3.3 正态分布 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

3.3　正态分布 [课时跟踪检测] 1.某市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示,下列说法正确的是 (　　) A.甲科总体成绩的标准差最小 B.丙科总体成绩的平均数最小 C.乙科总体成绩的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙三科成绩的平均数不相同 答案:A 2.已知随机变量X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率约为 (　　) A.0.954 B.0.046 C.0.977 D.0.023 答案:D 3.为了解某地高中男生的身体发育状况,随机抽取1 000名男生测量他们的体重,测量的结果表明他们的体重X(单位:kg)服从正态分布N(μ,22),正态曲线如图所示.若体重落在区间[58.5,62.5]内属于正常情况,则在这1 000名男生中不属于正常情况的人数约是 (　　) A.954 B.819 C.683 D.317 解析:选D　由题意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,从而不属于正常情况的人数约是1 000×(1-0.682 7)≈317. 4.某工厂制造的某种机器零件的尺寸X~N(100,0.01),现从中随机抽取10 000个零件,尺寸在[99.8,99.9]内的个数约为 (　　) A.2 718 B.1 359 C.430 D.215 解析:选B　因为X~N(100,0.01),所以μ=100,σ=0.1,则P(99.8≤X≤99.9)=P(μ-2σ≤X≤μ-σ)=[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.故随机抽取的10 000个零件中尺寸在[99.8,99.9]内的个数约为10 000×0.135 9=1 359. 5.[多选]已知某高校学生每周阅读时间X(单位:小时)服从正态分布N(9,4),则下列说法正确的是(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.955,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997) (　　) A.该校学生每周平均阅读时间为9小时 B.该校学生每周阅读时间的标准差为4 C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.15% D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5小时的人数约为210 解析:选ACD　因为X~N(9,4),所以该校学生每周平均阅读时间为9小时,每周阅读时间的标准差为2,故A正确,B错误;该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占×100% =×100% =×100%=0.15%,故C正确;每周阅读时间在3~5小时的人数占[P(3<X<15)-P(5<X<13)]×100%=[P(μ-3σ<X<μ+3σ)-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]×100%=×(0.997-0.955)×100%=2.1%,则每周阅读时间在3~5小时的人数约为2.1%×10 000=210,故D正确.故选ACD. 6. [多选]如图是正态分布N(0,1)的正态曲线图,下列选项表示图中阴影部分面积的为(注:Φ(a)=P(X≤a)) (　　) A.-Φ(-a) B.Φ(1-a) C.Φ(a)- D.Φ(0) 解析:选AC　因为Φ(-a)=P(X≤-a),所以题图中阴影部分的面积为-P(X≤-a)=-Φ(-a),又根据性质Φ(-a)+Φ(a)=1,可得-Φ(-a)=-[1-Φ(a)]=Φ(a)-.所以A、C正确. 7.[多选]若随机变量ξ~N(0,1),φ(x)=P(ξ≤x),其中x>0,则下列等式成立的是 (　　) A.φ(-x)=1-φ(x) B.φ(2x)=2φ(x) C.P(|ξ|<x)=2φ(x)-1 D.P(|ξ|>x)=2-φ(x) 解析: 选AC　因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1),所以正态曲线关于直线x=0对称,如图所示.又φ(x)=P(ξ≤x),x>0,根据曲线的对称性,所以φ(-x)=P(ξ≥x)=1-φ(x),所以A正确;φ(2x)=P(ξ≤2x),2φ(x)=2P(ξ≤x),所以φ(2x)≠2φ(x),故B错误;P(|ξ|<x)=P(-x<ξ<x)=1-2φ(-x)=1-2[1-φ(x)]=2φ(x)-1,所以C正确;P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-φ(x)+φ(-x)=1-φ(x)+1-φ(x)=2-2φ(x),所以D错误.故选AC. 8.[多选]某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植红玫瑰和白玫瑰后销售.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列结论正确的是(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 6) (　　) A.若红玫瑰日销售量在(μ-30,280)内的概率是0.682 6,则红玫瑰日销售量平均为250 B.白玫瑰日销售量在(240,+∞)内的概率约为0.841 3 C.白玫瑰日销售量在(320,+∞)内的概率约为0.341 3 D.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 解析:选ABD　由题意得μ+30=280,解得μ=250,故红玫瑰日销售量平均为250,故A正确;设白玫瑰的日销售量为X,则X~N(280,402),令μ2=280,σ2=40,所以P(X>240)=P(X>μ2-σ2)=P(μ2-σ2<X<μ2+σ2)+≈0.682 6+=0.841 3,P(X>320)=≈=0.158 7,故B正确,C错误; ∵红玫瑰日销售量的方差为900,白玫瑰日销售量的方差为1 600,∴红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中,故D正确.故选ABD. 9.(5分)若随机变量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,则P(ξ>11)=　　　　.  解析:由P(9≤ξ≤11)=0.4且正态曲线以直线x=μ=10为对称轴知,P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4,即P(10≤ξ≤11)=0.2,又P(ξ≥10)=0.5,所以P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3. 答案:0.3 10.(5分)若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.设ξ~N(1,σ2),且P(ξ>3)≈0.158 65,则σ=　　　　.  解析:因为P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,所以P(ξ>μ+σ)≈×(1-0.682 7)=0.158 65.因为ξ~N(1,σ2),P(ξ>1+σ)≈0.158 65,所以1+σ=3,即σ=2. 答案:2 11.(5分)据抽样统计,在某市的公务员考试中,考生的综合评分X服从正态分布N(60,102),考生共10 000人,若一考生的综合评分为80分,则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第　　　　名.  解析:依题意,P(60-20≤X≤60+20)≈0.954 5,P(X>80)≈(1-0.954 5)≈0.022 8, 故成绩高于80分的考生人数约为10 000×0.022 8=228.所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名. 答案:229 12.(5分)为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.高三全体考生的数学成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩在82.5分以下的概率为　　　　,如果成绩在135分以上的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有　　　　人.   附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.96. 解析:由题意得P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=P(X<μ)-≈0.5-=0.16,因为正态曲线关于直线x=100对称,所以P(X>117.5)=P(X<82.5)=0.16,因为成绩在117.5分以上的学生有80人,所以本次高三考生总人数约为=500.又P(X>135)=P(X>μ+2σ)=P(X>μ)-≈0.5-=0.02,所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10(人). 答案:0.16　10 13.(10分)已知随机变量X~N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,且P(72≤X≤88)≈0.682 7. (1)求参数μ,σ的值;(5分) (2)求P(64≤X≤72).(5分) 解:(1)由于正态曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,所以正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80. 又P(72≤X≤88)≈0.682 7. 结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,可知σ=8. (2)因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈0.954 5. P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(72≤X≤88)≈0.682 7,所以P(64≤X≤72)=[P(64≤X≤96)-P(72≤X≤88)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. 14.(15分)某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径Z(单位:cm)的数据如下:97,97,98,102,105,107,108,109,113,114.设这10个数据的平均值为μ,标准差为σ. (1)求μ与σ;(5分) (2)假设这批零件的内径Z(单位:cm)服从正态分布N(μ,σ2). ①从这批零件中随机抽取5个,设这5个零件中内径小于87 cm的个数为X,求E(4X+3);(5分) ②若该车间又新购一台设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径(单位:cm)分别为86,95,103,109,118,以原设备生产性能为标准,这台设备是否需要进一步调试?请说明理由.(5分) 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,0.997 34≈0.99. 解:(1)由题意得μ=×(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105,σ2=×(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36,∴σ=6. (2)①由(1)得Z~N(105,36), ∴P(Z<87)=P(Z<μ-3σ)=P(Z<μ)-≈0.5-=0.001 35,∴X~B(5,0.001 35), ∴E(4X+3)=4E(X)+3=4×5×0.001 35+3=3.027. ②需要.理由如下: ∵P(87≤Z≤123)=P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3,∴5个零件中恰有1个零件的内径不在[μ-3σ,μ+3σ]内的概率为×0.997 34×(1-0.997 3)≈5×0.99×0.002 7=0.013 365. ∵86∉[87,123],∴试生产的5个零件中出现了1个零件的内径不在[μ-3σ,μ+3σ]内,出现的频率为0.2,大概是0.013 365的15倍,根据3σ原则,这台设备需要进一步调试. 学科网（北京）股份有限公司 $