x)在区间内单调递减，且<<2<3<π，所以f(-3)=f(3)<f(2)<f()，即a<c<b.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知函数的定义域为R，f(1)=5，对任意x∈R，f'(x)<2，则f(x)>3+2x的解集为 (　　) A.(-1，1) B.(2，+∞) C.(1，2) D.(-∞，1) √ 解析：设g(x)=f(x)-2x-3，则g'(x)= f'(x)-2.∵对任意x∈R，f'(x)<2， ∴对任意x∈R，g'(x)<0，∴g(x)在R上单调递减.∵f(1)=5， ∴g(1)=f(1)-2-3=0，由g(x)> g(1)=0，得x<1， ∴f(x)>3+2x的解集为(-∞，1).故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)已知函数f(x)=ex-+sin x，其中e是自然对数的底数，若f(2a)+f(a2)≤0，则实数a的取值范围是_____________.  解析：易知f(-x)=e-x-+sin(-x)=-ex+-sin x=-f(x)，且x∈R， 即f(x)为奇函数.又f'(x)=ex++cos x≥2+cos x=2+cos x>0， 当且仅当x=0时取等号，故f(x)为增函数.由于f(2a)+f(a2)≤0⇒f(2a)≤-f(a2)=f(-a2) ，所以2a≤-a2⇒a∈[-2，0]. [-2，0] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若函数y=x2-2bx+6在(2，8)内单调递增，则实数b的取值范围是___________.  解析：由题意得y'=2x-2b≥0在(2，8)内恒成立，即b≤x在(2，8)内恒成立，所以b≤2. (-∞，2] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2，k+2)内不具有单调性，则实数k的取值范围是_____________.  解析：由题意f'(x)=x-(x>0)单调递增，且f'(2)=2-=0，所以若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2，k+2)内不具有单调性，则0≤k-2<2<k+2，解得2≤k<4. [2，4) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知函数f(x)=x3-x的值域为，则f(x)的定义域可以是____________________.(写出一个符合条件的即可)  解析：f'(x)=x2-1，令f'(x)=0可得x=-1或x=1，所以当x<-1或x>1时，f'(x)>0，当-1<x<1时，f'(x)<0，故f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递增，在(-1，1)内单调递减，且f(-1)=，f(1)=-，由此可知定义域可以是[-1，1]. [-1，1](答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知函数f(x)=-x2+x+6在(a，a+1)内不具有单调性，则实数a的取值范围是_____________.  解析：根据题意，函数f(x)=-x2+x+6，其导数f'(x)=-2x+1，令f'(x)=0，可得x=，当x<时，f'(x)>0；当x>时，f'(x)<0.则在区间上，f(x)单调递增；在区间上，f(x)单调递减，若函数f(x)=-x2+x+6在(a，a+1)内不具有单调性，则a<<a+1，解得-<a<，即a的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)=x-aln x. (1)若f(x)在[1，+∞)上单调递增，求a的取值范围；(5分) 解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1-=， 当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，满足题意； 当a>0时，令f'(x)=≥0，解得x<0 (舍去)或x≥a， 要使f(x)在[1，+∞)上单调递增，则a≤1， 所以0<a≤1.综上，a的取值范围为(-∞，1]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求f(x)的单调区间.(5分) 解：由(1)可知，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增， 当a>0时，f(x)在(a，+∞)上单调递增，令f'(x)=<0， 解得0<x<a，f(x)在(0，a)内单调递减. 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)； 当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a，+∞)，单调递减区间为(0，a). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知f(x)=x2+x+aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性. 解：由已知，f(x)=x2+x+aln x(a∈R)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x+1+=，①当a≥0时，f'(x)>0在区间(0，+∞)上恒成立，f(x)在区间(0，+∞)上单调递增. ②当a<0时，令f'(x)=0，则2x2+x+a=0，Δ=1-8a>0，解得x1=<0(舍去)，x2=>0，∴当x∈时，2x2+x+a<0，∴f'(x)<0， ∴f(x)在区间内单调递减；当x∈时，2x2+x+a>0，∴f'(x)>0，∴f(x)在区间上单调递增.综上所述，当a≥0时，f(x)在区间(0，+∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在区间内单调递减， 在区间上单调递增. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=xln x. (1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程；(4分) 解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln x+1. 曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为k= f'(1)=1. 把x=1代入f(x)=xln x中得f(1)=0， 即切点坐标为(1，0).所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)讨论函数f(x)在区间(0，t](t>0)内的单调性.(6分) 解：令f'(x)=ln x+1=0，得x=. ①当0<t≤时，在区间(0，t]内，f'(x)≤0，f(x)单调递减. ②当t>时，在区间内，f'(x)<0，f(x)单调递减；在区间内， f'(x)>0，f(x)单调递增.综上，当0<t≤时，f(x)单调递减； 当t>时，在区间内，f(x)单调递减，在区间内，f(x)单调递增. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $