3.3 正态分布-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦正态分布，系统讲解正态曲线概念、特点、三个特殊区间概率及实际应用，通过课前自主预习落实基础，课堂题型研究（正态曲线、概率计算、实际应用）梯度进阶，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于结合零件尺寸、考试成绩等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过对称法和3σ法培养数学思维，以思维建模总结解题方法。助力学生提升知识应用能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

3.3 正态分布 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解正态曲线和正态分布的概念，能借助正态曲线理解正态曲线的特点及曲线表示的意义. 2.了解变量落在区间[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]的概率大小，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率；会用正态分布解决实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.正态分布密度曲线 由图可以看出，曲线呈现“_______，_______，左右大致对称”的特点，我们把具有这种特性的曲线叫作正态分布密度曲线，简称正态曲线， 它的函数表达式为p(x)=(-∞<x<+∞)，其中μ和σ为参数，且σ>0，μ∈R.p(x)称为概率密度函数.此时，我们称随机变量X服从参数为____和____的正态分布，简记为X~N(μ，σ2). 中间高 两边低 μ σ2 2.正态分布密度曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线______对称； (3)p(x)在x=μ处达到最大值_________； (4)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴______； (5)σ越大，正态曲线越____，σ越小，正态曲线越_____； (6)曲线与x轴之间所夹区域的面积等于____. x=μ 平移 扁平 尖陡 1 3.标准正态分布 特别地，数学期望μ=0，方差σ2=1时的正态分布称为标准正态分布， 其密度函数记为φ(x)=(-∞<x<+∞)，其图象如图所示，随机变量X服从标准正态分布，简记为X~N(0，1). 4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率 (1)落在区间(μ-σ，μ+σ)内的概率约为__________. (2)落在区间(μ-2σ，μ+2σ)内的概率约为_________. (3)落在区间(μ-3σ，μ+3σ)内的概率约为_________. 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取 (μ-3σ，μ+3σ)之间的值，并简称为3σ原则. 68.27% 95.45% 99.73% 1.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)=，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　) A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 √ 基础落实训练 2.函数f(x)=(其中μ<0)的图象可能为(　　) √ 解析：函数f(x)图象的对称轴为直线x=μ，因为μ<0，所以排除B、D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，故选A. 3.在正态分布N中，数据落在[-2，2]内的概率为__________. 解析：由题可得μ=0，σ=，P(-2≤X≤2)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 0.997 3 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　正态曲线 [例1]　已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ=________，方差σ2=____________.  解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是，所以=，解得σ=，因此总体的均值μ=20，方差σ2=()2=2. 20　 2 |思|维|建|模| 正态曲线中μ，σ的认识 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点： 一是对称轴x=μ，二是最值.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式. 针对训练 1.[多选]某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，其正态密度函数f(x)=·，则下列说法正确的是(　　) A.这次考试的数学平均成绩为80分 B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D.这次考试的数学成绩的标准差为10 √ √ √ 解析：由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A、D正确.因为函数图象关于直线x=80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确. 2.若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式. 解：由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于y轴对称，即μ=0， 又该函数的最大值是， 所以=，解得σ=4. 故所求正态密度函数的解析式为f(x)=，x∈(-∞，+∞). 题型(二)　正态分布的概率计算 [例2]　设ξ~N(1，22)，试求： (1)P(-1≤ξ≤3)； 解：∵ξ~N(1，22)，∴μ=1，σ=2. P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7. (2)P(3≤ξ≤5). 解：∵P(3≤ξ≤5)=P(-3≤ξ≤-1)， ∴P(3≤ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)] =[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)]=[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)] ≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. 　[变式拓展] 　若本例条件不变，求P(ξ>5). 解：P(ξ>5)=P(ξ<-3)=[1-P(-3≤ξ≤5)]=[1-P(1-4≤ξ≤1+4)] =[1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)]≈×(1-0.954 5)=0.022 75. |思|维|建|模| 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x=μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x=μ对称的区间概率相等.如： ①P(X<a)=1-P(X≥a)； ②P(X<μ-a)=P(X>μ+a). (2)“3σ”法：利用X落在区间(μ-σ，μ+σ)，(μ-2σ，μ+2σ)，(μ-3σ，μ+3σ)内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 针对训练 3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>3)=0.18，则P(1≤ξ≤2)= (　　) A.0.18 B.0.32 C.0.68 D.0.82 √ 解析：易知正态曲线的对称轴为直线x=2，所以P(1≤ξ≤2)=P(ξ≤2)-P(ξ<1)=P(ξ≤2)-P(ξ>3)=0.5-0.18=0.32.故选B. 4.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 √ √ 解析：依题可知X~N(1.8，0.12)，Y~N(2.1，0.12)， 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5，C正确，D错误；P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)，因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3， 所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2， 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2，B正确，A错误. 故选BC. 题型(三)　正态分布的实际应用 [例3]　有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4).若这批零件共有5 000个，试求： (1)这批零件中尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比； 解：∵X~N(20，4)，∴μ=20，σ=2， ∴μ-σ=18，μ+σ=22， 于是尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%. (2)若规定尺寸在24~26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个? 解：∵μ-3σ=14，μ+3σ=26，μ-2σ=16，μ+2σ=24， ∴尺寸在14~26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16~24 mm间的零件所占的百分比大约是95.45%. ∴尺寸在24~26 mm间的零件所占的百分比大约是=2.14%. 因此尺寸在24~26 mm间的零件大约5 000×2.14%≈107(个). ∴这批零件中不合格的零件大约有107个. |思|维|建|模| 正态分布的实际应用 解题时，应当注意零件尺寸应落在(μ-3σ，μ+3σ)之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格. 针对训练 5.假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500，52)(单位：g)，该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515 g. (1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515 g的概率为多少； 解：设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为X g，由题意可知X~N(500，52). 由于515=500+3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知，P(X>515)=P(|X-3×5|>500)≈×0.3%=0.15%. (2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理?请说明理由. 解：检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都大于515 g的概率约为0.15%×0.15%=2.25×10-6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法正确的是 (　　) A.甲科总体成绩的标准差最小 B.丙科总体成绩的平均数最小 C.乙科总体成绩的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙三科成绩的平均数不相同 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知随机变量X~N(0，1)，则X在区间(-∞，-2)内取值的概率约为 (　　) A.0.954 B.0.046 C.0.977 D.0.023 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.为了解某地高中男生的身体发育状况，随机抽取1 000名男生测量他们的体重，测量的结果表明他们的体重X(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，正态曲线如图所示.若体重落在区间[58.5，62.5]内属于正常情况，则在这1 000名男生中不属于正常情况的人数约是 (　　) A.954 B.819 C.683 D.317 √ 解析：由题意可知，μ=60.5，σ=2，故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ) 0.682 7，从而不属于正常情况的人数约是1 000×(1-0.682 7)≈317. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.某工厂制造的某种机器零件的尺寸X~N(100，0.01)，现从中随机抽取10 000个零件，尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为 (　　) A.2 718 B.1 359 C.430 D.215 √ 解析：因为X~N(100，0.01)，所以μ=100，σ=0.1，则P(99.8≤X ≤99.9) =P(μ-2σ≤X≤μ-σ)=[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤ μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.故随机抽取的10 000个零件中尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为10 000×0.135 9=1 359. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知某高校学生每周阅读时间X(单位：小时)服从正态分布N(9，4)，则下列说法正确的是(附：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X< μ+σ)=0.683，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.955，P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997) (　　) A.该校学生每周平均阅读时间为9小时 B.该校学生每周阅读时间的标准差为4 C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.15% D.若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3~5小时的人数约为210 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为X~N(9，4)，所以该校学生每周平均阅读时间为9小时，每周阅读时间的标准差为2，故A正确，B错误；该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占×100%=× 100%=×100%=0.15%，故C正确；每周阅读时间在3~5小时的人数占[P(3<X<15)-P(5<X<13)]×100%=[P(μ-3σ<X<μ+3σ)-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]×100%=×(0.997-0.955)×100%=2.1%，则每周阅读时间在3~5小时的人数约为2.1%×10 000=210，故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]如图是正态分布N(0，1)的正态曲线图，下列选项表示图中阴影部分面积的为(注：Φ(a)=P(X≤a)) (　　) A.-Φ(-a) B.Φ(1-a) C.Φ(a)-D.Φ(0) √ √ 解析：因为Φ(-a)=P(X≤-a)，所以题图中阴影部分的面积为-P(X≤-a)=-Φ(-a)，又根据性质Φ(-a)+Φ(a)=1，可得-Φ(-a)=-[1-Φ(a)] =Φ(a)-.所以A、C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]若随机变量ξ~N(0，1)，φ(x)=P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式成立的是 (　　) A.φ(-x)=1-φ(x) B.φ(2x)=2φ(x) C.P(|ξ|<x)=2φ(x)-1 D.P(|ξ|>x)=2-φ(x) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)， 所以正态曲线关于直线x=0对称，如图所示. 又φ(x)=P(ξ≤x)，x>0，根据曲线的对称性， 所以φ(-x)=P(ξ≥x)=1-φ(x)，所以A正确； φ(2x)=P(ξ≤2x)，2φ(x)=2P(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2φ(x)，故B错误；P(|ξ|<x)=P(-x<ξ<x)=1-2φ(-x)=1-2[1-φ(x)]=2φ(x)-1，所以C正确；P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-φ(x)+φ(-x)=1-φ(x)+1-φ(x)=2-2φ(x)，所以D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰后销售.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列结论正确的是(附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 6) (　　) A.若红玫瑰日销售量在(μ-30，280)内的概率是0.682 6，则红玫瑰日销售量平均为250 B.白玫瑰日销售量在(240，+∞)内的概率约为0.841 3 C.白玫瑰日销售量在(320，+∞)内的概率约为0.341 3 D.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意得μ+30=280，解得μ=250，故红玫瑰日销售量平均为250，故A正确；设白玫瑰的日销售量为X，则X~N(280，402)，令μ2=280，σ2=40，所以P(X>240)=P(X>μ2-σ2)=P(μ2-σ2<X<μ2+σ2) +≈0.682 6+=0.841 3，P(X>320)=≈=0.158 7，故B正确，C错误； ∵红玫瑰日销售量的方差为900，白玫瑰日销售量的方差为1 600， ∴红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若随机变量ξ~N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)=0.4，则P(ξ>11)=_____________.  解析：由P(9≤ξ≤11)=0.4且正态曲线以直线x=μ=10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4，即P(10≤ξ≤11)=0.2，又P(ξ≥10)=0.5，所以P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3. 0.3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈ 0.682 7，P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.设ξ~N(1，σ2)，且P(ξ>3)≈ 0.158 65，则σ=____________.  2 解析：因为P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7，所以P(ξ>μ+σ)≈×(1-0.682 7) =0.158 65.因为ξ~N(1，σ2)，P(ξ>1+σ)≈0.158 65，所以1+σ=3，即σ=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第__________名.  解析：依题意，P(60-20≤X≤60+20)≈0.954 5， P(X>80)≈(1-0.954 5)≈0.022 8， 故成绩高于80分的考生人数约为10 000×0.022 8=228.所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名. 229 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.高三全体考生的数学成绩X(单位：分)近似服从正态分布N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩在82.5分以下的概率为_________，如果成绩在135分以上的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有________人.   附：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈0.96. 10 0.16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意得P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=P(X<μ)-≈0.5-=0.16，因为正态曲线关于直线x=100对称，所以P(X>117.5)=P(X<82.5)=0.16，因为成绩在117.5分以上的学生有80人，所以本次高三考生总人数约为=500.又P(X>135)=P(X>μ+2σ)=P(X>μ)-≈0.5-=0.02，所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10(人). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知随机变量X~N(μ，σ2)，且其正态曲线在(-∞，80)上单调递增，在(80，+∞)上单调递减，且P(72≤X≤88)≈0.682 7. (1)求参数μ，σ的值；(5分) 解：由于正态曲线在(-∞，80)上单调递增，在(80，+∞)上单调递减，所以正态曲线关于直线x=80对称，即参数μ=80. 又P(72≤X≤88)≈0.682 7. 结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，可知σ=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求P(64≤X≤72).(5分) 解：因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈0.954 5. P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(72≤X≤88)≈0.682 7，所以P(64≤X≤72)=[P(64≤X≤96)-P(72≤X≤88)]≈×(0.954 5-0.682 7) =0.135 9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径Z(单位：cm)的数据如下：97，97，98，102，105，107，108，109，113，114.设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ. (1)求μ与σ；(5分) 解：由题意得μ=×(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105，σ2=×(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36，∴σ=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2). ①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87 cm的个数为X，求E(4X+3)；(5分) ②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86，95，103，109，118，以原设备生产性能为标准，这台设备是否需要进一步调试?请说明理由.(5分) 参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3，0.997 34≈0.99. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：①由(1)得Z~N(105，36)， ∴P(Z<87)=P(Z<μ-3σ)=P(Z<μ)-≈0.5-=0.001 35，∴X~B(5，0.001 35)， ∴E(4X+3)=4E(X)+3=4×5×0.001 35+3=3.027. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ②需要.理由如下： ∵P(87≤Z≤123)=P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3，∴5个零件中恰有1个零件的内径不在[μ-3σ，μ+3σ]内的概率为×0.997 34×(1-0.997 3) ≈5×0.99×0.002 7=0.013 365. ∵86∉[87，123]，∴试生产的5个零件中出现了1个零件的内径不在[μ-3σ，μ+3σ]内，出现的频率为0.2，大概是0.013 365的15倍，根据3σ原则，这台设备需要进一步调试. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $